Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
i
MARGINES
DOPŁATA
PRZYCHÓD
DYSKONTO
0
180
180
DOPŁATA(i)
i
/ 1
,
1
1
1050 ⋅ 1
,
0 8
MAR(i)-PRZ(i)
180 ⋅ ,
1 04
.....
2
1050
05
,
1
1
−
⋅
i
18
,
0
.....
M(i-1)1,04
.....
3
....
......
.....
.....
....
.....
......
......
......
6
0
.......
M(5)1,04
6
DOP( i) / 1
,
1
SUMA ≈ 53
Zadanie 2
n
(
)
1
2
3
å n − k − k v n
[
] k
nv + ( n − ) 1 2 v + ( n − 2 v 3
)
+ ... + nv
=
α =
= 1
n
( Da)
k
Da
n
( ) n
n
2
k
2
2
2
3
2
å k v
n
v + 2 v + 3 v + ... + n v
=
β =
= 1
n
( Ia)
k
Ia
n
( ) n
(
n
&
& −
−
Ia)
a
nv
n
=
=
n
( Da) n an
i
n
i
( Da)
Ia
n
a
n + (
) n = ( + )1
O
CZYWISTE
n
→ (ii) T
AK
1.α Da
β Ia
k 2
n
( k
)
1 k v
( k 2
nk
k 2
k ) v
n (
)
n
n +
n (
) = å[ +[ − − ] k
n
= å
+
−
+
k =
k =1
n
= å( nk +
k
k) v = ( n + ) 1 å k
kv = ( n + ) 1 ( Ia) n
k =1
α
+ β
α
+ β
n ( Da ) n n ( Ia ) n n ( Da ) n n ( Ia )
dur( a )
n
=
=
→ i
n
( n + )
1 a
+
n
( Da) n ( Ia) (
) NIE b
o i
nn
e wagi
n
Z 1 wynika:
(
+1− β
Da)
( Ia) n
n [
n ]
=
+ Ia = ( n + ) 1 a
n
( ) n
n
α n
( Ia)
n + 1
( n + )
1 α
n
n
=
=
→ i( ii T
) AK
a
n + 1 − β
α + + − β
n
n 1
n
n
n
1 +
α n
n
2
n 1
2
LICZNIK (α ) = å[( n − ( k − ) 1 k)]
Ia
a
n v
k
v
n Ia
Ia
n
= ( )
( )
+
n −
n −
n −
+ ( ) n
1
1
v
k =
−
2
n 1
+
2
n 1
+ 2
n v
n v
i
lim
i = lim
=
0 b
o l
icznik d
o a
0
m
ianownik d
o n
ieskońies nośoś
n − a
ni
v
n
−1+ n
1
é − n
v
ù
n
1 − n
v
( Ia)
nê
− nv ú
− n
nv
n
v
n
ë 1−
û
1
1 −
lim
v
( Da) = lim
= lim
=
1 v
v
v
n
− n
1 − n
1 −
n −
1 −
i
in
1 − n
v
( Ia)
− n
nv
n
1 −
lim
v
(
Da) = lim
= 0
1 v
n
− n
n −
i
a
1 v
v i
n
− n
1
( − n )
lim ( Da) = lim
= lim
= 0
1 v
ni
v
n
− n
−1+ n
n −
i
Stąd wynika, Ŝe:
1
1
limα =
= 1+
n
1 − v
r
Zadanie 3
Zakładamy, Ŝe S to suma płatności, z tego: b 2 2
b + b v +
v + ...
