Teoria aproksymacji

Zadania na kolokwium

Zadanie 1.

a)

n

n

x − x

w ( x)=∑ f α ( x) , α ( x)=∏

j

i

i

i

i

x − x

=0

j=0

i

j

j≠ i

x =1 x =3

x =4

x =5

0

1

2

3

} n+1 p. węzłowych ( x ,f )

y =1 y =9 y =16 y =25

i

i

0

1

2

3

( x− x

( x−3)( x−4)( x−5)

1

α ( x)=

1)( x − x 2 )( x− x 3) =

=−

( x −3)( x −4)( x −5) 0

( x − x )( x − x )( x − x ) (−2)(−3)(−4)

24

0

1

0

2

0

3

1

1

=−

( x 2−4 x−3 x+12)( x−5)=−

( x 3−7 x 2+12 x−5 x 2+35 x −60) 24

24

1

=−

( x 3−12 x 2+47 x−60) 24

( x − x

( x−1)( x−4)( x−5) α ( x )=

0)( x− x 2 )( x− x 3) =

1

( x − x )( x − x )( x − x ) 2(−1)(−2)

1

0

1

2

1

3

1

1

= ( x 2−4 x− x+4)( x−5)= ( x 3−5 x 2+4 x −5 x 2+25 x−20) 4

4

1

= ( x 3−10 x 2+29 x−20) 4

( x− x

( x −1)( x−3)( x −5) α ( x )=

0)( x− x 1 )( x− x 3) =

2

( x − x )( x − x )( x − x ) 3⋅1(−1)

2

0

2

1

2

3

1

1

=− ( x 2−3 x− x+3)( x −5)=− ( x 3−4 x 2+20 x +3 x−5 x 2−15) 3

3

1

=− ( x 3−9 x 2+23 x−15) 3

( x− x

( x−1)( x−3)( x−4) α ( x)=

0)( x − x 1 )( x− x 2) =

3

( x − x )( x − x )( x − x ) 4⋅2⋅1

3

0

3

1

3

2

1

1

= ( x 2−3 x− x+3)( x−4)= ( x 3−4 x 2+3 x −4 x 2+16 x−12) 8

8

1

= ( x 3−8 x 2+19 x−12) 8

1

b)

1

9

w ( x)=−

( x 3−12 x 2+47 x−60)+ ( x 3−10 x 2+29 x−20) 24

4

16

25

−

( x 3−9 x 2+23 x −15)+

( x 3−8 x 2+19 x−12) 3

8

24 w ( x)=− x 3+12 x 2−47 x +60+54 x 3−540 x 2+1566 x−1080−128 x 3

+1152 x 2−6016 x+1920+75 x 3−600 x 2+1425 x−900=150 x 3+24 x 2−3072 x 150

25

w ( x)=

x 3+ x 2−128=

x 3+ x 2−128

24

4

Zadanie 2.

f ( n)(ξ)( b− a)2

n!

n+1=12, n=11

sinh(11)( x )=cosh( x )

Zadanie 3.

I. Rozwiązanie główne

[wykres przedstawiający dwie krzywe funkcji: s 0( t) , s 1( t) ]

s ' ' 0(0)= s' ' 1(4)=0

s ' 0(1)= s 1(1)

s ' ' 0(1)= s' ' 1(1)

s 0(0)=20

s 0(1)=7

s 1(1)=7

s 1(4)=25

{ s (1)= a + a t+ a t 2+ a t 3

0

0

1

2

3

s (1)= b + b t+ b t 2+ b t 3

1

0

1

2

3

II. Rozwiązanie alternatywne

{ s' (1)= a +2 a t+3 a t 0

1

2

3

s ' (1)= b +2 b t+3 b t 1

1

2

3

{ s'' (1)=2 a +3 a

0

2

3

s' ' (1)=2 b +3 b

1

2

3

a =20

0

2

{ a + a + a =−13

1

2

3

a +2 a +3 a =0

1

2

3

{2 a +3 a =0

2

3

a +2 a =13

2

3

{ 2 a +3 a =0

2

3

−2 a −4 a =−26

2

3

− a =−26 ⇒ a =26

3

3

a =13−2 a =13−52=−39

2

3

a =−13− a − a =−13+39−26=0

1

2

3

s 0( t)=26 t 3=39 t 2+20

{ b 0+ b 1+ b 2+ b 3=7

b +4 b +16 b +64 b =25

0

1

2

3

b +2 b +3 b =0

1

2

3

2 b +3 b =0

2

3

{ b+ b+ b=7

0

2

3

b +16 b +64 b =25

0

2

3

2 b +3 b =0

2

3

{15 b 2+63 b =18

3

2 b 2+3 b 3=0

{15 b 2+63 b 3=18

45

15 b 2+

b

2 3=0

81

36 4

b =18 ⇒ b =

=

2 3

3

81 9

2 b =−3 b

2

3

3

3 4

2

b =− b =− ⋅ =−

2

2 3

2 9

3

2

4

6 4

2

b =7− b − b =7+ − =7+ − =7

0

2

3

3

9

9 9

9

65

b =

0

9

65

2

4

s ( t)=

+(− t 2)+ t 3

1

9

3

9

4

2

65

s ( t)= t 3− t 2+

1

9

3

9

3

Zadanie 4.

