Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
1.
SZACOWANIE MODELU LINIOWEGO Z
DWIEMA
ZMIENNYMI OBJASNIAJACYMI
1.1 DANE DO ZADANIA
Oszacowac KMNK parametry nastepujacego modelu:
y = b 0 + b x
1 1 + b x
2
2
+ u
t
t
t
t
gdzie:
y – podaz pieniadza M2 [mld zl],
x1 – stopa redyskontowa banku centralnego,
x2 – Produkt Krajowy Brutto [mld zl].
Ponadto:
1. Zinterpretuj wplyw zmiennych objasniajacych na zmienna objasniana.
2. Oblicz miary dopasowania modelu i zinterpretuj je.
3. Oszacuj srednie bledy ocen parametrów modelu.
4. Ocen istotnosc zmiennych objasniajacych i wykonaj estymacje przedzialowa parametrów strukturalnych modelu.
5. Ocen istotnosc autokorelacji skladnika losowego pierwszego rzedu testem DW.
Dane do zadania przedstawia ponizsza tabela.
okres
yt
x1t
x2t
1
23
9,5
4,5
2
25
9,25
5,1
3
27
9,25
5,7
4
28
8,75
5,8
5
32
8
6,1
6
35
7,25
7
7
40
6
8,4
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
1.2 SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU
Estymator KMNK dla potrzeb naszego zadania zapiszemy w postaci: b
( X T 1
ˆ
−
=
X ) X T y
Konstruujac macierz XTX zauwazmy, ze w modelu wystepuja trzy parametry, co determinuje wymiary tej macierzy. Poslugujac sie schematem konstrukcyjnym tej macierzy zapiszemy, ze:
n
x
x
∑ t
∑
1
2
T
t
2
X X = ∑ x
x
x
x
t
∑ t
∑ t ⋅
1
1
1
2
t
2
∑ x
x
x
x
t
∑ t ⋅
t
∑
2
1
2
2
t
(3 3×)
Natomiast macierz XTy przyjmie postac:
y
∑
t
T
X y = ∑ y x
t
1
t
y x
∑ t 2
t (3× )
1
Poslugujac sie ponizsza tabela wyznaczymy wielkosci wystepujace w macierzach: okres
y
2
2
t
x1t
x2t
x1tx2t
ytx1t
ytx2t
x1t
x2t
1
23
9,5
4,5
42,75
218,5
103,5
90,25
20,25
2
25
9,25
5,1
47,175
231,25
127,5
85,5625
26,01
3
27
9,25
5,7
52,725
249,75
153,9
85,5625
32,49
4
28
8,75
5,8
50,75
245
162,4
76,5625
33,64
5
32
8
6,1
48,8
256
195,2
64
37,21
6
35
7,25
7
50,75
253,75
245
52,5625
49
7
40
6
8,4
50,4
240
336
36
70,56
suma
210
58
42,6
343,35
1694,25
1323,5
490,5
269,16
Mozemy zatem zapisac interesujace nas macierze nastepujaco:
7
58
6
,
42
210
( X T X ) = 58
5
,
490
35
,
343
X T y =
,
1694
25
6
,
42
35
,
343
16
,
269
5
,
1323
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
Macierz XTX nalezy odwrócic, zgodnie z formula:
1
−
( X T
)
T
X D
( X X )
=
X T X
Dopelnienia algebraiczne elementów macierzy XTX, które wchodza w sklad macierzy (XTX)D
obliczamy nastepujaco:
C
i+ j
≡ ( −1 ) ⋅ M
ij
ij
gdzie:
|Cij| - dopelnienie algebraiczne elementu macierzy XTX dla i-tego wiersza i j-tej kolumny,
|Mij|
- minor elementu dla i-tego wiersza i j-tej kolumny,
i
- numer wiersza,
j
- numer kolumny.
