Pochodna funkcji i jej zastosowania
Na pocz¡tek wprowadzimy poj¦cie pochodnej funkcji. Postaramy si¦ tak»e pokaza¢ wag¦ tego poj¦cia oraz konsekwencje wynikaj¡ce z istnienia funkcji pochodnej.
Denicja 3.0.1. Wyra»enie postaci
f (x) − f (x0)
x − x0
lub analogicznie
f (x0 + h) − f (x0)
h
nazywamy ilorazem ró»nicowym w punkcie x0. Powiemy, »e funkcja f posiada pochodn¡ w punkcie x0
lub »e jest ró»niczkowalna w punkcie x0 je»eli istnieje sko«czona granica ilorazu ró»nicowego przy (w pierwszym przypadku) x d¡»¡cym do x0 lub (w drugim przypadku) h d¡»¡cym do 0. Oznaczamy warto±¢
tej»e pochodnej w punkcie x0 jako f0(x0). Mamy zatem
f (x) − f (x0)
f (x0 + h) − f (x0)
lim
= lim
= f 0(x0)
x→x0
x − x0
h→0
h
Mówimy, »e funkcja f : X → R jest ró»niczkowalna, je»eli jest ró»niczkowalna w ka»dym punkcie zbioru X. Funkcj¦ f 0, która ka»demu punktowi przypisuje warto±¢ pochodnej funkcji f w tym punkcie nazywamy funkcj¡ pochodn¡ funkcji f. Operacj¦ obliczania pochodnej funkcji ró»niczkowalnej nazywamy ró»niczko-waniem.
Uwaga 3.0.1. W literaturze oprócz f0(x) funkcjonuj¡ jeszcze inne oznaczenia. Mo»na spotka¢ si¦ z ozna-czeniem fx, f0 , df
. Wszystkie one oznaczaj¡ jednak to samo - pochodn¡ funkcji jednej zmiennej
x
(x), df(x)
dx
dx
f w punkcie x.
Je»eli punkt jest kra«cem przedziaªu okre±lono±ci funkcji f to jako pochodn¡ przyj¡c mo»emy jedynie jednostronn¡ granic¦ ilorazy ró»nicowego w punkcie. Aby funkcja posiadaªa zatem pochodn¡, musi by¢
okre±lona w pewnym otoczeniu punktu. Konsekwencj¡ denicji 3.0.1 jest te»
Twierdzenie 3.0.1 (Warunek konieczny ró»niczkowalno±ci). Je»eli funkcja f posiada pochodn¡ w punkcie x0 to jest w tym punkcie ci¡gªa. Lub krócej: je»eli funkcja jest ró»niczkowalna, to jest ci¡gªa.
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
1
Obliczanie pochodnej, na szcz¦±cie, nie koniecznie musi by¢ zwi¡zane z konieczno±ci¡ liczenia granicy ilorazu ró»nicowego w punkcie. Pomocne s¡ tu twierdzenia, których znajomo±¢ upraszcza proces liczenia pochodnej funkcji elementarnych.
Twierdzenie 3.0.2. Je»eli funkcje f1, f2 : X → R s¡ ró»niczkowalne to ich zªo»enie, suma, róznica, iloczyn i iloraz (przy dodatkowym zaªo»eniu, »e f2(x) 6= 0) te» jest ró»niczkowalny, przy czym:
• (f1 ◦ f2)0(x) = f 0 (f
(x)
1
2(x)) · f 02
• (f1 + f2)0(x) = f 0 (x) + f 0 (x)
1
2
• (f1 − f2)0(x) = f 0 (x) − f 0 (x)
1
2
• (f1 · f2)0(x) = f 0 (x) · f
(x)
1
2(x) + f1(x) · f 02
•
f 0 (x)·f
(x)
( f1 )0(x) = 1
2(x)−f1(x)·f 0
2
f2
(f2(x))2
Powy»sze twierdzenie oznacza w szczególno±ci, »e funkcja pochodna sumy funkcji jest sum¡ funkcji pochodnych tych funkcji i tak dalej. Warto±ci funkcji pochodnych odnajdziemy wykorzystuj¡c nast¦puj¡ce Twierdzenie 3.0.3.
• (c)0 = 0 dla c ∈ R
• (ax)0 = a dla a ∈ R i x ∈ R
• (xn)0 = nxn−1 dla n ∈ N i x ∈ R
• (xn)0 = nxn−1 dla n ∈ Z i x ∈ R \ {0}
• (xa)0 = axa−1 dla a ∈ R i x ∈ (0, +∞)
• (ax)0 = axln(a) dla a ∈ (0, +∞) i x ∈ R
• (ex)0 = ex dla x ∈ R
• (loga(x))0 =
1
dla a ∈ (0, +∞) \ {1} i x ∈ (0, +∞)
xln(a)
• (ln(x))0 = 1 dla x ∈ (0, +∞)
x
• (sin(x))0 = cos(x) dla x ∈ R
• (cos(x))0 = −sin(x) dla x ∈ R
• (tg(x))0 =
1
dla x ∈
+ kπ}, k ∈
cos2(x)
R \ { π2
Z
• (ctg(x))0 = −
1
dla x ∈
sin2(x)
R \ {kπ}, k ∈ Z
Pochodna ma szerokie zastosowanie w rozwi¡zywaniu problemów matematycznych. Jednym z takich zastosowa« jest wykorzystanie jej do obliczania granic symboli nieoznaczonych.