2
= v → b = 2
0
1
2
2
b = 0
1
b = 0
0
Z tego wynika, Ŝe S=2
Zadanie 4
10 N
10
N ( k −
−
)
1
(
+
=
−
0
1
å
− +
1 + i) N
N 1 k
2 1
( +
k =
i)
10
N −1
N −1
k
−10 Nv
+ v Nå( k − )1 v k =24
1
4
2
3
A
A = v 2 + 2 v 3 + ... + 9 v 10
Av = v 3 + 2 v 4 + ... + 9 v 11
A 1
( − v) = v 2 + v 3 + ... + v 10 − 9 v 11
1 − v 9
2
9 v 11
A = v
−
1
( − v)2
1 − v
æ
N −
N −
− v
v ö
1
1
1
9
2
9 11
−10 Nv
+ v N v
−
= 1
− 0 N 1−
Nv
1
( − 2
2
v + v )
N 1
+ +
v
N 1
(
9
− v ) − 9 N 1+0
v
N 1
( − v) =
çç
÷÷
è
1
( − v)2
1 − v ø
= −10 N 1−
Nv
+ 20 NvN −10 N 1+
N 1
+
N 1
+ 0
Nv
+ v N − v
N − 9
N 1
+ 0
Nv
+ 9 N 1+1
v
N = 0
−10 N + 20 Nv −10 Nv 2 + Nv 2 − v 11 N − 9 Nv 11 + 9 v 12 N = 0
9 Nv 12 −10 Nv 11 − 9 Nv 2 + 20 Nv −10 N = 0: N
9 12
v
−10 11
v − 9 2
v + 20 v −10 = 0 nie zaleŜy od N , z tego wynika, Ŝe var=0
i sprawdzamy (B) i (E)
dla 30% wychodzi około -0,11
dla 45% wychodzi około - 0,55
Z tego wynika, ze (B) najbliŜej Zadanie 5
1000
1
i 000
1
i 000
1
i 000
1
i 000
+
+
+
+
= 1000 →
4
2
3
4
1
( + s )
1 + s
1
( + s )
1
( + s )
1
( + s )
4
1
2
3
4
1
1 −
4
1
( + s )
4
→ i = 1
1
1
1
+
+
+
2
3
4
1 + s
1
( + s )
1
( + s )
1
( + s )
1
2
3
4
s =
0
,
0 4
1
4
s =
2
75
7 z tego wynika, Ŝe i około 5,7%
s =
3
125
2
s =
4
35
Zadanie 6
Wyliczenia pomocnicze:
2
n − ( n − )
1 2 = 2 n −1
2
X = å
∞
⋅ 9
,
0 5 n
n
= 9
,
0 5 + 22 9
,
0 52 + 32 9
,
0 53 + ...
n 1
=
X ⋅ 9
,
0 5 = 9
,
0 52 + 22 9
,
0 53 + 32 9
,
0 54 + ...
X ⋅ 0
,
0 5 = 9
,
0 5 + (22 −12 ) 9
,
0 52 + 3
( 2 − 22 ) 9
,
0 53 + ... = 9
,
0 5 + (2 ⋅ 2 − )
1
9
,
0 52 + (2 ⋅ 3 − )
1
9
,
0 53 + ... =
= 9
,
0 5 + (
2 2 ⋅ 9
,
0 52 + 3 ⋅ 9
,
0 53 + ...) − 9
,
0 52 − 9
,
0 53 − ... = 9
,
0 5 + (
2
9
,
0 5 + 2 ⋅ 9
,
0 52 + ...) − 2 ⋅ 9
,
0 5 − 9
,
0 52 − ... =
= 2 Ia∞ − a g dzi ev
∞
= 0,95
v
v
Ia∞ =
a
2
∞ =
1
( − v)
1 − v
2 v
− v
1
( − v)2
1 −
ODP =
v =14820
,
0 05
Zadanie 7
