Zestaw C1 caªkowanie przez podstawienie

- BUDOWNICTWO I -

1

Na zajeciach rozwia»emy tylko niektóre z poni»szych zada«. Zadania nierozwiazane na tablicy nale»y rozwiaza¢

samemu w domu.

Zadanie 1 Oblicz:

√

√

1) R (8x − 5)5dx,

2) R 4x dx,

3) R 4x − 1dx,

4) R 4 10 − 2xdx,

3x2+5

√

5) R 4 2x5 + 10x4dx, 6) R 2x2

√

dx,

7) R

12x

√

dx,

8∗) R

1√ dx,

5 3+x3

1−3x2

5+

x

√

9∗) R

x3

dx,

10) R

3x+2

dx,

11) R x2 x3 + 10dx,

12) R

x

√

dx.

(x+1)10

3x2+4x+10

1−x2

Zadanie 2 Oblicz:

1) R 1 dx,

2) R

1

dx,

3) R

1

√

dx,

4) R x dx,

5) R 5x2 dx,

6∗) R

1

dx.

x2+6

x2+16

9−x2

x4+1

1−x6

x2+x+1

Zadanie 3 Oblicz:

1) R sin 4xdx,

2) R 3 cos xdx,

3∗) R cos 2x dx,

4) R sin x dx,

5

sin x cos x

1+3 cos x

5) R sin2 x cos xdx, 6∗) R cos5 xdx,

7) R sin x dx,

8) R esin x cos xdx, cos3 x

9) R 2 tan xdx,

10) R 2 cos x

√

dx,

11) R

x3

dx,

12) R sin3 xdx.

cos2 x

1−sin2 x

cos2(x4)

Zadanie 4 Oblicz:

1) R 2e3x dx,

2) R e−xdx,

3) R e−x4 dx,

4) R 5e−x3x2dx,

2+5e3x

√

5) R e x

√

dx,

6∗) R

1

dx,

7) R (ex + e−x)2dx,

8) R xe1−x2dx,

9) R e− 2x dx.

x

ex+e−x

x2

Zadanie 5 Oblicz:

√

√

1) R

1

dx,

2) R 10+ln xdx,

3) R 5+3 ln xdx,

4) R

ln x

dx,

x(1+ln x)

x

x

x(ln2 x+1)

5) R cos(ln x)dx,

6) R ln(ln x)dx.

x

x

Zadanie 6a Przypomnij sobie wzory na sinh x oraz cosh x. Wyka», »e: a) 1 = cosh2 x − sinh2 x (tzw. jedynka hiperboliczna), b) ex = sinh x + cosh x, c) x = ln(sinh x + cosh x), d) sinh0 x = cosh x, e) cosh0 x = sinh0 x, f) R sinh2 xdx = sinh x cosh x−x + C, 2

g) R cosh2 xdx = sinh x cosh x+x + C.

2

Porównaj dwa ostatnie wzory z caªkami odpowiednich funkcji trygonometrycznych.

Sprawd¹, czy: 2 sinh x cosh x = sinh(2x) oraz czy cosh2 x − sinh2 x = cosh(2x).

Zadanie 6b Oblicz:

√

√

√

a) R x2 − 4dx,

b) R x2 + 9dx,

c) R 9 − x2dx.