Zestaw C1 caªkowanie przez podstawienie
- BUDOWNICTWO I -
1
Na zajeciach rozwia»emy tylko niektóre z poni»szych zada«. Zadania nierozwiazane na tablicy nale»y rozwiaza¢
samemu w domu.
Zadanie 1 Oblicz:
√
√
1) R (8x − 5)5dx,
2) R 4x dx,
3) R 4x − 1dx,
4) R 4 10 − 2xdx,
3x2+5
√
5) R 4 2x5 + 10x4dx, 6) R 2x2
√
dx,
7) R
12x
√
dx,
8∗) R
1√ dx,
5 3+x3
1−3x2
5+
x
√
9∗) R
x3
dx,
10) R
3x+2
dx,
11) R x2 x3 + 10dx,
12) R
x
√
dx.
(x+1)10
3x2+4x+10
1−x2
Zadanie 2 Oblicz:
1) R 1 dx,
2) R
1
dx,
3) R
1
√
dx,
4) R x dx,
5) R 5x2 dx,
6∗) R
1
dx.
x2+6
x2+16
9−x2
x4+1
1−x6
x2+x+1
Zadanie 3 Oblicz:
1) R sin 4xdx,
2) R 3 cos xdx,
3∗) R cos 2x dx,
4) R sin x dx,
5
sin x cos x
1+3 cos x
5) R sin2 x cos xdx, 6∗) R cos5 xdx,
7) R sin x dx,
8) R esin x cos xdx, cos3 x
9) R 2 tan xdx,
10) R 2 cos x
√
dx,
11) R
x3
dx,
12) R sin3 xdx.
cos2 x
1−sin2 x
cos2(x4)
Zadanie 4 Oblicz:
1) R 2e3x dx,
2) R e−xdx,
3) R e−x4 dx,
4) R 5e−x3x2dx,
2+5e3x
√
5) R e x
√
dx,
6∗) R
1
dx,
7) R (ex + e−x)2dx,
8) R xe1−x2dx,
9) R e− 2x dx.
x
ex+e−x
x2
Zadanie 5 Oblicz:
√
√
1) R
1
dx,
2) R 10+ln xdx,
3) R 5+3 ln xdx,
4) R
ln x
dx,
x(1+ln x)
x
x
x(ln2 x+1)
5) R cos(ln x)dx,
6) R ln(ln x)dx.
x
x
Zadanie 6a Przypomnij sobie wzory na sinh x oraz cosh x. Wyka», »e: a) 1 = cosh2 x − sinh2 x (tzw. jedynka hiperboliczna), b) ex = sinh x + cosh x, c) x = ln(sinh x + cosh x), d) sinh0 x = cosh x, e) cosh0 x = sinh0 x, f) R sinh2 xdx = sinh x cosh x−x + C, 2
g) R cosh2 xdx = sinh x cosh x+x + C.
2
Porównaj dwa ostatnie wzory z caªkami odpowiednich funkcji trygonometrycznych.
Sprawd¹, czy: 2 sinh x cosh x = sinh(2x) oraz czy cosh2 x − sinh2 x = cosh(2x).
Zadanie 6b Oblicz:
√
√
√
a) R x2 − 4dx,
b) R x2 + 9dx,
c) R 9 − x2dx.