z = x + iy, x, y - rzeczywiste, i urojone
√
|z| = px2 + y2, np. |3 + 4i| =
32 + 42 = 5.
z = x + iy = |z| · (cos(α) + isin(α)), α=argument liczby z= k¸
at mi¸edzy wektorem
(x, y) i poziom¸
a osi¸
a.
pot¸
ega zk = |z|k · (cos(k · α) + isin(k · α)).
√
pierwiastek k z = k
p|z| · cos α+2k·π + isin α+2k·π
, gdzie k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
n
n
funkcja zmiennej zespolonej f (z) = f (x+iy) = u(x, y)+iv(x, y). Bycie holomorficzn¸
a
= posiadanie pochodnej <=> funkcja f ma spe lniać równania Cauchy - Riemmana u0x = v0y ,
u0y = −v0x .
Maj¸
ac cz¸
eść urojon¸
a v można obliczyć cz¸
eść rzeczywist¸
a u. Procedura jest taka
– znam v, wi¸
ec obliczam v0x oraz v0y
– znam v0x = −u0y. St¸ad wynika, że aby mieć u licz¸e ca lk¸e u = R −v0xdy = ... + c(x).
– znam v0y = u0x. Aby mieć u licz¸e ca lk¸e u = R v0ydx = ... + c2(y).
– jest u = ... + c(x) = .... + c2(y). Dopasować sta le c(x) oraz c2(y) żeby by lo ok, lub uzasadnić że si¸e nie da.
Ca lki
R
f (z)dz = R b f (z(t)) · z0(t) dt
C
a
Za lożenia:
C=krzywa na p laszczyźnie zespolonej. Na przyk lad C jest krzyw¸
a która ma wykres
y(x), x ∈ (a, b). (na przyk lad y(x) = x3, x ∈ (3, 4)). Wówczas parametryzacja z(t) = t + i · y(t), t ∈ (a, b). np. z(t) = t + i · t3.
Jeśli C= krzywa pionowa, np. odcinek od punktu (2, 3) do punktu (2, 6) to z(t) = 2+
i·t dla t ∈ (3, 6). Jeśli C = odcinek od punktu (2, 6) do punktu (2, 3) to z(t) = 2+i·(6−t) dla t ∈ (0, 3).
Jeśli C= okr¸
ag o środku w (0,0) i promieniu R, to wówczas z(t) = R · eit, t ∈ (0, 2π).
———–
Ca lki po krzywych domkni¸etych, takich że punkt po krzywej idzie odwrotnie do ruchu wskazówek zegara. ( jeśli zwrot jest na odwrót, to przed ca lk¸
a stawić −).
Z
f (z) dz = 0 ,
C
jeśli f (z) jest holomorficzna wewn¸
atrz obszaru ograniczonego przez krzyw¸
a C.
1
f (z)
f (a) =
dz
2πi C z − a
jeśli f (z) jest holomorficzna wewn¸
atrz obszaru ograniczonego przez krzyw¸
a C, zaś a jest
dowolnym punktem wewn¸
atrz obszaru ograniczonego przez krzyw¸
a C.
Uogólnienie poprzedniego: pochodna funkcji f rz¸
edu n na przyk lad f 0 = f (1): oraz zak ladamy, że a jest punktem wewn¸
atrz obszaru, zaś f (z) holomorficzna wewn¸
atrz:
n! Z
f (z)
f (n)(a) =
dz
2πi C (z − a)n+1
Punkt a jest biegunem m-krotnym funkcji f tzn.: Dla m = 1: funkcja f (z) jest taka, że f (a) nie istnieje w punkcie a, ale wyrażenie f (z) · (z − a) ma granic¸
e w punkcie a: na przyk lad f (z) = 5z oraz z−a
5z
· (z − a) = 5z →z→a= 5a
z − a
Dla m = 2: funkcja f (z) jest taka, że f (a) oraz f (a) · (z − a) nie istniej¸
a w punkcie a,
ale wyrażenie f (z) · (z − a)2 ma granic¸
e w punkcie a: Na przyk lad f (z) = 2z2+iz−5 : (z−a)2
2z2 + iz − 5 · (z − a)2 = 2z2 + iz − 5 →z→a= 2a2 + ia − 5
(z − a)2
chociaż f (a) nie ma bo mianownik 0 i f (z) · (z − a) też nie ma granicy w a ...
Residuum funkcji f w punkcie a, który jest biegunem m krotnym funkcji f .
1
Res(f, a) =
· lim f (z) · (z − a)m(m−1)
(n − 1)! z→a
gdzie )m= do pot¸egi m, zaś )(m−1) = pochodna rz¸
edu m − 1.
Ca lka po obszarze zamkni¸
etym przez krzyw¸
a C;
Z
f (z)dz = 2πi · X Res(f (z), ak)
C
gdzie suma jest po wszystkich punktach ak wewn¸atrz obszaru ograniczonego przez C, zaś ak to s¸a bieguny funkcji f .
Ca lka rzeczywista
Z
+∞
f (x) dx = ?
−∞
Za lożenia:
f (x) nie ma biegunów na osi rzeczywistej oraz |f (x) · x| → 0 gdy x → +∞.
2
azanie: Zamieniamy f (x) na zespolon¸
a f (z) i szukamy biegunów zespolonej f (z). Wybieramy tylko te bieguny których cz¸
eść urojona jest > 0. Wówczas
Z
+∞
f (x) dx = 2πi · X Res(f (z), ak) ,
−∞
zaś suma jest po residuach w biegunach ak których cz¸
eść urojona jest > 0.
Kolejne wzory we wtorek.
3