Stad np. dla elementu 7 (wiersz 1, kolumna 1) z macierzy (XTX) dopelnienie jest nastepujace: 5
,
490
35
,
343
≡ (− )
1 1 1
+
C
⋅
=
7575
,
14133
11
35
,
343
16
,
269
Podobnie obliczamy dopelnienia dla pozostalych elementów i otrzymujemy macierz:
7575
,
14133
−
57
,
984
−
981
T
D
( X X )
= −
57
,
984
36
,
69
35
,
67
− 981
35
,
67
5
,
69
Nastepnie obliczamy wyznacznik macierzy XTX:
X T X =
6425
,
40
Stad ostatecznie otrzymujemy macierz odwrotna:
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4
75807
,
347
− ,
24 22513
−
13729
,
24
−1
( X T X )
= − ,
24 22513
70659
,
1
65713
,
1
− 13729
,
24
65713
,
1
71003
,
1
Mozemy zatem obliczyc oceny parametrów strukturalnych modelu: ˆ
347,75807 − ,
24 22513
−
13729
,
24
210 ,
40 05296
b 0
T
1
ˆ
−
T
ˆ
b = ( X X ) X y = −
,
24 22513
,
1 70659
,
1 65713
⋅
,
1694 25 = − ,
2 67688 ← b
1
ˆ
− 13729
,
24
,
1 65713
,
1 71003
5
,
1323
99268
,
1
b
2
Majac szacunki punktowe parametrów zapiszemy model w postaci teoretycznej: yˆ =
05296
,
40
− 67688
,
2
⋅ x + 99268
,
1
⋅ x
t
t
1
2 t
1.3 INTERPRETACJA MODELU
Na podstawie przedstawionego modelu mozemy dokonac oceny wplywu zmiennych objasniajacych (stopy dyskontowej oraz PKB) na wielkosc podazy pieniadza:
• wzrost stopy redyskontowej o 1 punkt procentowy powodowal w badanym okresie spadek podazy pieniadza srednio o 2,677 mld zlotych (spadek stopy dyskontowej o 1 punkt procentowy powodowal w badanym okresie wzrost podazy pieniadza srednio o 2,677 mld zlotych), przy zalozeniu stalosci zmiennej x2 czyli PKB
• wzrost PKB o 1 mld zlotych powodowal w badanym okresie wzrost podazy pieniadza srednio o 1,993 mld zlotych (spadek PKB o 1 mld zlotych powodowal w badanym okresie spadek podazy pieniadza srednio o 1,993 mld ), przy zalozeniu stalosci x1 czyli stopy redyskontowej 1.4 REPREZENTACJA GRAFICZNA UZYSKANYCH WYNIKÓW
Jezeli obliczymy na podstawie powyzszego modelu teoretyczne wartosci zmiennej y to otrzymamy wartosci yˆ , jak przedstawiono w tabeli: t
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
5
okres
yt
y
ˆ
t
1
23
23,58968
2
25
25,45451
3
27
26,65012
4
28
28,18783
5
32
30,79329
6
35
34,59436
7
40
40,73021
Na podstawie tych danych mozemy wykonac wykres przedstawiajacy dopasowanie danych teoretycznych zmiennej objasnianej do danych rzeczywistych.
45
y
40
y teoretyczne
35
30
Podaz pieniadza [mld zl]
25
20
1
2
3
4
5
6
7
okres
Jak widac dopasowanie punktów teoretycznych do rzeczywistych jest dosc dobre. Aby ocenic dopasowanie bardziej precyzyjnie obliczamy statystyczne miary dopasowania: 1.5 MIARY DOPASOWANIA
1. Wspólczynnik zbieznosci
2
T
T ˆ
yt − ( X y)
∑
b
2
ϕ =
2
( yt − y)
∑
Dane do powyzszej formuly obliczamy w tabeli (srednia arytmetyczna y = 30 ): Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
5
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
6
okres
2
y
2
( y − y)
t
t
1
529
49
2
625
25
3
729
9
4
784
4
5
1024
4
6
1225
25
7
1600
100
suma
6516
216
,
40 05296
6516 − [210
,
1694 25
]5
,
1323
⋅ − ,
2 67688
99268
,
1
−
2
6516
12964
,
6513
ϕ =
=
216
216
2
ϕ = 0132
,
0
Interpretujac wspólczynnik zbieznosci powiemy, ze 1,32 % calkowitej zmiennosci podazy pieniadza nie zostalo wyjasnione przez model, czyli przez zmiennosc stopy dyskontowej x1 oraz zmiennosc PKB x2.
