Egzamin dla Aktuariuszy z 19 czerwca 1999 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
5
∑ P(same 6 k k osci) P( k k osci) k =0
25
P(ni
e wypadla
6
w
r
2
zutach) =
= p
36
k
5− k
5
25 11
P 1( k) = P(k k osci) =
k
36 36
5
1
11
P ( )
0 =
5
36
4
1
25
11
P
)
1
(
= 5
36
36
2
3
1
25
11
P (2) = 10
36 36
3
2
1
25
11
P
)
3
(
= 10
36 36
4
1
25 11
P (4) =
5
36 36
5
1
25
P
)
5
(
=
36
ODP = 1
P (0 + 1
)
1
P
+ 1
)
1
(
1
P (2 + 1
)
1
P
+ 1
)
3
(
1
P (4 + 1
)
1
P
)
5
(
=
6
62
63
64
65
115
5 ⋅ 25 ⋅114
10 ⋅ 252 ⋅113
10 ⋅ 25 1
3 12
5 ⋅ 254 ⋅11
255
=
+
+
+
+
+
≈ 3
,
1
%
3
610
611
612
613
614
615
Zadanie 2
P(
3
b I
II II 2
× b) = ∑ P( bIII k ) P( k II 2
× b)
k =1
4
3
2 1
2 1
1 1
1 6
3
1
1
P( II 2
× b) =
+
+
=
+
+
=
5 3 5 3 5 3
3 10
10
10
3
2
2
2
1 6
P(
P II
×
P
1 II 2
× b)
( 2 b )1 )1
(
3
3 10
=
=
=
P(II 2
× b)
1
5
3
P(2 II 2
× )
3
b =
10
P(3 II 2
× )
1
b =
10
2 3
1 3
4
1
1
9
ODP =
+
+ 0 =
+
= =
3 5
3 10
10
10
2
18
Zadanie 3
b = Y − aX
∑( Xi − X ) Yi a =
∑( Xi − )2
X
X = 212 5
,
Y = 5250
5
( 0 − 212 )
5
, 2000 + 1
( 00 − 212
3
)
5
,
000 + (200 − 212 )
5
, 7000 + 5
( 00 − 212
9
)
5
,
000
a =
≈ 1 ,
5 07
5
( 0 − 212 )
5
, 2 + 1
( 00 − 212 )
5
, 2 + (200 − 212 )
5
, 2 + 5
( 00 − 212 )
5
, 2
b równa się około 2,05 tys
Zadanie 4
k m
X ≅ plec , 0 1
χ )
1
(
→ kw
= 8
,
3 41
0,05
Y ≅ wypadek(
)
1
,
0
n = 450
n ⋅ = 200
n
= 40
0
01
n ⋅ = 250
n
= 160 1
00
n⋅ = 380
n
= 220
0
10
n⋅ = 70
n
= 30
1
11
(160 − 200⋅380/ 450)2 (220 − 250⋅380/ 450)2
χ =
+
+
200 ⋅ 380 / 450
250 ⋅ 380 / 450
(30 − 250⋅70/ 450)2 (40 − 200⋅70/ 450)2
+
+
≈ ,
5 41
250 ⋅ 70 / 450
200 ⋅ 70 / 450
5,41>3,841 z tego wynika, Ŝe odrzucamy Prawidłowa odpowiedź A
Zadanie 5
k
λ i
− λ
e
!
P(
k
X = k X > 0 =
i
) i − λ
1 − e
1
T
ki
L =
λ
e
λ
∏
− λ
−
1− e
k !
i
ln L = − T ln(1− −
e λ )+ ∑ ( k ln λ ln !
i
− ki − λ)
∂
Te− λ
∑ ki
λ
= −
+
− T = 0⋅
λ
∂
1 − −
e λ
λ
T
− λ
− λ
− λ
− λ
λe
λe
λ − e
λ
+ λe
λ
−
+ k − λ = 0 → k = λ +
=
=
−
λ
− λ
− λ
− λ
1 − e
1 − e
1 − e
1 − e
Zadanie 6
P(max ≤ t) = (
0
− , t
1 − e
5 )(
− t
1 − e )
− t
−0,5 t
− ,
1 5 t
= 1− e − e
+ e
− t
0
− ,5 t
− ,
1 5 t
f
= e +
e
5
,
0
− e
5
,
1
max
−0,5 t − t
− ,
1 5 t
P(min ≤ t) = 1 − P(min ≥ t) = 1 − e e
= 1− e
,
1 5 t
f
e
5
,
1
−
=
min
2
7
E max = 1 + 2 −
=
3
3
2
E min =
3
7 3
7
ODP =
= = 5
,
3
3 2
2
Zadanie 7
X
1
P
≤ c =
X + Y
2
− c
X ≤
1
Xc + Yc → Y ≥
X
c
∞ ∞
∞
−
1 c
∞
c+
−0,5
x
− 1
∫ ∫
− x −
x
0,5
5
,
0
y
e e
dydx = ∫
−
5
,
0
x
e
2
c
e
= ∫ 2 c
e
=
0 −
1 c
0
0
x
c
∞
c 1
+
2
−
c
x
2 c
1
1
2
= −
e
c
=
= → 4 c = c +1 → 3 c = 1 → c =
c + 1
c + 1
2
3
0
Zadanie 8
tuta jtylko 6
0 z
aleznych
6
4
4
4
4
4
7
4
4
4
4
4
8
X +
+ X
Y +
+ Y
var( X − Y ) 1
2
1
2
...
...
1
80
1
80
1
2
2
2
=
80 σ +
80 σ − 2 cov
;
=
σ −
60 pσ
2
2
2
80
80
80
80
40
80
X − Y + + X − Y
var( X − Y )
...
1
= var
1
1
60
60
=
σ + σ − pσ
=
σ
− p
2 (60( 2
2
2 )
1
2
2 1
(
)
60
60
30
1
2
2
1
2
σ 1
( − p) = σ
−
60 p =
30
40
802
1
1
−
4
40
30
p =
=
120
1
7
−
802
30
Zadanie 9
P( x
≤ z ≤ x
= Q k n p − Q l n p k: n
p
l: n )
( , , )
( , , )
n
Q( k, n, p) = ∑ n i n− i
p 1
( − p)
i
i= k
n
n
p = ∑ n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
5
,
0
− ∑
5
,
0
= 1− n 5
,
0
− 5
,
0
− n 5
,
0
− 5
,
0
= 1− 2 n 5
,
0
− 2 ⋅ 5
,
0
> 9
,
0 5
i
i
i=2
i= n−1
f ( n) = 2 ⋅ 5
,
0 n 1
( + n) < ,
0 05
f (
′ n) = 5
,
0 n (ln 5
,
0 + n ln 5
,
0 + )
1 <
0 d
l
a n
≥ 1 → f(n) m
aleje
i sprawdzamy dla n=9 <0,05
Zadanie 10
1
1
1
2
1
1
∫ ∫
x
(2 − x − y) dxdy = ∫
1
2 x −
− yx
= ∫ 2 − 5,
0 − y −1 +
+ 5
,
0 y =
2
8
0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
1
2 1
= ∫ 5 1
5
y
5
1
5 1
1
10 − 4 − 5 +
− y =
1
2
1
y −
= − −
+
=
=
=
8
2
8
4
8
4
8 2
16
16
16
8
0,5
0,5