Niech A ⊂ R, x0, α ∈ R. Zdeniujmy A + x0 := {x + x0 : x ∈ A} oraz αA := {αx : x ∈ A}.
(a) Wykaza¢, »e λ∗(A + x0) = λ∗(A) oraz λ∗(αA) = α∗(A); (b) Wykaza¢, »e je±li A jest mierzalny, to A + x0 i αA te» s¡ mierzalne.
Zadanie 2.
Skonstruowa¢ zbiór niemierzalny na R.
Wskazówka:
Krok 1. W zbiorze [0, 1] wprowadzamy relacj¦ nastepuj¡co: xRy wtw x − y ∈ Q. Wykazujemy, »e jest to relacja rónowa»no±ci.
Krok 2. Deniujemy V jako taki zbiór, który powstaje przez wybranie po jednym elemencie z ka»dej klasy abstrakcji relacji R. Mo»na tak wybra¢ zbiór V gwarantuje nam to Aksjomat Wyboru.
Krok 3. Ustawiamy zbiór liczb wymiernych w ci¡g: Q = {qk : k ∈ N}. Dla dowolnego k ∈ N, deniujemy Vk := V + qk.
Krok 4. Pokazujemy, »e zbiory Vk s¡ parami rozª¡czne.
Krok 5. Pokazujemy, »e [0, 1] ⊂ S
V
k∈N
k ⊂ [−1, 2].
Krok 6. Wnioskujemy, »e V jest niemierzalny.
UWAGA! Zbiór V nazywamy zbiorem Vitaliego.
1