RUCH POSTĘPOWY PO OKRĘGU
Zadanie 11.1
Samochód osobowy jedzie z szybkością v = 90 km/h. Z jaką prędkością kątową obracają się jego koła, jeżeli
ich średnica wynosi d = 75 cm?
Odp. ω = 33,3 1/s
Zadanie 11.2
Punkty położone na obwodzie koła zamachowego pewnej maszyny parowej poruszają się z szybkością
v1 = 5 m/s, natomiast punkty położone o Δr = 20 cm bliżej środka koła poruszają się z szybkością v2 = 4,5 m/s.
Jaki promień r ma koło zamachowe?
Odp. r =2m
Zadanie 11.3
W rowerze stosunek promienia przekładni do promienia koła zębatego przy kole wynosi R1 : R2 = n , podobnie
jak stosunek promienia tylnego koła do promienia przekładni R3 : R1 = n (rysunek 11.1.). Jaki jest stosunek
prędkości kątowej tylnego koła ω3 do prędkości kątowej przekładni ω1?
a) ω3 : ω1 = 1
b) ω3 : ω1 = n
c) ω3 : ω1 = n2
d) ω3 : ω1 = π
Zadanie 11.4
Prędkość liniowa punktów położonych na obwodzie koła ma wartość V1 =4 m/s, natomiast punktów położonych
o Δr = 10 cm bliżej środka osi obrotu koła v2 =3 m/s. Z jaką częstotliwością obraca się koło?
Odp. ω = 10 1/s
Zadanie 11.5
Punkty położone o Δ x = 6 cm bliżej środka wirującego koła niż punkty leżące na jego obwodzie poruszają się z
prędkością liniową o wartości n = 2,5 raza mniejszej niż punkty na obwodzie koła. Jaki jest promień koła?
a) 2,5 cm b) 6 cm
c) 8,5 cm d) 10 cm
Zadanie 11.6
Jaką wartość ma prędkość liniowa końca minutowej wskazówki zegara na wieży ratuszowej, jeżeli jej długość
wynosi l = 5 m?
Odp. v = 8,7 mm/s
Zadanie 11.7
Wskazówka minutowa w zegarku jest n = 3 razy dłuższa od wskazówki sekundowej. Jaki jest stosunek wartości
liniowych prędkości końców wskazówek sekundowej do minutowej?
Odp. k = 20
Zadanie 11.8
Promień korby przy studni jest n = 3 razy większy od promienia drewnianego wałka, na który nawijany jest
łańcuch podczas wyciągania wody. Jaka jest prędkość liniowa końca korby, jeżeli w czasie t = 15 s wiadro z
wodą zostało uniesione ruchem jednostajnym z dna studni na wysokość h = 10 m?
Odp. v = 2 m/s
Zadanie 11.9
Jaka jest prędkość liniowa punktów położonych na powierzchni wału, którego promień wynosi
r =25 cm, jeżeli wał obraca się z częstotliwością f = 600 obr./min
Odp. v = 15,7 m/s
Zadanie 11.10
Na wałek o promieniu r = 10 cm nawinięto w czasie t = 5 s nitkę o długości l = 6 m. Z jaką częstotliwością
obracał się wałek, jeżeli jego ruch był równomierny?
Odp. f = 1,9 Hz
Zadanie 11.11
Kulka zawieszona na nitce zatacza poziome kręgi, poruszając się ze stałą prędkością liniową o wartości
v = 1 m/s. W czasie t = 2 s kierunek prędkości kulki zmienił się o α = 30°. Jaką wartość ma przyspieszenie dośrodkowe działające na kulkę?
Odp. a = 0,26 m/s2
Zadanie 11.12
Kamień o masie m, uwiązany na sznurku, wiruje w płaszczyźnie poziomej ze stałą szybkością v. Jak zmieni się
pęd kamienia, jeżeli kamień wykona pół obrotu w swojej drodze po okręgu?
a) 0 b) mv
c) mv√2 d) 2 mv
Zadanie 11.13
Oblicz energię kinetyczną kuli o masie m = 500 g poruszającej się po okręgu o promieniu R = 50 cm z
częstotliwością f = 5 Hz.