2. Wspólczynnik determinacji
Wspólczynnik ten obliczymy korzystajac ze wzoru:
2
R = 1
2
− ϕ = 1− 0132
,
0
= 9868
,
0
Powiemy, ze 98,68 % calkowitej zmiennosci podazy pieniadza zostalo wyjasnione przez model, czyli przez zmiennosc stopy dyskontowej oraz PKB.
Dodatkowo mozna by obliczyc tzw. skorygowany wspólczynnik determinacji, który jest dokladniejsza miara wyjasnionej czesci calkowitej wariancji zmiennej objasnianej (oznaczamy go
2
R ), ale pominiemy te obliczenia.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
6
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
7
3. Wariancja reszt modelu
05296
,
40
6516 − [210
,
1694 25
]5
,
1323
⋅ − 67688
,
2
2
T
T ˆ
∑ yt −( X y) b
99268
,
1
−
2
6516
12964
,
6513
ˆ
σ
u =
=
=
n − ( k + )
1
7 − (2 + )
1
4
87036
,
2
ˆ 2
σ
u =
= ,
0 7176
4
4. Na postawie wariancji wyznaczamy sredni blad resztowy: ˆ
σ
mld zl.
u =
7176
,
0
= 8471
,
0
Wartosc sredniego bledu reszt wskazuje, ze wartosci teoretyczne yˆ róznia sie od wartosci t
empirycznych yt srednio o 0,8471 mld zl.
Poniewaz blad sredni regresji jest miara bezwzgledna mozna dodatkowo obliczyc miernik pozwalajacy porównac go z wartosciami zmiennej objasnianej y. Na tej podstawie obliczamy wspólczynnik zmiennosci losowej:
ˆ
σ
8471
,
0
v =
u ⋅100 =
⋅100 = 82
,
2
%
y
30
Powyzsza wartosc oznacza, ze reszty modelu stanowia przecietnie okolo 2,82% wartosci zmiennej objasnianej y.
1.6 SREDNIE BLEDY OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU
Aby oszacowac srednie bledy ocen parametrów naszego modelu nalezy znac szacunki wariancji ocen parametrów. Dlatego nalezy wyznaczyc realizacje macierzy wariancji-kowariancji ocen parametrów.
75807
,
347
− ,
24 22513
−
13729
,
24
2
ˆ
1
D ( b) = ˆ 2
σ
u ⋅ ( X T X )−
= 7176
,
0
⋅ − ,
24 22513
70659
,
1
65713
,
1
=
− 13729
,
24
65713
,
1
71003
,
1
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
7
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
8
249,55119
−
38395
,
17
−
32092
,
17
= − 38395
,
17
1,22465
18916
,
1
− 32092
,
17
18916
,
1
1,22712
Pierwiastki elementów lezacych na glównej przekatnej powyzszej macierzy to wlasnie srednie bledy ocen parametrów, a zatem:
ˆ
σ =
55119
,
249
= ± 79719
,
15
ˆ
b 0
ˆ
σ = ,
1 22465 = ± 10664
,
1
ˆ
b 1
ˆ
σ = ,
1 22712 = ± 10775
,
1
ˆ
b 2
Wobec tego mozemy zapisac model w postaci uwzgledniajacej obliczone odchylenia standardowe ocen parametrów:
yˆ =
,
40 05296− ,
2 67688⋅ x + 99268
,
1
⋅ x
t
( 15
±
,79719 )
(±
)
t
1
10664
,
1
(± 10775
,
1
)
2 t
1.7 TEST ISTOTNOSCI ZMIENNYCH OBJASNIAJACYCH
Zakladajac, ze skladnik losowy spelnia wlasnosci normalnosci rozkladu, stalosci wariancji oraz braku istotnej autokorelacji mozemy wykonac ocene istotnosci zmiennych objasniajacych modelu za pomoca testu t-Studenta.
