Zadania treningowe MOMP (2009-A) 1. Na siatce równomiernej o kroku h dane są wartości f ( h) , f (− h) , f '( h) , f ' (− h) .
Podać wzór pozwalający moŜliwie dokładnie policzyć
'
f (0).
Uwaga: Przyjąć:
− −
f ' (0) = α ( f '( h) + f '(− h) f ( h) f ( h)
+ β
2 h
2. Na siatce jak wyŜej dane są
f (0) , f ( h) , f (− 2 h) Wyznaczyć:
f '(0)
3.
Dane jest zagadnienie brzegowe
2
d y
x dy
+ −
e
= cos x
2
( )
dx
dx
y( x = −3)=1
y( x = 3) =
1
Podać wzór róŜnicowy dla siatki równomiernej. Podać dla jakich h (krok całkowania) macierz układu równań liniowych jest diagonalnie dominująca.
4.
Dane jest zagadnienie brzegowe
2
d y
dy
− (
8 6 2
x + x)
= sin x
2
( )
dx
dx
y( x = −4)=1
y( x = 4) =
1
Podać wzór róŜnicowy dla siatki równomiernej. Podać ile węzłów siatki sprawi, Ŝe macierz układu równań liniowych będzie diagonalnie dominująca.
5.
Dany jest układ równań liniowych
a
b
e
e
K
K
e x
f
1
1
3
4
n 1 1
c
a
b
2
2
2
x 2
f 2
O
O
O
c
a
b
x
f
j
j
j
• j = j
O
O
O
c
a
b
x
f
n−1
n−1
n−1
n−1 n−1
c
a
x
f
n
n
n
n
1
(Na pozostałych miejscach macierzy są zera).
a) Podać skończony algorytm rozwiązania tego układu równań.
b) Podać iteracyjną metodę rozwiązania tego układu równań (Jacobi lub Gauss-Seidel) 6.
Dany jest układ równań liniowych
a
b
x f
1
1
1
1
c
a
b
2
2
2
x 2
f 2
O
O
O
c
a
b
x
f
j
j
j
• j = j
O
O
O
c
a
b
x
f
n−1
n−1
n−1
n−1 n−1
e
e
K
K
e
c
a
x
f
1
2
n−2
n
n
n
n
(Na pozostałych miejscach macierzy są zera).
a) Podać skończony algorytm rozwiązania tego układu równań.
b) Jeśli b = b = K = b e
e
K
e
natomiast c = c = K = c
, to jakie
n = 2
n− =
= = = n =1
1
2
1
3
4
2
3
warunki spełniać muszą
a , a ,K, a
1
2
n
tak aby macierz była silnie diagonalnie dominująca.
7. Dane jest równanie:
2
2
∂ u
∂ u
− ∂
y
u
+ 5
− e
= cos( x + 2 y)
2
2
x
∂
y
∂
x
∂
spełnione w prostokącie <0,3>x<-3,3>. Na brzegu tego prostokąta u=0.
a) przedstaw dyskretyzację metodą róŜnic skończonych na siatce o komórkach kwadratowych
b) ile oczek siatki (minimum) powinna mieć ta siatka aby macierz była diagonalnie dominująca
c) przedstaw algorytm (iteracyjny Gaussa-Seidela) rozwiązania tego układu równań.
2