Odp. E = 61,7 J
Zadanie 11.14
Kula porusza się po okręgu o promieniu R = 0,4 m ze stałą szybkością taką, że jej energia kinetyczna wynosi EK
= 8 J. Jaką wartość ma siła dośrodkowa F działająca na kulę?
Odp. F = 40 N
Zadanie 11.15
Kolarz jedzie ze stałą prędkością v po równym, prostoliniowym odcinku drogi. Jaką wartość ma chwilowa
prędkość punktów A, B, i C, położonych na kole roweru (rysunek 11.2.)?
Zadanie 11.16
Koło zamachowe obraca się z częstotliwością f = 4 obr./s. Po wyłączeniu silnika napędzającego koło obracało
się do chwili zatrzymania przez czas t = 0,5 min. Ile obrotów wykonało to koło od chwili odłączenia napędu do
chwili zatrzymania się? Należy przyjąć, że prędkość koła malała liniowo.
Odp. n = 60 obr.
Zadanie 11.17
Kamień uwiązany na sznurku o długości l = 1 m został wprawiony w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej tak,
że zakreślał koło o promieniu równym długości sznurka. Kiedy częstotliwość obrotów ustabilizowała się na
poziomie f = 180 obr./min, kamień zerwał się ze sznurka, gdy kierunek jego prędkości liniowej tworzył kąt α =
30° z kierunkiem poziomym, jak pokazano na rysunku 11.3. Na jaką wysokość wzniesie się ten kamień w
stosunku do punktu, w którym się urwał?
Odp. h = 4,53 m
Zadanie 11.19
Dwa jednakowe ciężarki powieszono na dwu bloczkach nieruchomych, jak pokazano na rysunku 11.5. Ciężarki
znajdują się w równowadze. W pewnym momencie jeden z ciężarków został odchylony o pewien kąt α, a
następnie puszczony tak, że zaczął się wahać. Co można powiedzieć o stanie równowagi ciężarków?
a) stan równowagi ciężarków pozostanie bez zmian
b) nieruchomy ciężarek zacznie się opuszczać, a huśtający podnosić
c) nieruchomy ciężarek zacznie się podnosić, a huśtający opuszczać
d) ciężarki będą na przemian podnosić się i opuszczać
Zadanie 11.20
Dziecinne wiaderko, uwiązane na sznurku o długości l = 1 m, napełniono wodą i wprawiono w ruch obrotowy w
płaszczyźnie pionowej. Przy jakiej najmniejszej częstotliwości obrotów f woda nie wyleje się z wiaderka, jeżeli
będzie ono w położeniu do góry dnem?
Odp. f = 0,5 Hz
Zadanie 11.21
Jak długo powinna trwać doba na Ziemi, aby człowiek stojący na równiku był w stanie nieważkości? Promień
Ziemi R = 6,38 • 106 m. Wskazówka: porównaj ciężar i siłę dośrodkowa.
Odp. T = 1h24min
Zadanie 11.22
O ile procent ciężar na równiku jest mniejszy od ciężaru na biegunie w wyniku wirowania Ziemi wokół własnej
osi, jeżeli założy się, że Ziemia jest kulą? Promień Ziemi R = 6,38 • 106 m.
a) 0% b) 0,34%
c) 0,92% d) 2,48%
Zadanie 11.23
Ciężarek o masie m = 500 g, uwiązany na sznurku, wiruje w płaszczyźnie pionowej. Jaka jest różnica napięcia
sznurka w górnym i dolnym położeniu ciężarka?
Odp. ΔN = 4,9 N
Zadanie 11.24
Wewnątrz napompowanej opony koła samochodowego znajduje się niewielki kamyk. Jaką co najmniej wartość
v musi mieć prędkość samochodu, aby kamyk wirował razem z kołem? Zewnętrzny promień opony wynosi R =
40 cm.
Odp. v = 2 m/s
Zadanie 11.25
Kulka uwiązana na nici została wprawiona w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej. Jaką masę ma kulka,
jeżeli różnica między maksymalnym i minimalnym naprężeniem nici wynosi Δ F = 5 N?
