Uwaga
Z warunku
f (
(
P + h) − f ( P ) − d f h
P
( )
(∗)
k
lim
= 0
h n →0
h n
wynika, e
f ( P + h) = f ( P ) + d f ( h) + ε( h)⋅ h ,
n
P
gdzie
lim ε( h) = 0
h n →0
Twierdzenie (o ró niczce odwzorowania stałego)
Je eli odwzorowanie
n
k
f :
→
jest stałe, to jest ró niczkowalne w ka dym punkcie
n
P ∈
i ró niczka tego odwzorowania jest odwzorowaniem zerowym.
Twierdzenie (o ró niczce odwzorowania liniowego)
Je eli odwzorowanie
n
k
f :
→
jest liniowe, to jest ró niczkowalne w ka dym punkcie
n
P ∈
i ró niczka tego odwzorowania jest tym samym odwzorowaniem.
Twierdzenie (o ró niczce odwzorowania zło onego)
Je eli
n
k
f :
→
jest ró niczkowalne w punkcie
n
P ∈
i
k
p
g :
→
jest
ró niczkowalne w punkcie
k
Q = f ( P )∈
, to zło enie
n
p
g f :
→
jest
ró niczkowalne w punkcie
n
P ∈
oraz d ( g f ) = ( d g ) ( d f )
P
Q
P
Wniosek
Poniewa składaniu odwzorowa liniowych odpowiada mno enie macierzy, to z powy szego twierdzenia wynika, e
( g f )′ ( P ) = g′[ f ( P )]⋅ f ′ ( P )
Twierdzenie (o zwi zku ró niczki odwzorowania z ró niczkami jego składowych) Odwzorowanie
n
k
f :
→
, gdzie f = ( f , f ,. ., f ),
n
f :
→ , j =1 , 2 ,. .,k
1
2
k
j
jest ró niczkowalne w punkcie
n
P ∈
wtedy i tylko wtedy, gdy ró niczkowalne jest ka de
odwzorowanie f , j = 1 , 2 ,. .,k w tym punkcie oraz
j
n
d f ( h ) = ( d f ( h ),d f ( h ),. .,d f ( h )), h ∈
P
P 1
P 2
P k
Twierdzenie (o działaniach arytmetycznych na ró niczkach funkcji wielu zmiennych) Je li
n
f :
→ i
n
g :
→ s ró niczkowalne w punkcie
n
P ∈
, to
(i) d ( f + g ) = d f + d g
P
P
P
(ii) d ( f ⋅ g ) = g( P )⋅ d f + f ( P )⋅ d g
P
P
P
f
g( P )⋅ d f − f ( P )⋅ d g
(iii)
P
P
d
=
, g( P ) ≠ 0
P
g
[ g( P )]2
Twierdzenie (o ró niczkowaniu funkcji zło onej wielu zmiennych) Niech g , g ,. ., g , gdzie
n
g :
→ , j =1 , 2 ,. .,k maj ci głe pochodne cz stkowe 1
2
k
j
w otoczeniu punktu
n
P ∈
. Niech
k
f :
→ ma ci głe pochodne cz stkowe w otoczeniu
punktu ( g ( P ),. ., g ( P )). Niech
n
F :
→ b dzie dane wzorem
1
k
n
F( x ) := f ( g ( x ),. ., g ( x )), x = ( x ,. ., x )∈
.
1
k
1
n
Wtedy
k
∂ F
∂
∂ f
∂
g
∂ j
( P ) =
( g ( P ),. ., g ( P ))⋅
( P ), i = 1 ,. .,n, y = g , j = 1 ,. .,k
1
k
j
j
∂ x
∂
=
= ∂ y
∂
∂ x
∂
i
j 1
j
i
Uwaga (o ró niczce odwzorowania rzutowania)
Niech
n
π :
→ , i = 1 ,. .,n b dzie rzutowaniem na i – t zmienn
i
n
π ( x ,. ., x ) := x , x = ( x ,. ., x )∈
i
1
n
i
1
n
Odwzorowania te s liniowe, wi c ró niczkowalne w ka dym punkcie
n
P ∈
oraz
d π = π , i = 1 ,. .,n .
P i
i
Wprowadzamy nast puj ce oznaczenie:
n
dx := d π = π , P ∈
, i = 1 ,. .,n
i
P i
i
n
dx ( h ,. .,h ) = h , h = ( h ,. .,h )∈
, i = 1 ,. .,n
i
1
n
i
1
n
Twierdzenie (o postaci ró niczki funkcji wielu zmiennych) Niech
n
A ⊂
b dzie zbiorem otwartym. Je eli f : A → jest ró niczkowalne w punkcie
P ∈ A , to
n
f
∂
d f =
( P )⋅ dx
P
i
i
∂
1
=
x
∂ i
Definicja (pochodnej cz stkowej II rz du)
Niech funkcja
n
f : top
∋ A → b dzie ró niczkowalna w P ∈ A. Pochodn cz stkow rz du II funkcji f w punkcie P ∈ A okre la si wzorami:
2
∂ f
∂
∂ f
∂
( P ) :=
( P ) , i = 1 ,. .,n
2
∂ x
∂
∂ x
∂
∂ x
∂
i
i
i
2
∂ f
∂
∂ f
∂
( P ) :=
( P ) , i , j = 1 ,. .,n, i ≠ j - pochodna cz stkowa mieszana
∂ x
∂ ∂ x
∂
∂ x
∂
∂ x
∂
i
j
i
j
Uwaga
Pochodne cz stkowe wy szych rz dów definiuje si analogicznie.
n
L(
, ))
Niech
n
f : top
∋ A → ma ró niczk d f w ka dym P ∈ A. Ró niczka jest
P
odwzorowaniem liniowym i ci głym. Istnieje wi c odwzorowanie pochodne:
n
df : A ∋ P → d f ∈ L(
, )
P
n
L(
, ) - przestrze odwzorowa liniowych i ci głych z norm
| H |
:= sup{| H( x )|: | x | = }
n
n
1
L(
, )
Definicja (ró niczki II rz du)
Niech
n
f : top
∋ A → ma ró niczk d f w ka dym P ∈ A. Drug ró niczk
P
odwzorowania f w punkcie P oznacza si symbolem 2
d f oraz
P
2
d f := d ( df ) = d ( d f )
P
P
P
P
Analogicznie definiuje si ró niczki wy szych rz dów.
Uwaga (o ró niczce II rz du)
2
n
n
d f :
→ L(
, ) jest odwzorowaniem liniowym.
P
Zatem 2
n
d f ( h )∈ L(
, ).
P
St d 2
n
d f ( h ) :
→ jest odwzorowaniem liniowym.
P
St d
2
ˆ
( d f ( h ))( h )∈ ,
n
ˆh∈
P
Zatem mo na powiedzie , e
2
n
n
2
ˆ
ˆ
d f :
×
∋ ( h,h ) → d f ( h,h )∈
P
P
jest odwzorowaniem dwuliniowym.
Ponadto mo na pokaza , e jest to odwzorowanie symetryczne, tzn.
n
n
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
∀ (
∀ h,h )∈
×
d f ( h,h ) = d f ( h,h )
P
P
Dla skrócenia zapisu u ywa si nast puj cego oznaczenia:
2
2
n
d f ( h ) := d f ( h,h ), h∈
P
P
Twierdzenie (o postaci drugiej ró niczki funkcji wielu zmiennych) Je eli
n
f : top
∋ A → ma drug ró niczk w punkcie P ∈ A, to
n
2
∂
2
f
d f =
( P )dx dx
P
i
j
i , j
∂ ∂
1
=
x x
∂
i
j