Egzamin dla Aktuariuszy z 15 stycznia 2000 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie nr 1
v
1
1 − vn
1
( + i n
) −1
Þ
=
a
= v ⋅
s
,
=
1 − v
i
n
1 − v
n
i
n
1
1
1
v
= i ⋅
,
= i ⋅
n
n
a
1 − v
s
1
n
− v
n
1
1
æ 1
v n
ö
a)
−
= i ⋅
−
= i
çç
÷÷
a
s
è1− vn 1− vn ø
n
n
b) a = a&
& = a ⋅ 1 +
, = &
& =
⋅ 1+
n
n
( i) b s s
n
n
( i)
Z a) i b) mamy:
1
1
1 + i
1 + i
i =
−
=
−
⋅ (
ab)
a
b
a
b
1 + i
1 + i
a ⋅ b ⋅ i = 1
( + i) ⋅ ( b − a) i
b − a
d =
=
i + 1
ab
Zadanie nr 2
Opłata pobierana przez poŜyczkodawcę wynosi: 3% ⋅150000 = 4500
X - rata
1
25
− v
150000 = X ⋅
→ X = ?
1
,
0 1
X ⋅ a - dług po zapłaceniu drugiej raty 2 3
1
Wprowadźmy oznaczenie: v
, gdzie i to rozwiązanie zadania
1 = 1+ i
Mamy równanie:
2
150000 − 4500 = X ⋅ v + ( X + X ⋅ a ) ⋅ v 1
1
23
Stąd obliczamy ∆ w powyŜszym równaniu kwadratowym i wyznaczamy v 1
1 − v
Ostatecznie:
1
i =
≈ 12 %
8
,
v 1
Niech K - szukana cena obligacji
40
1 − v
40
40
40
40
K = 50 ⋅
+1050 ⋅ v = 1250 −1250 ⋅ v +1050 ⋅ v = 1250 − 200 ⋅ v 0
,
0 4
Teraz przekształćmy odpowiedź III: III = 1050 ⋅ v 40 + 1250 −1250 ⋅ v 40 = 1250 − 200 ⋅ v 40 = K ≠ II - OCZYWISTE
Z tego wynika, Ŝe III prawdziwa, II nie Sprawdzamy I:
1 − v 40
I = 1000 + 8 ⋅
= 1000 + 200 ⋅ (1− v 40 ) = 1200 − 200⋅ v 40 ≠ II 0
,
0 4
Ostatecznie prawdziwa jest tylko odpowiedź III Zadanie 4
t
8
6
− k s
⋅ ds
ò
3
m
R = m
ò ⋅ t ⋅ e 0
dt =
⋅ (
−32 ⋅
4 k
1 − e
)
k
0
Zadanie 5
I - obecna wartość renty
I = v + 2
2
⋅ v + 3 3
v + .....
I = 1+ 2 v + 3 2
v + ....
v
Odejmujemy równania stronami:
æ 1
ö
2
1
1 + i
I ⋅ ç − ÷
1 = 1 + v + v + ..... =
=
è v
ø
1 − v
i
1 + i
1 + i
I ⋅ i =
→ I =
- dobrze jest znać takie wielkości na pamięć 2
i
i
(i)
oczywiste Ŝe nie
1
1 − d
1 + i
(1+ i)2 1+ i
(ii)
tak, bo:
=
=
=
2
2
2
d
i
i ⋅ (1 + i)
2
i
(1+ i)2
1
(1+ i)2 +1
(iii)
= 1 + i +
=
- oczywiste, Ŝe nie
1 + i
1 + i
X - wartość wykupu
Obligacji P musi być o jeden więcej niŜ obligacji Q poniewaŜ róŜnica musi dawać wartość wykupu równą X.
n
P = 40 a + Xv
n
n
Q = 30 a + Xv
n
n
R = 80 a + Xv
n
5 P − Q
4
= 5 ⋅ (40 a + Xvn − 4⋅ 30 +
= 80 +
=
n
) ( a Xvn
n
) a Xvn R
n
Zadanie 7
i
d
1
( i
) d =
( d )
2
=
= v tak
1 + i
di
1
( + i)2
d
1
( ii
) δ = − ln v →
(δ ) = − tak
dv
v
t
i
( ii
) A t
( ) = exp(òδ ds
s
0
A' t
( ) = A t
( ) ⋅δ
t
''
A ( t)
'
= A ( t) ⋅δ + (
A t)
'
⋅δ = (
A t)
2
⋅δ + (
A t)
'
⋅δ : (
A t)
t
t
t
t
A ' t
( )
2
'
= δ + δ → i( ii) nie A t
t
t
( )
Zadanie 8
10
ò t ⋅(10 − t) −ln( ,105) e
t dt
0
d =
≈ 0
,
3 7 ≅
1
.
3
10
ò(10 − t) −ln( ,105)
e
t dt
0
Zadanie 9
x - cena zapałki
Zakładamy, Ŝe cena zakupu wyznaczona jest przy stopie 10% tzn: 50000 = 1
( 000 x −10000) a
10
50
x =
+10
a 10
Korzystając z zasady równowaŜności kapitałów mamy:
( 0000 −1000 x) a = 10000 + 1
( 5000 − Kx) a → K ≈ 972 ≈ 970
10
5
Zadanie 10
K=2000 - poŜyczka
ODSETKI = 1
,
0 ⋅ 2000 + 1
,
0 ⋅1900 + ..... + 1
,
0 ⋅100 = 2100
ODSETKI 2 = 1
,
0 ⋅ 2000 + 1
,
0 ⋅1800 + ..... + 1
,
0 ⋅ 200 = 1100
ODP = ODSETKI − ODSETKI 2 = 2100 −1100 = 1000