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
2
Twierdzenie 3.0.4 (Reguªa de l'Hospitala). Niech f1, f2 : (a, b) → R b¦da funkcjami ró»niczkowalnymi w (a, b)\{x0}, gdzie x0 ∈ (a, b) oraz niech f0(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ (a, b)\{x
f
2
0}. Je±li limx→x0
1(x) =
f 0 (x)
lim
1
x→x f
f
f
= g to
0
2(x) = 0 lub limx→x0
1(x) = limx→x0
2(x) = ±∞ oraz istnieje granica limx→x0 f0 (x)
2
f1(x)
lim
= g
x→x0 f2(x)
Uwaga 3.0.2. Twierdzenie de l'Hospitala dotyczy tylko dwóch typów symboli nieoznaczonych, [0] i [∞].
0
∞
Twierdzenie to jest tak»e prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla granic w niesko«czono±ci. Poprzez proste przeksztaªcenia mo»na doprowadzi¢ inne symbole nieoznaczone do takiej postaci i zastosowa¢ to twierdzenie. Inne przypadki, które mo»na sprowadzi¢ do wyra»e« nieoznaczonych typu [0] lub [∞] to: 0
∞
1. Dla iloczynu f(x) · g(x) = [0 · ∞] wybieramy iloraz:
f (x)
0
h ∞ i
=
lub g(x) =
.
1
0
1
∞
g(x)
f (x)
2. Dla ró»nicy f(x) − g(x) = [∞ − ∞] iloraz
1
− 1
g(x)
f (x)
0
=
.
1
· 1
0
g(x)
f (x)
3. *Dla pot¦gi (f(x))g(x) = [00, ∞0, 1∞] posta¢ wykªadnicz¡ eg(x) lnf(x), je±li f(x) > 0.
Kolejnym zastosowaniem pochodnej jest badanie za jej pomoc¡ pewnych wªasno±ci funkcji. Zacznijmy od zwi¡zku pomi¦dzy pochodn¡ a monotoniczno±ci¡ funkcji.
Twierdzenie 3.0.5. Je»eli f : X → R posiada pochodn¡ w punkcie x0 ∈ X i f0(x0) > 0 to istnieje r > 0
takie, »e funkcja f jest ±ci±le rosn¡ca w K(x0, r). Je»eli f : X → R posiada pochodn¡ w punkcie x0 ∈ X
i f0(x0) < 0 to istnieje r > 0 takie, »e funkcja f jest ±ci±le malej¡ca w K(x0, r).
Powy»sze oznacza, »e je»eli w jakim± przedziale funkcja pochodna jest dodatnie (ujemna) to w caªym tym przedziale funkcja jest ±ci±le rosn¡ca (±ci±le malej¡ca). Oczywist¡ konsekwencj¡ powy»szego twierdzenia jest
Twierdzenie 3.0.6 (Warunek konieczny istnienia ekstremum). Je»eli f : X → R jest ró»niczkowalna w punkcie x0 ∈ X i posiada w tym punkcie ekstremum lokalne to f0(x0) = 0.
Twierdzenie 3.0.7 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum). Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡
ci¡gª¡ oraz ró»niczkowaln¡ w zbiorze (a, b) \ {x0}. Je»eli f0(x) ≤ 0 w lewostronnym s¡siedztwie punktu x0 oraz f 0(x) ≥ 0 w prawostronnym s¡siedztwie punktu x0, to funkcja f posiada w punkcie x0 minimum lokalne. Je»eli f0(x) ≥ 0 w lewostronnym s¡siedztwie punktu x0 oraz f0(x) ≤ 0 w prawostronnym s¡siedztwie punktu x0, to funkcja f posiada w punkcie x0 maksimum lokalne.
Zawa»my, »e powy»sze twierdzenie nie wymaga ró»niczkowalno±ci funkcji f w punkcie x0. Istotnie, jako przykªad mo»e posªuzy¢ tu funkcja dana wzorem f(x) = |x|. Funkcja ta nie jest ró»niczkowalna w punkcie prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
3
x0 = 0, posiada tam jednak minimum lokalne. W oczywisty sposób speªnia te» zaªo»enia powy»szego twierdzenia. oczywiste jest, »e powy»szy warunek konieczny i dostateczny istnienie ekstremum stosujemy w przypadku funkcji rózniczkowalnych. Natomiast w przypadku funkcji, które nie s¡ ró»niczkowalne a posiadaja ekstremum, ich badanie przeprowadzamy na podstawie denicji.
