1. CA LKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA 1. Obliczyć ca lki:

a) R (x + y)dl, gdzie L jest brzegiem trójkata o wierzcho lkach (0, 0), (1, 0), (0, 1), L

,

b) R x3ydl, gdzie L = {(x, y) ∈

2 : 9x2 + 4y2 = 36, x ≥ 0, y ≥ 0}.

L

R

c) R px2 + y2dl, gdzie L jest okregiem o równaniu x2 + y2 = ax, (a > 0).

L

,

2. Obliczyć d lugość luku cykloidy: x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t),

t ∈ [0, 2π],

a > 0.

√

√

3. Obliczyć d lugość luku krzywej danej równaniem y = 2 ln 1+ x

√

− 4 x

dla

x ∈ 0, 1 .

1− x

2

4. Obliczyć mase luku krzywej y = ln x, x ∈ [a, b], 0 < a < b, wiedzac, że gestość liniowa

,

,

,

w danym punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odcietej tego punktu.

,

5. Wyznaczyć wspó lrzedne środka masy linii śrubowej

,

 x(t) = r cos t



y(t) = r sin t ,

t ∈ [0, 2π]



z(t) = λt

o jednorodnej gestości liniowej.

,

6. Obliczyć pole powierzchni cześci walca o równaniu x2 + y2 = 2x zawartej pomiedzy

,

,

p laszczyzna z = 0 i sfera x2 + y2 + (z − 2)2 = 4.

,

,

7. * Obliczyć R x2dl, gdzie L jest okregiem w 3 powsta lym z przeciecia sfery L

,

R

,

x2 + y2 + z2 = a2 p laszczyzna x + y + z = 0.

,