Dla parametru b1 stawiamy zestaw hipotez:
H0: b1 = 0, HA: b1 ≠ 0.
Dla parametru b2 stawiamy zestaw hipotez:
H0: b2 = 0, HA: b2 ≠ 0.
Obliczmy statystyki próbkowe dla parametrów b1 i b2:
ˆ
b
− 67688
,
2
1
t
=
=
= ,
2 418
ˆ
b 1
ˆ
σ
10664
,
1
ˆ
b 1
ˆ
b
99268
,
1
2
t
=
=
= 799
,
1
ˆ
b 2
ˆ
σ
10775
,
1
ˆ2
b
Przy zalozeniu prawdziwosci hipotez zerowych powyzsze statystyki maja rozklady t-Studenta o n-(k+1) stopniach swobody, wobec tego, przy zalozonym poziomie istotnosci dla testu dwustronnego (α = 0,1), znajdujemy w tablicach statystycznych wartosc krytyczna rozkladu t: Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
8
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
9
t
a
= t
= 132
,
2
0,05
2
Porównujac statystyki próbkowe z wartoscia krytyczna otrzymujemy:
• t > t zatem odrzucamy hipoteze H
ˆ
0 na korzysc hipotezy HA, czyli stwierdzamy, ze
b
α
1
2
parametr b1 istotnie rózni sie od 0, co oznacza, ze zmienna x1 (stopa dyskontowa banku) istotnie wplywala w badanym okresie na podaz pieniadza,
• t < t zatem nie ma podstaw do odrzucenia H
ˆ
0, czyli uznajemy parametr b1 za nieistotnie
b
α
2
2
rózny od 0, co oznacza, ze zmienna x2 (Produkt Krajowy Brutto) nieistotnie wplywala w badanym okresie na podaz pieniadza.
W takim wypadku nalezaloby usunac zmienna x2 z modelu i dokonac ponownego oszacowania modelu tylko z jednym regresorem, czyli ze zmienna objasniajaca x1.
1.8 PRZEDZIALY UFNOSCI PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
Estymacja punktowa pozwolila dla warunków naszego zadania znalezc liczbowe oceny parametrów modelu ˆ
ˆ
ˆ
b , b , b (wartosci oczekiwane tych estymatorów). Poniewaz, przy spelnieniu 0
1
2
zalozen regresji liniowej dla wielu zmiennych objasniajacych, estymatory te maja rozklady normalne to mozemy takze znalezc ich charakterystyki przedzialowe. W tym celu skonstruujemy tzw.
przedzialy ufnosci dla parametrów analizowanego modelu, przy zalozonym poziomie ufnosci.
Zalózmy, ze poziom ufnosci 1-α = 0,9, a zatem konstrukcja przedzialu ufnosci dla parametru bi bedzie nastepujaca:
P(ˆ
ˆ
b
t
σ
b
b
t
σ
i −
⋅ ˆ ≤ i ≤ i +
⋅ ˆ =
0,05
ˆ
0,05
ˆ
i
b
i
b )
9
,
0
Stad:
P(ˆ
ˆ
b − t
⋅ ˆ
σ ≤ b ≤ b + t
⋅ ˆ σ =
0
0,05
ˆ
0
0
0,05
ˆ
b
b
0
0 )
= P( 05296
,
40
− 132
,
2
⋅ 79719
,
15
≤ b ≤
05296
,
40
+ 132
,
2
⋅ 79719
,
15
=
0
)
P( 37335
,
6
≤ b ≤
73256
,
73
=
0
) 9,
0
Powiemy zatem, ze z prawdopodobienstwem 0,9 parametr b0 zostanie pokryty przez przedzial miedzy 6,37335, a 73,73256.