„odpuszczamy!”

Zadanie 5.

[wykres przedstawiający trzy krzywe funkcji: s 0( x) , s 1( x) , s 2( x) ]

{ s (1)= s (1)

0

1

s (2)= s (2)

1

2

{ s' (1)= s' (1)

0

1

s ' (2)= s ' (2)

1

2

{ s'' (1)= s'' (1)

0

1

s ' ' (2)= s ' ' (2)

1

2

{ s 0(1)=1 s(1)=113 s(2)=123 s(2)=22

{ s' ( x)=1

0

s' ( x)= t (2− x) 1

s' ( x)=0

2

{ s' (1)=1= s' (1)

0

1

s ' (2)=0= s ' (2)=0

1

2

s' ' 0( x)=0

s ' ' ( x)=−1 NIE JEST

1

s' ' ( x)=0

2

4

Zadanie 6.

[wykres przedstawiający krzywe trzech funkcji: s s

s ]

0,

1,

2

s 0(0)=1, s 0(1)=1, s 1(1)=1

s 1(2)=0, s 2(2)=0, s 2(3)=1

s 2(3)=−8 NIE JEST

Gdyby się zgadzało, to:

s ' =1−2 x

0

s ' =...

1

s ' =...

2

jak wcześniej, pierwsze i drugie pochodne muszą się zgadzać!

5

Zadanie 7.

[wykres przedstawiający trzy krzywe: s s

s ]

0,

1,

2

{ s (1)= s (1)

0

1

s (3)= s (3)

1

2

{ s' (1)= s' (1)

0

1

s ' (3)= s ' (3)

1

2

{ s'' (1)= s'' (1)

0

1

s ' ' (3)= s ' ' (3)

1

2

s 1(1)= a(1−2)2= c (1−2)2

a= c

s 1(3)= c (3−2)2= s 2(3)= d (3−2)2

a= c= d

s ' 0( x )=2( x−2)+3 b ( x−1)2

s ' 1( x)=2 c( x−2) s ' 2( x)=2 d ( x−2)+3 e( x−3)2

s(3)( x)=6 b

s ' '

0

0 ( x )=2 a+ 6 b( x−1) s(3)( x)=0

s ' '

1

1 ( x)=2 c

s(3)( x)=6 e

s ' '

2

2 ( x)=2 d+6 e ( x−3) s(3)(1)= s(3)(1)

0

1

} ⇒ b= e=0

s(3)(3)= s (3)(3)

1

2

{ a= c= d

b= e=0

Funkcja s :ℝ to funkcja sklejana rzędu r , jeśli: 1. jest wielomianem stopnia co najwyżej 2 r – 1 na każdym przedziale 2. jest (2 r – 2)-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły na całej prostej 6

Zadanie 8.

[wykres przedstawiający dwie krzywe: s s ]

0,

1

{ s (1)= s (1)

0

1

s ' (1)= s ' (1)

0

1

s ' ' (1)= s ' ' (1)

0

1

s ' 0( x)=1−18 x

s ' ' 0( x )=−18

s ' ' 0= s' ' 1(2)=0 NIE MA ROZWIĄZANIA!

Zadanie 9.

BKi

c t c t c ... c

0

1

lim t =∞

1

t → ∞

lim t =−∞

1

t →−∞

sup BK 2=( t 2, t 2+ K+1) k >0

sup B 53=( t 3, t 3+5+1)=( t 3,(9)) 7

Zadanie 10.

B 21 k ( t 2, t 3)

[wykres przedstawiający krzywe dwóch funkcji: B 0, 0

]

1

B 2

Bk+1

k+1

k

k+1

k

i

= V i Bi +(1− V i ) B

+1

i+1

B 1

1

0

1

0

i = V i = Bi +(1− V i

) B

+1

i+1

[wykres przedstawiający krzywe dwóch funkcji: B

, B ]

i – 1

i

V k=

dt

t – ti

i

ti+ k− ti

t∈( ti−1 , ti+1)

t− t

B 1=

i

1 jeśli t∈( t ,t )

i

t

i

i+1

i+1− t 1

t∈( ti+1 , ti+2)

B 1

1

i =(1− V i

) jeśli t∈( t

+1

i+1 , ti+2)

t− t

t − t

1− V

=1−

i+1 = i+2

i+1

ti

t

+2− t i+1

i+2 − ti+1

B 2

2

1

2

1

i = V i Bi +(1− V i

) B

+1

i+1

t∈( t 2, t 3)

i=2 ?

B 2

2

1

2

1

1= V 1 B 1+(1− V 2) B 2

[wykres przedstawiający krzywe dwóch funkcji: B

B ]

1,

2

t− t t − t

t− t

t− t

B 2=

1

3

+

2

2

1

(1− )⋅

t − t t − t

t − t

t − t

3

1 3

2

4

2

3

2

8

Zadanie 11.

