Wyra żenia algebraiczne, funkcje, nierówności 1. Oblicz wartość wyrażenia: 1 + a + a2

b2 + b + 1

1

1

a)

+

jeśli a =

,

b = − ,

1 + a − a2

b2 − b + 1

3

3

b) (a − 1)3 − 4a(a + 1)(a − 1) + 3(a − 1)(a2 + a + 1) dla a = −2, c) 3(m − 1)2 + (m + 2)(m2 − 2m + 4) − (m + 1)3 dla m = − 1 , 3

(x + y)2 − (x − y)2

d)

jeśli x = 1, 7, y = −0, 7.

4xy

2. Wykazać, że:

a) |x||y| = |xy|,

b) |x − y| 6 |x| + |y|, a + b − |a − b|

a + b + |a − b|

c)

6 a 6

.

2

2

3. Obliczyć x − y, x + y, xy, x . Otrzymane wyniki przedstaw w postaci y

√

a + b c.

√

√

√

√

a) x = 3 + 2 3, y = 2 − 3 3, b) x = 2 −

2, y = 2 +

2,

√

√

c) x = 2 − 5 7, y = 1 −

7.

4. Naszkicować wykresy funkcji:

|x|

1

x + 2

a) x →

,

b) x → 2x2 − 3x + 3, c) x →

,

d) x →

,

x

x

x − 3

e) x → x2 − 2|x|,

f) x → log (x2).

x

5. Wyznaczyć dziedzine funkcji:

√

,

a)x →

x2 − 6x + 8,

b) x → log (x4 − 3x2 + 2x), 2

c) x → (x − 1)x2−3x−4, d) x → plog (x2 − 2x).

2

6. Sprawdzić różnowartościowość funkcji i wyznaczyć (tam gdzie to możliwe) funkcje odwrotne:

2x − 1

2x − 1

√

a)x →

, b) x →

,

c) x → ln(x+ x2 + 1), d) x → x3−x,

x + 2

2x + 1

log x + 2

x →

2

.

log x − 3

2

7. Rozwiazać nierówności:

,

x2 − 3x

2x − 3

x + 1

3

a)

6 0,

b)

> 2,

c) −1 <

<

,

x3 − 4x + 3

x2 − 1

x − 1

x − 3

2 x

d) 2x > 5,

e)

> 2,

f) 32x−7 > 2,

g) log x > 5,

3

2

h) log (2x − 7) < 2, i) 2log x

2

3

6 x,

√

√

j) (ex − 5)(x2 − 6x + 5)(log (2x − 3) − 3) > 0, k)

x3 − 3 x > −2.

2