Centralna

Komisja

Egzaminacyjna

Materia wspó finansowany ze !rodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego

Próbny egzamin maturalny z matematyki

listopad 2009

Klucz odpowiedzi do zada zamkni!tych

i przyk"adowe rozwi#zania zada otwartych

Klucz odpowiedzi do zada zamkni!tych

Nr zadania 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Odpowied$ A C

B

B

C

A

B

A

D

A

C

B

B

C

C

D

A

D

C

D

A

A

D

D

A

Przyk"adowe rozwi#zania zada otwartych

Zadanie 26. (2 punkty)

Rozwi"# nierówno!$ 2

x 3 x ! 2 " 0 .

Rozwi#zanie:

Obliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej f # x$

2

% x 3 x ! 2 :

& % # $2

3

4'1' 2 % 9 8 % 1

& % 1

3 1

3 !1

x %

% 1 x %

% 2

1

2

2

2

Rysuj% fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytuj%

rozwi"zanie nierówno!ci:

y

6

5

4

3

2

1

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

Odpowied&: x ( 1, 2 .

Uwaga: Mo#na przedstawi$ funkcj% f w postaci f # x$ % # x $

1 # x 2$ i odczyta$

rozwi"zanie nierówno!ci.

2

Zadanie 27. (2 punkty)

Rozwi"# równanie 3

2

x 7 x ! 2 x 14 % 0 .

Rozwi#zanie:

Stosuj% metod% grupowania, by przedstawi$ lew" stron% równania w postaci iloczynowej: 3

2

2

x x ! x

% x # x $ ! # x $ % # 2

7

2

14

7

2

7

x ! 2$# x 7$ .

Z równania # 2

x ! 2$# x 7$ % 0 otrzymujemy, #e

2

x ! 2 % 0 lub x 7 % 0 .

Równanie 2

x ! 2 % 0 nie ma rozwi"za'. Rozwi"zaniem równania x 7 % 0 jest liczba 7.

Odpowied&: Jedynym rozwi"zaniem jest x % 7 .

Zadanie 28. (2 punkty)

W uk adzie wspó rz%dnych na p aszczy&nie punkty A % #2, 5$ i C % #6, 7$ s" przeciwleg ymi wierzcho kami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.

Rozwi#zanie:

7 5

1

Obliczam wspó czynnik kierunkowy prostej AC: a

%

% , a nast%pnie wyznaczam

AC

6 2

2

wspó czynnik kierunkowy prostej BD prostopad ej do AC: a

% 2

.

BD

) 2 ! 6 5 ! 7 *

Wyznaczam wspó rz%dne !rodka S odcinka AC: S %

,

%

+

, #4,6$ i wyznaczam

- 2

2 .

równanie prostej o wspó czynniku kierunkowym 2 , przechodz"cej przez punkt S.

Odpowied&: y % 2

x !14 .

Zadanie 29. (2 punkty)

4

K"t jest ostry i tg/ %

. Oblicz sin / ! cos/ .

3

Rozwi#zanie:

I sposób rozwi"zania:

sin /

4

4

Z definicji funkcji tangens mamy

% , zatem sin/ % cos/ . Podstawiam t% równo!$

cos/

3

3

2

) 4

*

9

do to#samo!ci

2

2

sin / ! cos / % 1 i otrzymuj%

2

cos/

! cos / % 1

+

,

, a st"d

2

cos / %

.

- 3

.

25

3

3

Zatem cos/ %

lub cos/ %

. Ujemny wynik odrzucam, poniewa# zgodnie z warunkami

5

5

4

zadania k"t / jest k"tem ostrym. Obliczam warto!ci funkcji sin / %

, a nast%pnie warto!$

5

4

3

7

wyra#enia sin / ! cos/ %

! % .

5

5

5

7

Odpowied&: sin / ! cos/ %

.