Poniewa» pochodna jest funkcj¡, to mo»emy tak jak w przypadku funkcji f ponownie z niej policzy¢
pochodn¡. otrzymujemy w ten sposób pochodne wy»szych rz¦dów.
Denicja 3.0.2. Niech funkcja f : X → R b¦dzie ró»niczkowalna. Je»eli funkcja f0 jest ró»niczkowalna w punkcie x0 ∈ X, to mówimy, »e funkcja f jest w tym punkcie dwukrotnie ró»niczkowalna (ma pochodn¡
drugiego rz¦du w punkcie x0). Je»eli funkcja f0 jest ró»niczkowalna w caªym zbiorze X, to mówimy, »e funkcja f jest dwukrotnie ró»niczkowalna (ma pochodn¡ drugiego rz¦du).
Pochodn¡ drugiego rz¦du w punkcie x0 oznacza¢ b¦dziemy przez f00(x0), a funkcj¦ pochodn¡ drugiego rz¦du przez f00. Pochodne wy»szych rz¦dów wprowadzamy indukcyjnie.
Denicja 3.0.3. Niech funkcja f : X → R b¦dzie n - krotnie ró»niczkowalna. Je»eli funkcja f0 jest n -
krotnie ró»niczkowalna w punkcie x0 ∈ X, to mówimy, »e funkcja f jest w tym punkcie n + 1 - krotnie ró»niczkowalna (ma pochodn¡ rz¦du n + 1 w punkcie x0). Je»eli funkcja f0 jest n - krotnie ró»niczkowalna w caªym zbiorze X, to mówimy, »e funkcja f jest n + 1 - krotnie ró»niczkowalna (ma pochodna rz¦du n + 1).
Pochodn¡ n - tego rz¦du w punkcie x0 oznacza¢ b¦dziemy przez f(n)(x0), a funkcj¦ pochodn¡ drugiego rz¦du przez f(n). Maj¡c te okre±lenia, mo»emy zdeniowa¢ poj¦cie klasy funkcji.
Denicja 3.0.4. Powiemy, »e funkcja f : X → R jest klasy Cn, je»eli posiada pochodn¡ do n - tego rz¦du wª¡cznie, a punkcja pochodna f(n) jest funkcj¡ ci¡gª¡.
Za pomoc¡ drugiej pochodnej mo»emy w alternatywny sposób sprawdzi¢ warunek dostateczny istnienia ekstremum, korzystaj¡c z nast¦puj¡cego twierdzenia:
Twierdzenie 3.0.8 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum). Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡
klasy C2 (czyli dwukrotnie ró»niczkowalna) i f0(x0) = 0. Je»eli f00(x0) > 0 to f ma minimum lokalne wªa±ciwe w punkcie x0, je»eli f00(x0) < 0, to f ma maksimum lokalne wªa±ciwe w punkcie x0.
Ogólnie:
Twierdzenie 3.0.9 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum). Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡
klasy Cn. Niech f0(x0) = f00(x0) = ... = f(n−1)(x0) = 0, f(n) 6= 0. Je»eli f(n) > 0 i n jest parzyste, to f ma minimum lokalne wªa±ciwe w punkcie x0, je»eli f(n) < 0 i n jest parzyste, to f ma maksimum lokalne wªa±ciwe w punkcie x0, je»eli n jest nieparzyste, to funkcja f nie posiada ekstremum w punkcie x0.
W przypadku funkcji dwukrotnie ró»niczkowalnych, jeste±my w stanie poda¢ warunki na wypukªo±¢
lub wkl¦sªo±¢ funkcji.
Twierdzenie 3.0.10. Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡ dwukrotnie ró»niczkowaln¡. f00(x) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest wypukªa w (a, b). f00(x) ≤ 0 dla wszystkich x ∈ (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest wkl¦sªa w (a, b).
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
4
Maj¡c powy»sze twierdzenie, mo»emy sformuªowa¢
Twierdzenie 3.0.11 (Warunek konieczny istnienia punktu przegi¦cia). Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡. Je±li f ma w x0 punkt przegi¦cia, to f00(x0) = 0.
Analogicznie jak w przypadku istnienia ekstremu, poda¢ mo»emy warunek dostateczny istnienia punktu przegi¦cia, jako punktu w którym wykres zmienia si¦ z wkl¦sªego na wypukªy lub odwrotnie.
Twierdzenie 3.0.12 (Warunek dostateczny istnienia punktu przegi¦cia). Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ oraz dwukrotnie ró»niczkowaln¡ w zbiorze (a, b) \ {x0}. Je»eli f00(x) ≤ 0 w lewostronnym s¡siedztwie punktu x0 oraz f00(x) ≥ 0 w prawostronnym s¡siedztwie punktu x0 lub f00(x) ≥ 0 w lewostronnym s¡siedztwie punktu x0 oraz f00(x) ≤ 0 w prawostronnym s¡siedztwie punktu x0, to funkcja f posiada w punkcie x0 punkt przegi¦cia.
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
5