Rozwiązanie znajduje się w zadaniu 10.

Uzupełnienie:

t− t

t

− t

− t+ t

t

− t

1− V k =1−

i+1

= i+ k+1

i+1

i+1 = i+ k+1

i+1

ti

t

t

+ k+1− t i+1

i+ k+1 − ti+1

i+ k+1− t i+1

Zadanie 12.

Rozwiązanie znajduje się w zadaniu 10.

Zadanie 13.

B 3 i

sup B 3 i=( t 1, ti+3+1)=( ti , ti+4)

[wykres]

sup B 3 i∩( t 2, t 3)=∅ , gdy i≥3

sup B 3 i∩( t 2, t 3)=∅ , gdy ( ti ,ti+4)∩( t 2, t 3)=∅

i+4≤2

i≤−2

i≤−2∨ i≥3

B 3 , B 3 , B 3 , B 1

−1

0

1

2

Zadanie 14.

sup B 2 j=( t j, t j+2+1)=( t j , t j+3) sup B 2 j∩( t 2, t 4)=∅ gdy j≥2

sup B 2 j∩( t 2, t 4)=∅ gdy ( t j, t j+3)∩( t 2, t 4)=∅

j+3≤2

j≤−1

j≤−1∨ j≥2

B 2

2

0 , B 1

9

Zadanie 15.

d ∞

∞

c − c

∑ c BK( t)= K ∑ i i−1 BK−1( t ) dt

i

i

i

i

t

=−∞

i =−∞

i+ K − t i

d

∞

c − c

∞

c − c

f ( x )= K ∑ i

i−1 BK−1( x)= K ∑ j j−1 BK−1( x)

dt

2

j

i

t

t

=−∞

i+ K− t i

j =−∞

j+ K − t j

ci={ 0, j≤ i

j− i, j> i

∞

c − c

∞

c − c

= K ∑ j

j −1 BK−1+ K ∑ j j−1 BK−1

j

j

j

t

t

=−∞

j+ K− t j

j= i+1

j+ K − t j

Zadanie 16.

∞

∞

∑ Bk=1 , ∑ B 0=1

j

j

j=−∞

j=−∞

Dowód indukcyjny

∞

∞

Założmy, że ∑ Bk=1 ⇒ ∑ Bk+1=1 .

j

j

j=−∞

j=−∞

∞

∞

∑ Bk+1= ∑ [ Vk+1 Bk+(1− Vk+1) Bk ]

j

j

j

j+1

j+1

j=−∞

j=−∞

∞

∞

= ∑ V k+1 Bk+ ∑ (1− V k+1) Bk j

j

j+1

j+1

j=−∞

j=−∞

∞

∞

= ∑ V k+1 Bk+ ∑ (1− V k+1) Bk j

j

j

j

j=−∞

j=−∞

∞

= ∑ [ V k+1+(1− V k+1)] Bk j

j

j

j=−∞

∞

= ∑ Bk =

zakład

1

j

j=−∞

10

Zadanie 17.

B 3

3

2 , B 3

k >0

sup Bki=( ti , ti+ k+1) sup B 32=( t 2, t 2+3+1)=( t 2, t 6) sup B 33=( t 3, t 7)

[oś liczbowa przedstawiające przedziały B 3, 3

]

2

B 3

sup B 3 3

2⋅ B 3=( t 3, t 6) Zadanie 18.

Rozwiązanie znajduje się w zadaniu 17.

Zadanie 19.

Po x(1− t)2+2 t (1− t ) P 1 x + t 2(1− t)0 P 2 x= P 0 x (1− t)2+ P 1 x 2 t (1− t )+ P 2 x t 2

Px( t )=(1− t)2+3⋅2 t (1− t)+2 t 2=(1− t)2+6 t−6 t 2+2 t 2

=(1− t)2+6 t−4 t 2=1−2 t+ t 2+6 t−4 t 2

=−3 t 2+4 t+1

Py( t)=(1− t)2+4⋅2 t (1− t)+2 t 2=1−2 t+ t 2+8 t−8 t 2+2 t 2

=−5 t 2+6 t+1

11

Zadanie 20.

2

p( t)=∑ l ( t) , t ∈〈0,1〉

i

̄

pi

i=0 1

t =0, t = ,t =1

0

1

2 2

l 0( t) ̄

p 0+ l 1( t) ̄ p 1+ l 2( t) ̄

p 2

1

t ( t− )( t−1)

2

n

∏ ( t− t ) j

j=0

l ( t)= j≠ i

i

n

∏ ( ti− t j)

j=0

j≠ i

1

( t− )( t−1)

2

l ( t)=

0

1

(0− )(0−1)

2

( t)( t−1)

l ( t)=

1

1 1

( )( −1)

2 21

t ( t− )

2

l ( t)=

2

1

1(1− )

2

Zadanie 21.

„Zadania tego nie będzie.”

Zadanie 22.

„Zadania tego nie będzie.”

12