Nie jest to (w kontekscie rachunku prawdopodobienstwa) scisla interpretacja naszego wyniku, ale dla potrzeb zadania zupelnie wystarczajaca.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
9
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
10
P(ˆ
ˆ
b − t
⋅ ˆ σ ≤ b ≤ b + t ⋅ ˆ
σ =
1
0,05
ˆ
1
1
0,05
ˆ
1
b
1
b )
= P(− 67688
,
2
− 132
,
2
⋅ 10664
,
1
≤ b ≤ − 67688
,
2
+ 132
,
2
⋅ 10664
,
1
=
0
)
P(− 03624
,
5
≤ b ≤ − 31752
,
0
=
0
) 9,
0
Powiemy zatem, ze z prawdopodobienstwem 0,9 parametr b1 zostanie pokryty przez przedzial miedzy –5,03624, a –0,31752.
P(ˆ
ˆ
b − t
⋅ ˆ σ ≤ b ≤ b + t
⋅ ˆ
σ =
2
0,05
ˆ
2
2
0,05
ˆ
2
b
2
b )
= P( 99268
,
1
− 132
,
2
⋅ 10775
,
1
≤ b ≤ 99268
,
1
+ 132
,
2
⋅ 10775
,
1
=
0
)
P(− 36904
,
0
≤ b ≤ 35440
,
4
=
0
) 9,
0
Powiemy zatem, ze z prawdopodobienstwem 0,9 parametr b2 zostanie pokryty przez przedzial miedzy –0,36904, a 4,35440.
1.9 TEST LACZNEJ ISTOTNOSCI ZMIENNYCH OBJASNIAJACYCH (TEST
ISTOTNOSCI WSPÓLCZYNNIKA DETERMINACJI)
Poslugujac sie uogólnionym testem Walda mozemy z kolei zbadac laczna istotnosc zmiennych objasniajacych (wspólczynnika determinacji R2). Hipotezy w tym tescie postawimy nastepujaco: H0: parametry strukturalne b1 i b2 nie róznia sie istotnie od 0
HA: przynajmniej jeden z parametrów b1 i b2 istotnie rózni sie od 0
Obliczmy statystyke próbkowa o postaci:
2
R / k
9868
,
0
/ 2
,
0 4934
F =
=
=
=
67
,
149
2
ϕ /( n − ( k + ))
1
0132
,
0
/(7 − (2 + ))
1
0033
,
0
Powyzsza statystyka, przy zalozeniu prawdziwosci hipotezy zerowej, ma rozklad F Fishera-Snedecora. Dlatego wartosc F nalezy porównac ze znaleziona w tablicach statystycznych wartoscia krytyczna rozkladu F dla przyjetego poziomu istotnosci. Obszar krytyczny testu jest prawostronny.
Zakladajac poziom istotnosci α = 0,05 i majac stopnie swobody licznika k, oraz stopnie swobody mianownika n-(k+1) odczytujemy wartosc nastepujaca:
F ( k, n
α
− ( k + ))
1 = F
( ,
2 4) = 94
,
6
0,05
Poniewaz zachodzi zaleznosc F > F
( ,
2 4) to odrzucamy hipoteze zerowa i stwierdzamy, ze
0,05
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
10
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
11
przynajmniej jeden z parametrów istotnie rózni sie od 0 (zmienne objasniajace lacznie istotnie wplywaja na zmienna objasniana; spólczynnik determinacji R2 jest istotny statystycznie).
1.10 TEST ISTOTNOSCI AUTOKORELACJI SKLADNIKA LOSOWEGO
1.10.1 TEST DURBINA-WATSONA
Aby ocenic istotnosc wspólczynnika autokorelacji rzedu I-ego wykonamy test Durbina-Watsona.
Stawiamy nastepujacy zestaw hipotez:
H0: wspólczynnik autokorelacji ρ1 nieistotnie rózni sie od 0, HA: wspólczynnik autokorelacji ρ1 istotnie rózni sie od 0.
