Na zbiorach mo»emy wykonywa¢ dziaªania.
Niech A i B b¦d¡ zbiorami.
1
Zbiór
A ∪ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B }
nazywamy sum¡ zbiorów;
2
Zbiór
A ∩ B = { x : x ∈ A ∧ x ∈ B }
nazywamy przekrojem zbiorów;
3
Zbiór
A \ B = { x : x ∈ A ∧ x /∈ B }
nazywamy przekrojem zbiorów.
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
1 / 12
Dla wszystkich x zachodz¡ nast¦puj¡ce równowa»no±ci:
1
x ∈ A ∪ B ←→ x ∈ A ∨ x ∈ B
2
x ∈ A ∩ B ←→ x ∈ A ∧ x ∈ B
3
x ∈ A \ B ←→ x ∈ A ∧ x /∈ B
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
2 / 12
W przypadku gdy A = { x : W (x) } oraz B = { x : V (x) } otrzymujemy 1
A ∪ B = { x : W (x) ∨ V (x) }
2
A ∩ B = { x : W (x) ∧ V (x) }
3
A \ B = { x : W (x) ∧ ¬ V (x) }
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
3 / 12
Mówimy, »e zbiory A i B s¡ rozª¡czne je»eli nie maj¡ wspólnych elementów.
W tym przypadku ich przekrój jest zbiorem pustym ∅
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
4 / 12
Wªasno±ciom dziaªa« ∩ i ∪ na zbiorach odpowiadaj¡ wªasno±ci spójników logicznych ∧ i ∨ wyra»onym w tautologiach.
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
5 / 12
1
A ∪ B = B ∪ A, (A ∩ B) = (B ∩ A)
2
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
5
A ∪ A = A, A ∩ A = ∅
6
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
6 / 12
Zbiór A jest podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element
zbioru A jest elementem zbioru B. Fakt ten zapisujemy symbolicznie w
postaci A ⊂ B.
Mamy wi¦c A ⊂ B ←→ (dla ka»dego : x , x ∈ A −→ x ∈ B).
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
7 / 12
Mówimy, »e zbiór A jest podzbiorem wªa±ciwym zbioru B wtedy i tylko
wtedy, gdy A jest podzbiorem B i A jest ró»ny od B. Symbolicznie fakt ten
zapisujemy w postaci A ⊂ B. Mówimy wówczas, »e B jest nadzbiorem
wªa±ciwym zbioru A.
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
8 / 12
Wªasno±ci inkluzji zbiorów i dalsze prawa rachunku zbiorów
1
Je±li A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.
2
(przechodnio±¢ inkluzji) Je±li A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.
3
A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B, A \ B ⊂ A
4
Je±li A ⊂ C i B ⊂ D, to A ∪ B ⊂ C ∪ D i A ∩ B ⊂ C ∩ D.
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
9 / 12
Przestrze«, dopeªnienie zbioru
Spójnikom logicznym ∧ i ∨ odpowiadaj¡ dziaªania ∩ i ∪ na zbiorach.
Dotychczas nie wprowadzili±my dziaªania na zbiorach odpowiadaj¡cego
spójnikowi negacji. Cz¦sto zdarza si¦, »e rozwa»amy podzbiory ustalonego
zbioru X . W takiej sytuacji zbiór X nazywamy przestrzeni¡. W tym
kontek±cie negacji odpowiada tak zwane dopeªnienie zbioru.
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
10 / 12
Dla zbioru A ⊂ X zbiór Ac = X \ A nazywamy dopeªnieniem zbioru A ( w przestrzeni X ). Zatem dla wszystkich x ∈ X mamy
x ∈ Ac ←→ x /∈ A .
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
11 / 12
1
X c = ∅, ∅ c = X
2
(Ac )c = A
3
A ∪ Ac = X , A ∩ Ac = ∅
4
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc , (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
5
A ∩ X = A, A ∪ X = X .
()
Podstawy logiki i teorii mnogo±ci Wykªad 3
22 listopada 2008
12 / 12