5

3

II sposób rozwi"zania:

Rysuj% trójk"t prostok"tny, w którym oznaczam przyprostok"tne 3 x i 4 x oraz 4

zaznaczam k"t ostry / tak, aby tg/ %

.

3

4 x

3 x

2

2

Z twierdzenia Pitagorasa obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej: # x$ ! # x$

2

4

3

% 25 x .

4

Zatem przeciwprostok"tna ma d ugo!$ 5 x . Obliczam warto!ci funkcji sin / %

5

3

4

3

7

i cos/ %

. St"d sin / ! cos/ %

! % .

5

5

5

5

7

Odpowied&: sin / ! cos/ %

.

5

Zadanie 30. (2 punkty)

) m !1 m ! 3 m ! 9 *

Wyka#, #e dla ka#dego m ci"g +

,

,

, jest arytmetyczny.

- 4

6

12 .

Rozwi#zanie:

I sposób rozwi"zania:

Wystarczy sprawdzi$, #e zachodzi nast%puj"cy zwi"zek mi%dzy s"siednimi wyrazami a

! a

ci"gu:

n 1

n 1

a

!

%

.

n

2

m !1

m ! 3

m ! 9

Mamy a %

, a %

, a %

.

1

4

2

6

3

12

m !1

m ! 9

!

a ! a

3 m ! 3 ! m ! 9

4 m !12

m ! 3

Zatem 1

3

4

12

%

%

%

%

% a .

2

2

2

24

24

6

) m !1 m ! 3 m ! 9 *

St"d wynika, #e ci"g +

,

,

, jest arytmetyczny dla ka#dego m.

- 4

6

12 .

II sposób rozwi"zania:

m !1

m ! 3

m ! 9

Mamy a %

, a %

, a %

.

1

4

2

6

3

12

Wystarczy sprawdzi$, #e a a % a a .

2

1

3

2

Obliczamy:

m ! 3

m ! 1

m ! 9

m ! 3

%

6

4

12

6

2 m ! 6 3 m 3

m ! 9 2 m 6

%

12

12

m ! 3

m ! 3

%

12

12

4

Zadanie 31. (2 punkty)

Trójk"ty ABC i CDE s" równoboczne. Punkty A, C i E le#" na jednej prostej. Punkty K, L i M

s" !rodkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wyka#, #e punkty K, L i M

s" wierzcho kami trójk"ta równobocznego.

D

M

B

A

E

K

C

L

Rozwi#zanie:

Z warunków zadania wynika, #e BAC %

D

CE % 600 , wi%c odcinki AB i CD s"

równoleg e. Czworok"t ACDB jest trapezem. Odcinek KM "czy !rodki boków nierównoleg ych w tym trapezie, wi%c jest równoleg y do jego podstaw. Wobec tego MKL % 600 .

Podobnie ACB % CED % 600 , wi%c odcinki BC i DE s" równoleg e. Czworok"t BCED

jest trapezem. Odcinek ML "czy !rodki boków nierównoleg ych w tym trapezie, wi%c jest równoleg y do jego podstaw. Wobec tego KLM % 600 .

Odpowied&: Dwa k"ty trójk"ta KLM maj" miar% 600 , zatem jest to trójk"t równoboczny.

Zadanie 32. (5 punktów)

Ucze' przeczyta ksi"#k% licz"c" 480 stron, przy czym ka#dego dnia czyta jednakow" liczb%

stron. Gdyby czyta ka#dego dnia o 8 stron wi%cej, to przeczyta by t% ksi"#k% o 3 dni wcze!niej. Oblicz, ile dni ucze' czyta t% ksi"#k%.

Rozwi#zanie:

Oznaczam: x – liczba stron przeczytanych ka#dego dnia, y – liczba dni.

Zapisuj% i rozwi"zuj% uk ad równa':

1 x ' y % 480

2#3

2 x ! 8

4

$'# y 3$ % 480

480

Z pierwszego równania mamy x %

, zatem

y

) 480

*

! 8 '

+

, # y 3$ % 480 ' y

- y

.

