Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej ( na 3-4 ćwiczenia)
5.1. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne jednostronne oraz pochodna podanej funkcji we wskazanym punkcie. Narysować wykres funkcji.
(a) y( x) = x 2 − 4 , x
sin3 x ,
x
0 = 2;
(b) f ( x) =
0 = 0;
(
1 − x 2
dla x ¬ 1
(c) g( x) = x 2sgn x, x 0 = 0;
(d) h( x) =
,
x
( x − 2)2 dla x > 1
0 = 1.
5.2. Korzystając z wzoru na pochodną funkcji f ( x) = xα i reguł różniczkowania, obliczyć pochodną funkcji:
√
√
√
√
1
1
2
1
(a) y =
2 x 4 + 4 x − x x + 3 x 2 3 x, (b) y = 5 ·
+ √ −
√ +
√ ,
x 4
3 x
x ·
x
3 x · 3 x
√
√
x
5 x 2
3 x 2
x− 2
3
8
r x
√
(c) y = √
− √ +
+
;
(d) y = √
−
+ 3
+ 4 23.
4 x 3
x
7 x 2
x
9 x
(2 x)2
16
5.3. Korzystając z wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu, obliczyć pochodną funkcji: (a) y = ex · cos x, (b) y = x 2 · ln x, (c) y = x · 2 x · sin x, (d) y = x 2 · tg x · arctg x,
√
x 2
4 x 3
2 x − 3 x
x sin x + cos x
(e) y =
,
(f) y = √
,
(g) y =
,
(h) y =
.
x 2 + x + 2
x − 2
x
sin x − x cos x
5.4. Obliczyć pochodną funkcji:
1
√
π
1
(a) y = ln(2 x),
(b) y =
,
(c) y =
3 sin 5 x −
,
(d) y = arctg ,
(2 x − 3)2
4
x
s x + 1
π
(e) y =
,
(f) y = sin2 x,
(g) y = cos3 2 x −
,
(h) y = x 3 cos2 πx.
x + 2
6
5.5. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = f ( x) w punkcie ( x 0 , f ( x 0)). Sporządzić rysunek.
(a) f ( x) = sin 2 x,
x 0 = 0;
(b) f ( x) = ctg x,
x 0 = 1 , 5 π;
(c) f ( x) = ln( x − 3) , f ( x 0) = 0.
5.6. Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji y = f ( x), która ma podaną własność.
(a) f ( x) = x · ln x, styczna jest równoległa do prostej 5 x − 5 y + 1 = 0;
√
(b) f ( x) =
x 2 + 1, styczna jest prostopadła do prostej 2 x − y = 0; x
(c) f ( x) =
, styczna jest pozioma;
x 2 + 1
π
(d) f ( x) = 3 − x 2, styczna tworzy kąt z dodatnim kierunkiem osi OX.
3
5.7. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji. Naszkicować ich wykresy.
x 4
x 3
x 3
(a) y( x) =
−
− x 2,
(b) f ( x) =
,
(c) g( x) = ( x + 1) · e− 2 x, (d) h( x) = x · ln2 x.
4
3
3 − x 2
5.8. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji: x 2
√
(a) y( x) =
,
(b) f ( x) = x 3 · ex, (c) g( x) =
x · ln x,
(d) h( x) = sin x − sin2 x.
x + 1
5.9. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale:
√
x
3
(a) f ( x) = x − 2 x, [0 , 5], (b) f ( x) = arctg x −
, [0 , 2],
(c) f ( x) = 2 sin x + sin 2 x, 0 , π .
2
2
5.10.
(a) Wyznaczyć dwie liczby dodatnie, których suma jest równa 20, a iloczyn kwadratu pierwszej i trzeciej potęgi drugiej ma wartość największą.
(b) Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i danym polu powierzchni cał-
kowitej ma największą objętość.
(c) Firma spedycyjna przyjmuje zlecenie przewozu prostopadłościennych paczek, dla których suma wysokości i obwodu podstawy jest nie większa niż 108 cm. Znaleźć wymiary paczki o kwadratowej podstawie i największej objętości, która może być przesłana za pośrednictwem tej firmy.
(d) Przez punkt P = (1 , 3) poprowadzić prostą tak, aby wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych tworzyła trójkąt o największym polu.
5.11. Wyznaczyć przedziały wklęsłości, wypukłości i punkty przegięcia funkcji 1
ln x
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) = e arctg x, (c) f ( x) = √ ,
(d) f ( x) = sin x + 0 , 125 sin 2 x.
x 2 + 1
x
5.12. Korzystając z reguły de L‘Hospitala obliczyć granice:
ln sin π x
ln (1 + 2 x)
1
(a) lim
2
,
(b) lim
,
(c) lim
− ctg x ,
x→ 1
ln x
x→−∞
3 x
x→ 0 −
x
√
√
x
(d) lim
x − ln x ,
(e) lim
x ln x,
(f) lim ( π − x) · tg .
x→+ ∞
x→ 0+
x→π−
2
5.13. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: x − arctg x
ln( x + 1)
x
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) =
√
,
(c) f ( x) =
,
(d) f ( x) = ln x 2 − 4 .
x 2
x
arctg x
5.14. Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić ich wykresy:
√
x 3
ln x
x
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) =
,
(c) f ( x) =
,
(d) f ( x) = 4 ex − e 2 x.
x − 1
x
x − 1
5.15. Napisać wzory Taylora z drugą i trzecią resztą dla podanych funkcji i punktów. Narysować wykres funkcji oraz wielomianu Taylora pierwszego i drugiego rzędu.
√
1
(a) f ( x) =
x,
x 0 = 1;
(b) f ( x) =
,
x 0 = 2.
x
5.16. Oszacować dokładność przybliżeń na wskazanych przedziałach: x 2
x 3
√
x
(a) ln(1 + x) ≈ x −
+
,
|x| ¬ 0 , 1;
(b)
1 + x ≈ 1 +
,
|x| ¬ 0 , 01;
2
3
2
(c) cos2 x ≈ 1 − x 2 ,
|x| ¬ 0 , 1;
(d) e− 2 x ≈ 1 − 2 x + 2 x 2 ,
|x| ¬ 0 , 25.
Podobne zadania (także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008, rozdział 4, 5, 6.
Jolanta Sulkowska