2010-11-14

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Klasyfikacja modeli

Modele o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) – modele wielowymiarowe (MIMO, MISO, SIMO);

Str

t uk

u tu

t r

u y

y mo

m d

o e

d li

Modele liniowe – modele nieliniowe;

Modele parametryczne – modele nieparametryczne; dy

d s

y kretn

t y

n c

y h

Modele stałe w czasie – modele zmienne w czasie;

Modele w dziedzinie czasowej – modele w dziedzinie częstotliwościowej;

Modele z czasem ciągłym – modele z czasem dyskretnym;

Modele o parametrach skupionych – modele o parametrach rozłożonych;

Modele deterministyczne – modele stochastyczne.

2

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Ogólna struktura modelu

Struktury modeli dyskretnych

Wszystkie

stosowane

struktury

lub

modele

są

szczególnymi

Model liniowy stały w czasie może być określony za pomocą: przypadkami rozszerzonego modelu:

• odpowiedzi impulsowej h( i);

−

−

1

−

1

−

−

B( z 1

1

)

C( z 1)

• gęstości widmowej Φ(jω) zakłóceń addytywnych H( z−1) e( i) A( z ) y( i) G

= ( z ) u( i)+ H( z ) e( i) =

u( i)+

e( i)(*)

1

−

1

−

• funkcję gęstości f (·) zakłóce

F ( z )

D( z )

e

ń e( i)

Sygnał wyjściowy y( i) dyskretnego, liniowego modelu dynamicznego: gdzie:

e( i)

A( z- 1), B( z- 1), C( z- 1), D( z- 1), F( z- 1) –

−

y( i) G

= ( z 1

−

) u( i)+ H ( z 1) e( i) wielomiany różnicowe wyrażone:

C ( −1

z

)

−1

−1

− na

A( z

=

) 1 + a z

1

+L+ a z

na

D ( −1

z

)

Gdzie:

−1

−1

− nb

B( z

=

) b z

1

+L+ b z

nb

G(z−1) – transmitancja dyskretna toru sterowania

−1

−1

− nc

u( i)

y( i)

B ( −1

z

)

1

H(z−1) – transmitancja dyskretna toru zakłócenia C( z

=

) 1+ c z

1

+L+ c z

nc

A ( −1

z

)

F ( −1

z

)

u( i) – sygnał wejściowy

−1

−1

− nd

(

=

) 1+ 1

+L+

e( i) – zakłócenie addytywne o wła D z

d z

d

z

ściwościach białego szumu

nd

Ogólna struktura modelu

−1

−1

− nf

F ( z

=

) 1+ f z

1

+L+ f z

3

nf

4

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Model AR

Model MA

Model autoregresyjny AR ( Auto Regressive) otrzymuje się z równania Model o

(*) je

średniej ruchomej MA ( Moving Average) (formuła nierekurencyjna) żeli:

−

otrzymuje się równania (*) jeżeli:

( 1

B z ) = 0

−

−

−

( 1

B z ) = 0

C( 1

z ) =

−

( 1

D z ) = F( 1

z ) =1

−

−

( 1

A z ) =

−

( 1

D z ) = F( 1

z ) =1

1

y =

e

i

i

A( z 1

− )

y

C z 1

−

=

e

i

( ) i

Jest modelem o skończonym czasie trwania odpowiedzi impulsowej FIR

Do projektowania zakłada się strukturę modelu, znajomość wielomianów (ang. Finite Impulse Response), ma liniową fazę o dużej stabilności na, nb, nc, nd, nf oraz czasu opóźnienia nk. Ponadto z doświadczeń wynika, niestety, aby osiągnąć te same właściwości jest wyższego rzędu niż IIR i że nawet złożone procesy przemysłowe w zadowalający sposób można wprowadza znaczne opóźnienie.

opisać dyskretnym modelem dynamicznym o transmitancji rzędu n ≤ 3.

5

6

1

2010-11-14

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Model ARMA

Model ARIMA

Model ARMA ( AutoRegressive and Moving Average) mający część autoregresyjną AR oraz część o średniej ruchomej MA, otrzymuje się z Model ARIMA ( AutoRegresive Integrated Moving - Average) jest równania (*) je

niestacjonarnym modelem gdy

żeli:

ż zawiera część całkującą (sumującą).

−

Tego typu człon występuje wtedy, gdy w mianowniku pojawi się biegun ( 1

B z ) = 0

| p | = 1.

−

( 1

D z ) =

−

F( 1

z ) =1

−

−

C ( z 1)

C( z 1)

y =

e

y =

i

−1 d

i

(1 −

−1

i

i

e

−

z ) D ( z

)

A( z 1)

y = d

− y

Jeżeli:

1

1 − d y

2

2 −⋅ ⋅ ⋅

d

−

y 1

+ e + c e

1

1+ ⋅ ⋅ ⋅

c

+ e

i

−

−

−

−

−

1

i

4

4

4

4

4

i 2

nd 4

4

4

4

4

3

nd

1

i

i 4

4

4

4

2

nc

4

4

4

4

i 3

nc

d = 0 to ciąg stacjonarny, czyli model ARMA, cz

ęść A

R

cz

ęść M

A

d = 1 to ciąg niestacjonarny o zmieniającej się wartości średniej, Jest to model IIR (ang. Infinite Impulse Response) typu rekursywnego d = 2 to ciąg niestacjonarny mający tendencję narastania lub opadania (formuła rekurencyjna, powtórzeniowa), czyli o nieskończonej pamięci, gdyż zawiera informacje o poprzednich stanach wejść i wyjść. Zapewnia on dobre wygładzanie nawet przy małej ilości elementów.