#480 !8 y$# y 3$ % 480 y

Po uproszczeniu otrzymuj% równanie 2

y 3 y 180 % 0 .

Rozwi"zaniem równania s" liczby: –12 oraz 15. Odrzucam ujemn" liczb% dni.

Odpowied&: Ucze' przeczyta ksi"#k% w ci"gu 15 dni.

5

Zadanie 33. (4 punkty)

Punkty

A % #2, 0$ i B % #12, 0$ s" wierzcho kami trójk"ta prostok"tnego ABC

o przeciwprostok"tnej AB. Wierzcho ek C le#y na prostej o równaniu y % x . Oblicz wspó rz%dne punktu C.

Rozwi#zanie:

I sposób rozwi"zania:

Punkt C le#y na prostej o równaniu y % x i na okr%gu, którego !rodkiem jest !rodek przeciwprostok"tnej, a promie' jest równy po owie d ugo!ci tej przeciwprostok"tnej.

Obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej AB: AB %

#12 2$2 ! #0 0$2 % 10 .

Wyznaczam wspó rz%dne !rodka przeciwprostok"tnej: S % #7, 0$ .

Zapisuj% równanie okr%gu: # x 7$2

2

! y % 25

1 y % x

Rozwi"zuj% uk ad równa' #3

4 x 7$2 ! 2

y % 25

Otrzymuj% równanie z jedn" niewiadom":

2

x 7 x ! 12 % 0

Rozwi"zaniem tego równania s" liczby: x % 4 , x % 3 .

1

2

Odpowied&: Warunki zadania spe niaj" dwa punkty: C % # , 4 4$ oraz C % #3,3$ .

II sposób rozwi"zania:

Oznaczmy wspó rz%dne punktu C przez # x, y$ . Wtedy AB % #12 2$2 ! #0 0$2 % 10 , 2

2

AC % # x $2 ! # y $2

2

0

, BC % # x 12$ ! # y 0$ .

2

2

2

Trójk"t ABC jest prostok"tny, wi%c spe niona jest równo!$ AC ! BC

% AB , czyli

# x $2 ! y ! # x $2

2

2

2

2

12

! y % 10 .

Punkt C le#y te# na prostej o równaniu y % x , zatem aby obliczy$ jego wspó rz%dne, nale#y rozwi"za$ uk ad równa':

#

1 x 2$2 ! y 2 ! # x 12$2 ! y 2 % 2

10

3

4 y % x

2

2

2

2

x 4 x ! 4 ! x ! x 24 x !144 ! x % 100

2

4 x 28 x ! 48 % 0

2

x 7 x ! 12 % 0

x % 4,

x % 3

1

2

Odpowied&: Warunki zadania spe niaj" dwa punkty: C % # , 4 4$ oraz C % #3,3$ .

6

Zadanie 34. (4 punkty)

Pole trójk"ta prostok"tnego jest równe

2

60 cm . Jedna przyprostok"tna jest o 7 cm d u#sza od drugiej. Oblicz d ugo!$ przeciwprostok"tnej tego trójk"ta.

Oznaczam: a, b – d ugo!ci przyprostok"tnych danego trójk"ta.

Zapisuj% uk ad równa'

1 a % b ! 7

231

a ' b % 60

242

1

Otrzymuj% równanie z jedn" niewiadom"

# b ! 7$ b % 60 , którego pierwiastkami s" liczby 2

b % 8 oraz b % 15 .

Odrzucam ujemny pierwiastek, gdy# b jest d ugo!ci" odcinka. Zatem b % 8 , a % 8 ! 7 % 15 .

Teraz obliczam d ugo!$ przeciwprostok"tnej

2

2

2

2

c % a ! b % 8 !15 %

289 % 17 .

Odpowied&: Przeciwprostok"tna ma d ugo!$ 17 cm.

7