Odp. m = 250 g
Zadanie 11.26
Kamień uwiązany na sznurku o długości l = 50 cm wiruje w płaszczyźnie pionowej ruchem jednostajnym po
okręgu. Przy jakiej częstotliwości wirowania f sznurek się zerwie, jeżeli wiadomo, że wytrzymuje siłę o wartości
równej dziesięciokrotnemu (n = 10) ciężarowi kamienia?
Odp. f = 2,1 Hz
Zadanie 11.27
Ciężarek przywiązany jest do nitki o długości l =50 cm i wiruje w płaszczyźnie poziomej, zakreślając okrąg o
promieniu R = 20 cm (rysunek 11.6.). Z jaką częstotliwością wiruje ciężarek?
Odp. f = 0,74 Hz
Zadanie 11.28
Ciężarek o masie m = 100 g uwiązany na nici wiruje w płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu
R = 60 cm z prędkością kątową ω = 2 rad/s (rysunek 11.6,). Jaką siłą napinana jest nić?
Odp. F = 1,01 N
Zadanie 11.29
Zawieszony na nici kamień o masie m = 250 g odchylono w bok na wyprostowanej nici o kąt α = 90° tak, że
znalazł się na wysokości punktu zawieszenia, a następnie puszczono. Jaką siłą T będzie napinana nić w
momencie, gdy kamień znajdzie się w najniższym punkcie?
Odp. T = 2,45 N
Zadanie 11.30
Samochód jadący po poziomej drodze zaczął poruszać się po łuku o promieniu r = 16 m. Z jaką największą
szybkością v może jechać ten samochód, aby nie wpaść w poślizg? Współczynnik tarcia kół o drogę wynosi f =
0,4.
Odp. v = 28,5 km/h
Zadanie 11.31
Z jaką szybkością v powinien jechać samochód w najwyższym punkcie wypukłego mostu, którego promień
krzywizny R = 40 m, aby pasażerowie przez chwilę byli w stanie nieważkości?
Odp. v = 71,3 km/h
Zadanie 11.32
Samochód osobowy wjechał z szybkością v =25 m/s na wypukły most o stałym promieniu krzywizny R. Jaką
wartość ma R, jeżeli na szczycie mostu nacisk samochodu na most zmniejszył się dwukrotnie w stosunku do
nacisku samochodu na prostej drodze?
Odp. R = 127 m
Zadanie 11.33
Samolot zakreślił w powietrzu koło o promieniu R = 500 m w płaszczyźnie pionowej. Przy jakiej prędkości
samolotu przyspieszenie działające na pilota osiągnie wartość a = n • g. Oblicz tę prędkość dla n = 5.
Odp. v = 504 km/h
Zadanie 11.34
Niewielki ciężarek może przemieścić się po łuku okręgu z punktu A do punktu B lub z punktu A1 do B1 (rysunek
11.7.). Na obydwu odcinkach współczynnik tarcia jest jednakowy i nie zależy od prędkości ciężarka. Po której
drodze ciężarek zsunie się w krótszym czasie? Uzasadnij odpowiedź.
Zadanie 11.35
Na wirującym z częstotliwością f = 0,5 obr./s wokół własnej osi krążku, w odległości x = 25 cm od środka
krążka, znajduje się niewielki ciężarek. Jaką co najmniej wartość musi mieć współczynnik tarcia ciężarka o
krążek, aby ciężarek nie zsuwał się z krążka?
Odp. f = 0,25
Zadanie 11.36
Kierowca samochodu jadącego z szybkością v po wyasfaltowanej płycie lotniska w kierunku bramy znajdującej
się w okalającym teren murze zauważył w odległości s od tej bramy, że jest ona zamknięta. Ma w tej sytuacji
dwie możliwości: albo hamować, albo zawrócić po łuku o promieniu R = s, nie zmieniając szybkości. Który z tych
wariantów jest bezpieczniejszy w związku z ryzykiem wpadnięcia w poślizg? Współczynnik tarcia kół o asfalt
równy jest f. Wskazówka: oblicz najkrótszą drogę hamowania oraz najmniejszy promień łuku, po którym można
zakręcać.