Statystyka próbkowa testu zostanie policzona na podstawie wzoru:
∑(ˆ u u
t −
2
ˆ t−1 )
DW =
∑
2
ˆ
ut
Na podstawie oszacowanego modelu obliczamy wartosci teoretyczne yˆ , a nastepnie reszty t
modelu uˆ .
t
okres
yt
yˆ
uˆ = y − yˆ
ˆ
u
2
( ˆ
u
u
2
ˆ
u
t − ˆ
)
t
t
t
t
t 1
−
t 1
−
t
1
23
23,5897
-0,58968
-
-
0,34772
2
25
25,4545
-0,45451
-0,58968
0,01827
0,20658
3
27
26,6501
0,34988
-0,45451
0,64704
0,12242
4
28
28,1878
-0,18783
0,34988
0,28913
0,03528
5
32
30,7933
1,20671
-0,18783
1,94474
1,45614
6
35
34,5944
0,40564
1,20671
0,64171
0,16454
7
40
40,7302
-0,73021
0,40564
1,29016
0,53321
suma
4,83106
2,8659
Zatem statystyka DW wynosi:
83106
,
4
DW =
= 685
,
1
8659
,
2
Poniewaz statystyka DW < 2 to badamy istotnosc autokorelacji dodatniej. Odnajdujemy w tablicach statystycznych wartosci krytyczne rozkladu DW dla ustalonego poziomu istotnosci (α =
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
11
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
12
0,05) oraz stopni swobody n = 7 i k = 2:
dL = 0,467; dU = 1,897.
Poniewaz zachodzi zaleznosc: dL < DW < dU to test Durbin-Watsona nie rozstrzyga o odrzuceniu lub nieodrzuceniu hipotezy H0 (test jest niekonkluzywny). W takim przypadku mozna posluzyc sie innymi testeami na istotnosc autokorelacji, pamietajac o ograniczeniach tych testów i koniecznosci spelnienia odpowiednich zalozen.
Majac obliczona wartosc DW mozemy oszacowac wspólczynnik autokorelacji I-ego rzedu
,
1 685
ˆ ≅
DW
ρ
1 −
≅ 1−
= 1575
,
0
1
2
2
Poniewaz wartosc wspólczynnika autokorelacji dodatniej moze miescic sie w przedziale ( ; 0 1 to
mozemy uznac oszacowany wspólczynnik autokorelacji za niewielki.
1.10.2 TEST MNOZNIKA LAGRAN GE’A
Ze wzgledu na fakt, iz test DW nie pozwolil jednoznacznie okreslic istotnosci autokorelacji skladnika losowego zastosujemy test mnoznika Lagrange’a (LM). Hipotezy dotyczace wspólczynnika autokorelacji 1-ego rzedu sa takie same, jak w tescie DW. Szacujemy model pomocniczy o postaci:
uˆ = β
ˆ
0 + β x
1
1
+ β x
2
2
+ β u
3
−1 + ε
t
t
t
t
t
Zauwazmy, ze w modelu pomocniczym role zmiennej objasnianej pelnia reszty modelu podstawowego, zas zmiennymi objasniajacymi sa wszystkie zmienne egzogeniczne modelu podstawowego oraz reszty modelun opóznione o jeden okres (t-1). Obliczamy wspólczynnik determinacji tego modelu:
2
R
LM =
182
,
0
Nastepnie obliczamy statystyke testowa
2
LM = R
o trzymujemy, ze LM = 1,092.
LM ⋅ ( n −
)
1
Statystyka LM ma rozklad chi-kwadrat o 1 stopniu swobody. Zakladajac poziom istotnosci α = 0,05
odszukujemy w tablicach statystycznych wartosc krytyczna χ 2
α (1) = 3,841 dla prawostronnego
obszaru krytycznego (test LM jest testem prawostronnym). Nastepnie porównujemy statystyke empiryczna LM ze statystyka teoretyczna z tablicy. Reguly decyzyjne sa nastepujace: LM < χ 2
α nie odrzucamy H0
LM > χ 2
α odrzucamy H0
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
12
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
13
W naszym przykladzie LM < χ 2
α , a wiec nie odrzucamy H0 i przyjmujemy, ze w modelu nie wystepuje istotna autokorelacja 1-ego rzedu.