Zał: I(0)=1, L=1 KOSZT=K(1)-(1+r) ì cen
a
p
raw
ïï1,24 = 0,
2 73
6 0
,54 =
0
,
0 625
ïï ,
1 23 8
,
0
= 3
,
1 82
4 4
⋅ 0,54 = ,
0 25
X = ... = í
ï ,
1 22 8
,
0 2 = 9
,
0 21
6 6
⋅ 0,54 = 3
,
0 75
ï
3
4
ï ,
1 2 ⋅ 8
,
0
= 6
,
0 14
4 4
⋅ 5
,
0
= ,
0 25
ïî 8,
0 4 = ,
0 409
6 0
,54 =
0
,
0 625
E max( X ,
1
; 21 )
6 =
0
,
2 736 ⋅ 0
,
0 625 + 3
,
1 824 ⋅ ,
0 25 + ,
1 216 ⋅ ( 3
,
0 75 + ,
0 25 + 0
,
0 625)
KOSZT = Emax - 1,216
= KOSZT
ODP
≈ %
8
,
1 216
Zadanie 8
300
10300
C =
+
≈ 9717 9
, 4
,
1 05
,
1 05 ⋅ ,
1 04
300
10300
C −
−
= 0
1 + r
1
( + r)2
C 1
( + r)2 − 300 1
( + r) −10300 = 0
1 + r = x
2
Cx − 300 x −10300 = 0
∆ ≈ 20011
x < 0
1
x ≈ ,
1 04 → r ≈
5
,
4 %
2
do obliczeń bierzemy dokładne r 300 ⋅ 0
,
1 4 = 312
10612 = a
X &
&
10
10612
10
æ 1 ö
1 − ç
÷
è1+ r ø
X =
≈ 1284
1
1 − 1+ r
Zadanie 9
500000 = Xa 40;0,05
Xa
= Ya
32;0,05
20;0,04
S = 10 X −
−
←
.
i
( Xa
Xa
32;0,05
22;0,05 )
SKL KAP
S = 10 Y −
−
r
( Ya
Ya
20;0,04
10;0,04 )
32
æ 1 ö
1 − ç
÷
è 0
,
1 5 ø
X ⋅
500000 ⋅ 0
,
0 5
0
,
0 5
X =
S
Y =
→ i ≈ 14 %
0
40
20
æ 1 ö
æ 1 ö
Sr
1 − ç
÷
1 − ç
÷
è 0
,
1 5 ø
è 0
,
1 4 ø
0
,
0 4
Zadanie 10
1 − v
i = v
X = Aa
30;0,06
Aa
= Ba
→ A = B
15;0,06
1 ;
5 0,06
2
30
15
A 1
( − 9
,
0 9 )
5
A 1
( − 9
,
0 95 )
A 1
( − 9
,
0 95 )
A ⋅ 9
,
0 95
1
( − 9
,
0 9 )
5
18000 =
+
+ ... +
+
+ ...
2
30
16
,
1 04
,
1 04
,
1 04
,
1 04
15
15
A ⋅ 9
,
0 95
1
( − 9
,
0 95 )
+
30
,
1 04
1
é
ù
Aa
− Aa
+
9
,
0 9515 Aê a
− a
ú = 18000
0,995
30;0,04
15
0,995
30; v=
0
,
1 4
15;0,04
15;
êë
v=
ú
,
1 04
,
1 04 û
1
−
30
30
15
15
é
æ
öù
æ 1 ö
æ 9
,
0 95 ö
æ 1 ö
æ 9
,
0 95
ê
ç
ö ÷
1 − ç
÷
1 − ç
÷
1 − ç
÷
1 − ç
÷
ú
ê
è 0
,
1 4 ø
è 0
,
1 4 ø
1
ç
è 0
,
1 4 ø
è 0
,
1 4
÷
ø
ú
A = 18000 ⋅
−
+
9
,
0 9515 ç
−
÷
→
ê
ú
0
,
0 4
0
,
1 4 − 9
,
0 95
0
,
1 415
0
,
0 4
0
,
1 4 − 9
,
0 95
ê
ç
÷ú
ê
9
,
0 59
ç
9
,
0 95
÷ú
ë
è
øû
30
æ 1 ö
1 − ç
÷
è 0
,
1 6 ø
→ X = A
≈ 198200
0
,
0 6