Zadanie 11.37
Na kamień umocowany na sznurku o długości l1 = 2 m i wirujący w płaszczyźnie poziomej działa siła o wartości
n = 8 razy większej niż na kamień o k= 5 razy mniejszej masie wirujący na sznurku o długości /2 = 20 cm, także w płaszczyźnie poziomej, jaki jest stosunek szybkości v1 : v2?
Zadanie 11.38
Dwa ciężarki o jednakowych masach uwiązano na lince o długości l tak, że jeden znajdował się na końcu tej
linki, a drugi w odległości
⅔ l od pierwszego ciężarka. Wolny koniec linki umocowano i wprawiono wraz z cię-
żarkami w ruch obrotowy w płaszczyźnie poziomej, jak pokazano na rysunku 11.8. Na ciężarek m1 umieszczony
na końcu linki działa siła o wartości F1, która jest większa o Δ F = 150 N od wartości siły F2 działającej na ciężarek o masie m2 Jaką wartość ma maksymalna siła rozciągająca linkę?
a) 100 N b) 150 N
c) 200 N d) 250 N
Zadanie 11.39
Na końcach nieważkiej listewki umieszczono dwa ciężarki o masach m1 i m2. Następnie listewkę wprawiono w
ruch obrotowy o częstotliwości f, w płaszczyźnie poziomej wokół osi, która podzieliła listewkę na dwie nierówne
części. Masa m1 była odległa od osi obrotu o l1, natomiast masa m2 była odległa o /2. Oblicz wartość poziomej siły działającej na oś obrotu.
Zadanie 11.40
Do końca gumowego sznura o długości / = 50 cm przymocowano ciężarek o masie m = 2 kg. Po umocowaniu
drugiego końca sznura wprawiono go wraz z ciężarkiem w ruch obrotowy w płaszczyźnie poziomej z
częstotliwością f = 120 obr./min. O ile wydłuży się sznur, jeżeli jego współczynnik sprężystości wynosi k = 950
N/m, a masę sznura można zaniedbać? Przy jakiej częstotliwości obrotów guma się zerwie?
Odp. x = 25 cm; f1 = 208 obr./min
Zadanie 11.41
Metalowa kula o masie m = 250 g porusza się po okręgu o promieniu R = 50 cm w płaszczyźnie poziomej, z
częstotliwością f1 = 6 obr./s. Jaką pracę należy wykonać, aby zwiększyć częstotliwość obrotów kuli do f2 = 10
obr./s ?
Odp. W = 80 J
Zadanie 11.42
Niewielka kulka przywiązana do nitki o długości l = 61 cm została wprawiona w ruch obrotowy w płaszczyźnie
pionowej. Jaki może być największy okres obrotu T kulki, aby jej ruch był jeszcze ruchem jednostajnym po
okręgu?
Odp. T = 1,57 s
Zadanie 11.43
Metalowa kulka o masie m umocowana jest na nitce o długości l. Kulkę na wyprostowanej nici odchylono o
pewien kąt tak, że została uniesiona na wysokość h w stosunku do położenia równowagi, jak pokazano na
rysunku 11.9. Kulkę puszczono swobodnie. Na jaką wysokość h1 uniesie się kulka, jeżeli nitka w czasie ruchu
napotka wbity gwóźdź, który staje się nowym punktem obrotu? Spełniony jest warunek AB < - h : 2 .
a) 0,5 • h b) 1 h
c) 1,5 • h d) l
Zadanie 11.44
Kulka o masie m powieszona na nici o długości / została odchylona o kąt α = 90°, a następnie swobodnie
puszczona. W punkcie A położonym w odległości h =
⅔ l od punktu zaczepienia nici, pionowo pod nim, znajduje
się bolec, o który zaczepia nić, co powoduje zmianę promienia okręgu, po którym porusza się kulka (rysunek
11.10.). Jakie będzie naprężenie nici w chwili, gdy kulka znajdzie się w położeniu B takim, że odcinek nici
między bolcem a kulką będzie poziomy?
