Podstawy logiki i teorii mnogości. Materiały do ćwiczeń Maria Bulińska
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW -- ZADANIA 1. Odczytaj zdania zakładając, że zakresem zmiennych x,y,z jest zbiór liczb rzeczywistych:
a) (∀ ≠
x
0) ( 2 >
x
0)
b) (∃x < 0) ( 2
x −1 = 0)
c) ∀x ([ ≠
x
0) → ∃y ( =
xy
)1]
d) ∃y x
∀ x + y = x
e) x
∀
y
∀ ([x < y) → z
∃ (x < z < y)]
2. Określ, które zdania są prawdziwe, a które fałszywe, jeżeli zakresem zmiennej x jest zbiór liczb rzeczywistych:
a) ∃x ( >
x
3) → ∃x( >
x
)1,
b) ∃x[ ( >
x
3) → ( >
x
)1],
c) ∀x (x > 0)∨ ∀x(x ≤ 0)
d) ∀ [
x ( >
x
0)∨ ( ≤
x
0)].
3. Za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicznych i symboli działań arytmetycznych zapisz zdania:
a) Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2.
b) Dla wszystkich licz rzeczywistych x, x − x = 0 .
c) Dla pewnej liczby rzeczywistej z, 2
z − 4z −1 = 0 .
d) Żadna liczba naturalna nie jest mniejsza od 0.
e) Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna od niej większa.
f) Nie istnieje największa liczba naturalna.
x + y = 5
g) Układ równań
jest sprzeczny.
x + y = 6
4. Jakimi kwantyfikatorami należy poprzedzić formy zdaniowe, aby otrzymać zdania prawdziwe
a) x + 5 = 11
b) 2
x + 3 > 0
c) x + 1 = 1 + x
d) 2
x + 2x + 10 = 0
5. Podaj zaprzeczenia poniższych zdań na co najmniej dwa sposoby a) Każdy kwadrat jest rombem.
b) Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła.
c) Istnieje trójkąt równoramienny, który jest prostokątny lub rozwartokątny.
d) Istnieje czworokąt, którego nie można wpisać w okrąg.
e) Jeżeli funkcja jest ciągła, to jest różniczkowalna i rosnąca.
f) Jeżeli funkcja liniowa ma współczynnik kierunkowy ujemny, to jest rosnąca lub stała.
g) Istnieje liczba naturalna mniejsza od pozostałych.
Podstawy logiki i teorii mnogości. Materiały do ćwiczeń Maria Bulińska
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Określ wartość logiczną zadania:
2
x − 6x + 5
a) (∀x ∈ N )
≤ 0
2
x + 1
2
x − 6x + 5
b) (∀x ∈ R)
≤ 0
2
x + 1
2
x − 6x + 5
c) (∃x ∈ R)
≤ 0
2
x + 1
1
d) (∃x ∈ R) sin x ≤ 0 ∨ sin x >
2
e) (∃x ∈ R) (sin2 x + cos2 x ≥ 0)
f) (∀x ∈ R) (sin2 x + cos2 x ≥ 0)
g) (∃x ∈ R) ( 2
x −10x + 30 < 0)∨ (x > 0)
h) (∃x ∈ R) ( 2
x −10x + 30 < 0)∧ (x > 0)
i) ( x
∀ ∈ R) ( y
∃ ∈ R) (x < y)
j) (∀x ∈ R) (∃y ∈ R) ( 2
2
x + y < 5)
k) (∀x ∈ R) (∃y ∈ R) ( 2
x + y < 5)
l) (∀x ∈ R) (∃y ∈ R) (x + y > 0)
m) (∃x ∈ R) (∃y ∈ R) (x + y > 0)
n) (∃x ∈ R) (∀y ∈ R) (x + y > 0)