1.11 SZACOWANIE PARAMETRÓW MODELU PO USUNIECIU NIEISTOTNEJ
ZMIENNEJ
Stwierdzilismy poprzednio, ze zmienna objasniajaca x2 nieistotnie wplywa na zmienna y. Wobec tego usuniemy ja z modelu i oszacujemy postac zredukowana: y = b 0 + b x
1 1 + u
t
t
t
Aby nie wykonywac obliczen na piechote posluzymy sie programem komputerowym. Wyniki szacowania przedstawiono ponizej.
Ordinary Least Squares Estimation
*******************************************************************************
Dependent variable is Y6 observations used for estimation from 1 to 6
*******************************************************************************
Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]C 71.4783 4.6259 15.4519[.000]
X1 -4.9783 .53150 -9.3665[.001]
*******************************************************************************
R-Squared .95639 R-Bar-Squared .94549S.E. of Regression 1.0406 F-stat. F( 1, 4) 87.7307[.001]
Mean of Dependent Variable 28.3333 S.D. of Dependent Variable 4.4572
Residual Sum of Squares 4.3315 Equation Log-likelihood -7.5361
Akaike Info. Criterion -9.5361 Schwarz Bayesian Criterion -9.3279
DW-statistic 1.7078
*******************************************************************************
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
13
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
14
Na podstawie uzyskanych wyników mozemy zapisac nasz model w postaci teoretycznej: yˆ =
,
71 4783− 9783
,
4
⋅ x
t
(
±4,6259)
(±0,
)
t
1
53150
Interpretujac uzyskany model powiemy, ze: ceteris paribus, wzrost stopy redyskontowej x1 o jeden punkt procentowy powodowal spadek podazy pieniadza srednio o 4,9783 mld zl.
Wspólczynnik determinacji R2 wynosi 0,9564, co oznacza, ze 95,64 procenta calkowitej zmiennosci zmiennej y zostalo wyjasnione przez model, czyli przez zmiennosc stopy redyskontowej x1.
Na tej podstawie mozna obliczyc wspólczynnik zbieznosci, który przyjmuje wartosc 2
ϕ = 0436
,
0
. Powiemy zatem, ze 4,36 procenta calkowitej wariancji zmiennej y nie zostalo wyjasnione przez model.
Sredni blad resztowy ˆ
σ
, a wiec powiemy, ze wartosci teoretyczne podazy pieniadza u =
0406
,
1
yôdchylaja sie od wartosci empirycznych y
t
t srednio o 1,0406 mld zl.
Aby pokazac, czy odchylenie to jest duze, mozna policzyc wspólczynnik zmiennosci losowej v.
Statystyka DW = 1,7078. Jest to wartosc mniejsza od 2, zatem zestaw hipotez dla tego przypadku postawimy nastepujaco:
H : ρ ≤ 0
0
1
H :
A
ρ > 0
1
Znajdujemy w tablicach statystycznych wartosci krytyczne rozkladu DW na poziomie istotnosci α = 0,05 i porównujac te wartosci ze statystyka DW podejmujemy decyzje dotyczaca odrzucenia lub nieodrzucenia hipotezy zerowej H0.
Majac wartosc DW oszacujemy wspólczynnik autokorelacji I-ego rzedu:
,
1 7078
ˆ ≅
DW
ρ
1 −
= 1−
= 1461
,
0
1
2
2
Poniewaz wartosc ta jest niewiele wieksza od 0 mozemy powiedziec, ze sila autokorelacji jest w przypadku naszego zadania znikoma.
Czytelnikowi pozostawiamy do samodzielnego zbadania istotnosc zmiennej objasniajacej (test t-Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
14
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
15
Studenta), istotnosc wspólczynnika determinacji (test Walda) i dokonczenie testu na istotnosc wspólczynnika autokorelacji rzedu I-ego (test Durbina-Watsona).
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
15