WŁASNOŚCI SUPERPOZYCJI

Łączność

f o ( g o h) = ( f o g)o h

Nieprzemienność

f o g ≠ g o f

( f o g)

W superpozycji f o g tzn. dla funkcji ( x) = f ( g( x)) funkcję g nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję f funkcją zewnętrzną.

n

def .



1 

e =

 +  =

Liczba

lim 1

,

2 7...

n→∞

n 

Funkcja f odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie X na Y , wyznacza również x∈X jako funkcję y∈Y.

Otrzymaną w ten sposób funkcję oznaczamy przez f-1 i nazywamy funkcją odwrotną do f to znaczy

xfy ⇔ yf x

1

−

ZBIORY LICZB

• Naturalnych

N={1,2…}

• Całkowitych

Z={0, ± n n

... ∈ N }

•

m

Wymiernych

W={

: n ∈ N , m ∈ Z }

n

• Niewymiernych NW= np. 2, ,3 5...

• Rzeczywistych R

⊆

⊆

⊆

Zachodzą inkluzje N

Z

W

R

FUNKCJE OGRANICZONE, MONOTONICZNE,

WYPUKŁE, WKLĘSŁE

Y ⊂ ℜ

Funkcję f : X → Y

nazywany ograniczoną jeżeli

∃ ∀ f ( x) ≤ M

M 〉 0 x∈ X

Y ⊂ ℜ

Funkcję f : X → Y

nazywany ograniczoną z góry

(ograniczoną z dołu), jeżeli

∃ ∀ f ( x) ≤ M ( ∃ ∀ f ( x) ≥ M ) M ℜ

∈ x∈ X

M ℜ

∈ x∈ X

Niech f : X → Y gdzie X ⊂ ℜ, Y ⊂ ℜ mówimy, że

f jest rosnąca na X jeżeli

∀ ( x 〈 x ⇒ f ( x )〈 f ( x ) 1

2

1

2 )

x ,

∈

1

2

x

X

f jest malejąca na X jeżeli

∀ ( x 〈 x ⇒ f ( x )〉 f ( x ) 1

2

1

2 )

x ,

∈

1

2

x

X

f jest nie malejąca na X jeżeli

∀ ( x 〈 x ⇒ f ( x ) ≤ f ( x ) 1

2

1

2 )

x ,

∈

1

2

x

X

f jest nie rosnąca na X jeżeli

∀ ( x 〈 x ⇒ f ( x ) ≥ f ( x ) 1

2

1

2 )

x ,

∈

1

2

x

X

Funkcje te nazywamy monotonicznymi natomiast funkcję rosnące i funkcję malejące to tzw. funkcje ściśle monotonicznie.

X ⊂ ℜ

Funkcja f odwzorowująca przedział

w zbiór

Y ⊂ ℜ nazywamy wypukłą ( wklęsłą ) w X jeżeli

∀

∀ f (α x + β x ≤ α f x + β f x 1

2 )

( 1)

( 2)

x , x ∈ X α ,β ≥0

1

2

α +β 1

=

( ∀ ∀ f(α x +β x ≥α f x +β f x 1

2 )

( 1)

( 2))

x , x ∈ X α ,β ≥0

1

2

α +β 1

=

FUNKCJE ELEMENTARNE

ℜ = (− ∞,+∞)

( a, b) = { x ∈ℜ : a < x < }

b

a, b = { x ∈ ℜ : a ≤ x ≤ }

b

( a, b = { x∈ℜ: a < x ≤ }

b

a, b) = { x ∈ ℜ : a ≤ x < }

b

( ,0+∞) = { x ∈ℜ : x > }

0

a) FUNKCJA STAŁA

f(x)=C dla każdego x∈X → dziedzina f, przy czym C jest liczbą rzeczywistą

b) Funkcja schodkowa

Niech a = x ≤ x ≤ x ≤ ... ≤ x

≤ x = b

o

1

2

n−1

n

jeżeli funkcja f jest stała w każdym z przedziałów [ x

, x = = ,

1 2...

i 1

−

i ]

i

n to nazywamy ją funkcją

schodkową ( nawiasy […] ozn. że funkcja x

, x

i 1

−

i należy lub nie należy

do przedziału)

Niech

f ( x) = C

dla x

x , x

i

,

1 2 n

...

C

i

[

∈ i−1 i ] =

∈ ℜ

i

c) WIELOMIANY

n

n−1

n

f ( x) = a x + a x

+ a x −2 + ... + a x + a 0

1

2

n−1

n

gdzie

a , a

a

...

∈

n jest liczbą całkowitą nieujemną ℜ

0

1

n

Jeżeli a0≠0 to f jest wielomianem stopnia n.

Jeżeli n ∈ N to dziedziną wielomianu f jest ℜ .

d) FUNKCJA WYMIERNA

n

n 1

−

n 1

a x + a x

+

−

a x

+ ... + a x + a

f ( x)

0

1

2

n 1

=

−

n

m

m 1

−

m−2

b x + b x

+ b x

+ ... + b x + b

0

1

2

m 1

−

m

przy _ czym _ a , b ∈ ℜ

i

i

i =

,

1

,

0

....

2

Funkcja wymierna - iloraz dwóch wielomianów - jest określona na ℜ z pominięciem miejsc zerowych mianownika, przy założeniu, że licznik i mianownik nie posiadają wspólnych miejsc zerowych.

W szczególności funkcja f , gdzie

a x + a

0

1

f ( x) = b x + b

0

1

nazywamy funkcją homograficzną. Jest ona określona na zbiorze

 b 

X ∈ ℜ − 1

\



 b 0 

e) Funkcja potęgowa

Funkcja f

f ( x) = xα

określona

równością

α − liczba _ rzeczywista _ ℜ

Jeżeli

α = n, n ∈ N

to

f ( x) = x n = x : ... x dla x ∈ X = ℜ

Jeżeli

α = 0

to

f ( x) = 1 dla x ∈ X = ℜ \ {0}

_"00" _ jest _ nieoznaczo ne Jeżeli

α = − n,__ n ∈ N

to

1

f ( x) =

dla x ∈ X = ℜ \ {0}

x n

Jeżeli

α = 1 , __ n ∈ N

n

to

1

_

_

n

n

 x ∈ X = ℜ n jest nieparzyst e



f ( x) = x =

x = 



 x ∈ X = 0; + ∞ )_ n _ jest _ parzyste 





Jeżeli

m

α =

, __ n ∈ N _ m ∈ Z

n

to

m

m

 1 

n

n

f ( x) = x

=  x 