Odp. F = 4 mg
Zadanie 11.45
Cienka listewka o pomijalnej masie może obracać się swobodnie bez tarcia wokół punktu O, w którym jest
umocowana na przegubie. Do listewki przymocowano w odległości l od punktu podparcia pierwszy ciężarek o
masie m i drugi identyczny ciężarek w odległości 0,5 l od punktu O. Po przeciwnej stronie, w odległości 0,5 / od
punktu podparcia, umieszczono na listewce trzeci ciężarek o masie 2 m, jak pokazano na rysunku 11.11. Układ
utrzymano nieruchomo w położeniu poziomym, a następnie odblokowano tak, że mógł swobodnie obracać się
wokół osi O. Jaką szybkość v będzie miał drugi ciężarek w momencie, kiedy listewka obróci się o kąt 90° i
będzie dalej się poruszała?
Zadanie 11.46
Akrobata o masie m = 75 kg huśta się w cyrku na trapezie, który zawieszony jest na linkach długości / = 5 m
każda. Jaką siłą naciągane są poszczególne linki trapezu, jeżeli prędkość akrobaty w chwili przechodzenia przez
punkt równowagi ma wartość v = 6 m/s?
Odp. F = 638 N
Zadanie 11.47
Kulka o masie m zawieszona jest na nici, która wytrzymuje obciążenie T=2mg. O jaki kąt a można odchylić kulkę z nitką, aby po jej puszczeniu nitka nie urwała się w chwili przechodzenia kulki przez punkt równowagi?
Zadanie 11.48
Na poziomej listewce o pomijalnej masie, która może swobodnie obracać się wokół pionowej osi, znajdują się
dwa ciężarki o masach m1 i m2 związane nicią o długości l (rysunek 11.12). Ciężarki mogą swobodnie
przesuwać się po listewce bez tarcia. Układ listewka-ciężarki wiruje wokół osi obrotu, W jakiej odległości od osi
obrotu znajduje się każdy z ciężarków, jeśli są one w stanie równowagi?
Zadanie 11.49
Na obręcz o promieniu R nałożony jest niewielki pierścionek, który może przesuwać się po obręczy bez tarcia.
Obręcz wprawiono w ruch obrotowy wokół pionowej osi, jak pokazano na rysunku 11.13 Jaka jest prędkość ką-
towa ω obręczy, jeżeli pierścionek uniósł się na wysokość h?
Zadanie 11.50
Niewielki metalowy prostopadłościan zsuwa się po równi pochyłej bez tarcia i wpada do wnętrza cylindra o
promieniu R, w którym także może poruszać się bez tarcia (rysunek 11.14.}. Z jakiej co najmniej wysokości h
powinien zsunąć się prostopadłościan, aby mógł wykonać pełny obrót wewnątrz cylindra, nie odrywając się od
jego ścianki?
Odp. h = 2,5 R
Zadanie 11.51
Na poziomym pręcie znajduje się ciężarek o masie m, który może przesuwać się po nim bez tarcia. Ciężarek
utrzymywany jest w środku pręta za pomocą dwu jednakowych sprężyn o takim samym współczynniku
sprężystości k (rysunek 11.15.). Pręt zaczyna obracać się wokół osi O-O'. Przy jakiej prędkości kątowej CD
położenie ciężarka w dowolnym miejscu na pręcie będzie zawsze położeniem równowagi trwałej?
Zadanie 11.52
Na łuku drogi o promieniu R, nachylonym pod kątem a do poziomu w stronę środka krzywizny, jedzie
motocyklista. Z jaką szybkością on jedzie, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna kół motocykla jest prostopadła do po-
wierzchni drogi? Tarcie można pominąć.
Zadanie 11.53
W szklanej bańce o masie M, wiszącej na nici o długości L, znajduje się niewielka ilość eteru (rysunek 11.16.).
Bańka z jednej strony na wysokości swojego środka ma niewielki otwór zatkany koreczkiem o masie m.
Podgrzewając bańkę, spowodowano wzrost ciśnienia par eteru i wyrzucenie korka. Jaką co najmniej szybkość u
powinien mieć korek, aby bańka wykonała pełny obieg po okręgu wokół punktu zaczepienia nici?