Zestaw 1

1. Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami:

(a) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q),

(b) [(p ⇒ q) ∧ (∼ p ⇒ q)] ⇒ q,

(c) [(p ⇒ q) ∧ (∼ p ⇒∼ q)] ⇔ (p ⇔ q),

(d) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)].

2. Zaznaczyć w układzie współrzędnych w R2 zbiory punktów, dla których: (a) (y > x2 − 1) ∨ (y < x2 + 1),

(b) (x2 + y2 < 4x) ⇒ (|x| > y) ,

(c) |x| < 1 ⇔ |y| > 2,

(d) (y < 2x−1 + 1) ∧ y < 2x−1 .

x+1

3. Podać wartości logiczne zdań:

(a) ∀x ∈ R x2 + x + 1 > 0,

(b) ∃x ∈ R [|x| > 5 ⇒ x > 2],

(c) ∃ x ∀ y y − x = 2,

(d) ∀ y ∃ x y − x = 2.

4. Korzystając z praw de Morgana dla kwantyfikatorów podać negację zdań: (a) ∀x ∈ R [x > 1 ⇒ |x| > 3],

(b) ∀ x ∈ R ∃ y ∈ R x2 + y2 = 4,

(c) ∀ A > 0 ∃ n0 ∀ n

(n > n0 ⇒ an > A).

5. Niech A

n = x ∈ R :

1 ≤ x ≤ 3 , n∈N. Znaleźć zbiory:

n

n

(a) Ai dla i = 1, 2, 3, 4, 5 ,

∞

∞

(b) S A

T

i

oraz

Ai.

i=1

i=1

6. Znaleźć zbiory:

∞

(a) S 1 + 1 , 2 + 1 ,

n

n

n=1

∞

(b) S 3 − 4 , 4 + 2 ,

n

n

n=1

∞

(c) T hn, ∞),

n=1

∞

(d) T − 1 − 2, 3 + 1 ,

n

n

n=1

(e) S At oraz T At , jeśli At = {x ∈ R : x = cos t}, t ∈ R.

t∈R

t∈R