Egzamin dla Aktuariuszy z 19 czerwca 1999 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

5

∑ P(same 6 k k osci) P( k k osci) k =0

25

P(ni

e wypadla

6

w

r

2

zutach) =

= p

36

k

5− k

5 

 25   11 

P 1( k) = P(k k osci) =



 



 

 k 

 36   36 

5

1

11

P ( )

0 =

5

36

4









1

25

11

P

)

1

(

= 5







 36 

 36 

2

3



 



1

25

11

P (2) = 10

 



 36   36 

3

2



 



1

25

11

P

)

3

(

= 10

 



 36   36 



4

1

25   11 

P (4) = 

5

 



 36   36 

5





1

25

P

)

5

(

= 



 36 

ODP = 1

P (0 + 1

)

1

P

+ 1

)

1

(

1

P (2 + 1

)

1

P

+ 1

)

3

(

1

P (4 + 1

)

1

P

)

5

(

=

6

62

63

64

65

115

5 ⋅ 25 ⋅114

10 ⋅ 252 ⋅113

10 ⋅ 25 1

3 12

5 ⋅ 254 ⋅11

255

=

+

+

+

+

+

≈ 3

,

1

%

3

610

611

612

613

614

615

Zadanie 2

P(

3

b I

II II 2

× b) = ∑ P( bIII k ) P( k II 2

× b)

k =1

 4

3

 

 

 2 1

 2 1

1 1

1  6

3

1 

1

P( II 2

× b) =

+

+

= 

+

+

 =

5 3 5 3 5 3

3  10

10

10 

3

 

 

 

 2

 2

 2

1 6

P(

P II

×

P

1 II 2

× b)

( 2 b )1 )1

(

3

3 10

=

=

=

P(II 2

× b)

1

5

3

P(2 II 2

× )

3

b =

10

P(3 II 2

× )

1

b =

10

2 3

1 3

4

1

1

9

ODP =

+

+ 0 =

+

= =

3 5

3 10

10

10

2

18

Zadanie 3

b = Y − aX

∑( Xi − X ) Yi a =

∑( Xi − )2

X

X = 212 5

,

Y = 5250

5

( 0 − 212 )

5

, 2000 + 1

( 00 − 212

3

)

5

,

000 + (200 − 212 )

5

, 7000 + 5

( 00 − 212

9

)

5

,

000

a =

≈ 1 ,

5 07

5

( 0 − 212 )

5

, 2 + 1

( 00 − 212 )

5

, 2 + (200 − 212 )

5

, 2 + 5

( 00 − 212 )

5

, 2

b równa się około 2,05 tys

Zadanie 4

k m





X ≅ plec , 0 1





χ )

1

(

→ kw

= 8

,

3 41

0,05

Y ≅ wypadek(

)

1

,

0

n = 450

n ⋅ = 200

n

= 40

0

01

n ⋅ = 250

n

= 160 1

00

n⋅ = 380

n

= 220

0

10

n⋅ = 70

n

= 30

1

11

(160 − 200⋅380/ 450)2 (220 − 250⋅380/ 450)2

χ =

+

+

200 ⋅ 380 / 450

250 ⋅ 380 / 450

(30 − 250⋅70/ 450)2 (40 − 200⋅70/ 450)2

+

+

≈ ,

5 41

250 ⋅ 70 / 450

200 ⋅ 70 / 450

5,41>3,841 z tego wynika, że odrzucamy Prawidłowa odpowiedź A

Zadanie 5

k

λ i

− λ

e

!

P(

k

X = k X > 0 =

i

) i − λ

1 − e



1

 T

ki

L =

λ





e

λ

∏

− λ

−

1− e 

k !

i

ln L = − T ln(1− −

e λ )+ ∑ ( k ln λ ln !

i

− ki − λ)

∂

Te− λ

∑ ki

λ

= −

+

− T = 0⋅

λ

∂

1 − −

e λ

λ

T

− λ

− λ

− λ

− λ

λe

λe

λ − e

λ

+ λe

λ

−

+ k − λ = 0 → k = λ +

=

=

−

λ

− λ

− λ

− λ

1 − e

1 − e

1 − e

1 − e

Zadanie 6

P(max ≤ t) = (

0

− , t

1 − e

5 )(

− t

1 − e )

− t

−0,5 t

− ,

1 5 t

= 1− e − e

+ e

− t

0

− ,5 t

− ,

1 5 t

f

= e +

e

5

,

0

− e

5

,

1

max

−0,5 t − t

− ,

1 5 t

P(min ≤ t) = 1 − P(min ≥ t) = 1 − e e

= 1− e

,

1 5 t

f

e

5

,

1

−

=

min

2

7

E max = 1 + 2 −

=

3

3

2

E min =

3

7 3

7

ODP =

= = 5

,

3

3 2

2

Zadanie 7



X



1

P

≤ c =

 X + Y



2

− c

X ≤

1

Xc + Yc → Y ≥

X

c

∞ ∞

∞

−

1 c

∞

c+

−0,5

x

− 1

∫ ∫

− x −

x

0,5

5

,

0

y

e e

dydx = ∫

−

5

,

0

x

e

2

c

e

= ∫ 2 c

e

=

0 −

1 c

0

0

x

c

∞

c 1



+ 

2

−

c

x

2 c

1

1

2

= −

e

c

 =

= → 4 c = c +1 → 3 c = 1 → c =

 c + 1



c + 1

2

3



0

Zadanie 8

tuta jtylko 6

0 z

aleznych





 6

4

4

4

4

4

7

4

4

4

4

4

8 

X +

+ X

Y +

+ Y

var( X − Y ) 1

2

1

2

...

...

 1

80

1

80

1



2

2

2

=

80 σ +

80 σ − 2 cov

;

=

σ −

60 pσ

2

2

2

80

80



80

80



40

80









 X − Y + + X − Y 

var( X − Y )

...

1

= var

1

1

60

60



 =

σ + σ − pσ

=

σ

− p

2 (60( 2

2

2 )

1

2

2 1

(

)



60



60

30

1



2

2

1

2



σ 1

( − p) = σ 

−

60 p  =

30

 40

802



1

1

−

4

40

30

p =

=

120

1

7

−

802

30

Zadanie 9

P( x

≤ z ≤ x

= Q k n p − Q l n p k: n

p

l: n )

( , , )

( , , )

n

Q( k, n, p) = ∑ n i n− i

  p 1

( − p)

i

i= k 



n

n

p = ∑ n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

  5

,

0

− ∑  

  5

,

0

= 1− n 5

,

0

− 5

,

0

− n 5

,

0

− 5

,

0

= 1− 2 n 5

,

0

− 2 ⋅ 5

,

0

> 9

,

0 5

i

i

i=2 



i= n−1



f ( n) = 2 ⋅ 5

,

0 n 1

( + n) < ,

0 05

f (

′ n) = 5

,

0 n (ln 5

,

0 + n ln 5

,

0 + )

1 <

0 d

l

a n

≥ 1 → f(n) m

aleje

i sprawdzamy dla n=9 <0,05

Zadanie 10

1

1

1 

2

1

1

∫ ∫

x

(2 − x − y) dxdy = ∫

1

2 x −

− yx

= ∫ 2 − 5,

0 − y −1 +

+ 5

,

0 y =

2

8

0,5 0,5

0,5 

0,5 0,5

1



2 1

= ∫ 5 1

5

y

5

1

5 1

1

10 − 4 − 5 +

− y =

1

2

1

 y −



= − −

+

=

=

=

8

2

8

4

8

4

8 2

16

16

16

8

0,5



0,5