7

8

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Struktury modeli AR, MA, ARMA

Modele ARMA i ARIMA mogą być stosowane do modelowania stacjonarnych szeregów czasowych, tj. szeregów w których występują e( i)

y( i)

e( i)

y( i)

jedynie wahania losowe wokół średniej lub niestacjonarnych C ( −1

z

)

A(1−1

z

)

sprowadzonych do stacjonarnych. Wśród ogółu modeli zaliczanych do tej klasy wyróżnia się trzy podstawowe ich rodzaje:

modele autoregresji,

e( i)

−1

y( i)

C ( z )

modele średniej ruchomej

A( −1

z

)

modele mieszane autoregresji i średniej ruchomej.

9

10

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Model o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR) Sterowany model autoregresji (ARX)

Model FIR ( Finite Impulse Response) otrzymuje się równania (*) jeżeli: Model ARX ( Auto Regressive with Exogenous Input) otrzymuje się

−

−

−

równania (*) jeżeli:

( 1

A z ) =

−

( 1

C z ) = ( 1

D z ) = F( 1

z ) =1

−

−

C( 1

z ) =

−

( 1

D z ) = F( 1

z ) =1

y =

−

B z 1 u + e

−

B( z 1)

i

( ) i i

1

y =

u +

e

i

( −

−

A z 1 ) i

( Az 1) i

e( i)

e( i)

u( i)

y( i)

B ( −1

z

)

A(1−1

z

)

Schemat blokowy modelu FIR

u( i)

−1

y( i)

B ( z )

A( −1

z

)

11

12

Schemat blokowy modelu ARX

2

2010-11-14

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowany model autoregresji o średniej

Przykład modelu ARMAX

ruchomej z sygnałem wejściowym (ARMAX)

Rozpatrzmy model ARMAX w postaci:

Model ARMAX ( AutoRegressive Moving Average with Exogenous

−

−

A( z 1

−

) y( i) = B( z 1 u

) ( i)+ C( z 1 e

) ( i)

Input) otrzymuje się równania (*) jeżeli:

−

( 1

D z ) =

−

F( 1

z ) =1

Gdzie:

1

−

1

−

2

−

3

−

(

A z )= 1+ z

−2 z + z

−

−

B( z 1)

C( z 1)

y =

u +

e

−

−

i

( −

−

1

1

B( z )= 1+ z

A z 1 ) i

( Az 1) i

−1

−1

2

−

C( z

)= 1− 2 z

− 3 z

e( i)

C ( −1

z

)

( − − −

−

−

−

1+ z 1 − 2 z 2 + z 3 ) y( i) = (1+ z 1) u( i)+(1− 2 z 1 − 3 z 2 ) e( i) A ( −1

z

)

u( i)

−1

y( i)

B ( z

)

A ( −1

z

)

13

14

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Po przekształceniach otrzymujemy następująca postać: Model błędu wyjściowego (OE)

y( i) = u( i)− u( i − ) 1 + e( i)− 2 e( i − ) 1 − 3 e( i − 2)−

Model OE ( Output Error ) otrzymuje się równania (*) jeżeli:

−

1

−

1

−

1

y( i − )

1 + 2 y( i − 2)− y( i − 3) (

A z ) =

−

C( z ) = (

D z ) =1

−

B( z 1)

średnia ruchoma

y =

u + e

i

i

autoregresja

Średnia ważona, której wagi są

−

F ( z 1)

i

współczynnikami wielomianu C( z- 1) Z powyższej postaci widać, że sygnał y( i) zależy od sygnału u w e( i)

chwili i i od jego poprzedniej wartości.

y( i)

u( i)

B ( −1

z

)

F ( −1

z

)

Zależy również od sygnału e w chwili i i od jego poprzednich dwóch wartości oraz od poprzednich trzech wartości y.

15

16

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Model Boxa-Jenkinsa (BJ)

Modele systemów wielowymiarowych

Model BJ ( Box-Jenkins) otrzymuje się równania (*) jeżeli: Pełna postać wielomianowa (ARX):

−

( 1

A z ) =1

( −

A z 1 ) y =

−

B z 1 u + e

i

( ) i i

−

−

B( z 1)

C( z 1)

y =

u +

e

i

−

−

ny

nu

ny

y ∈ R , u ∈ R , e ∈ R

F ( z 1) i D( z 1) i i

i

i

(

1

−

A z

) - Wielomian macierzowy o wymiarach ( ny x ny) e( i)

B(

1

−

z

) - Wielomian macierzowy o wymiarach ( ny x nu)

−1

−1

− na

(

=

) I + A1

+L+

C ( −1

z

)

A z

z

A z

na

D ( −1

z

)

−1

−1

− nb

B( z

=

) I + B z

1

+L+ B z

nb

u( i)

−1

y( i)

B ( z )

F ( −1

z

)

17

18

3

2010-11-14

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Sterowanie Dyskretne

Wykład 5

Modele systemów nieliniowych

Modele systemów nieliniowych

Model Wienera:

Model Hammersteina:



−

B

1

 ( q )



−

B( q 1)

y = f

u  + e

i



−

y =

f u + e

 ( 1



A q ) i

i



i

( −

A q 1 ) ( i )

i

e( i)

e( i)

u( i)

−1

s( i)

y( i)

B ( z )

u( i)

s( i)

−1

y( i)

B ( z )

f( s( i))

A ( −1

z

)

f( u( i))

A ( −1

z

)

Model Wienera-Hammersteina:

Model Hammersteina-Wienera:

−1

−

B



−

B( q 1)



2 ( q

)  B 1

 1( q )



y =

f

u  + e

= 



2

1

+

i

−

y

f

f u

e

1



−1



i

i

A



−

 (

A q 1 ) ( )

i



2 ( q

)  A 1( q ) i i





19

20

21

4