Operacje matematyczne na wielkościach fizycznych w przestrzeni euklidesowej 3
Zadanie 1: Określić matematyczną formę wyrażenia a ⊗ b ,
gdzie: a = a e
oraz b = b e
są wektorami.
i
i
j
j
Rozwiązanie zadania 1:
a ⊗ b = a b
e
⊗ e – tensor walencji 2
i
j
i
j
reprezentacją tego tensora w polibazie e ⊗ e jest macierz – T
i
j
ij
a b
a b
a b
a
1
1
1
2
1
3
1
T = a b
= a b
a b
a b
= a b b
b
2
[ 1 2 3]
ij
i
j
2
1
2
2
2
3
a b
a b
a b
a
3
1
3
2
3
3
3
→ wyrazy tej macierzy można obliczyć jako iloczyn wektorów!
Zadanie 2: Rozwinąć wyrażenie:
→ iloczyn tensorowy wektorów bazowych e ⊗ e .
2
3
Rozwiązanie zadania 2:
e ⊗ e → wyrażenie to jest tensorem walencji 2
2
3
Stosując odpowiedni zapis macierzowy:
0
0 ⋅0 0 ⋅0 0 ⋅1
0 0 0
e ⊗ e → 1 [ 0 0
]1 = 1 ⋅0 1 ⋅0 1 ⋅1 = 0 0 1
2
3
0
0 ⋅0 0 ⋅0 0 ⋅1
0 0 0
Zadanie 3: Dany jest wektor: a = a e
.
i
i
Rozwinąć wyrażenie: a ⊗ e .
1
Rozwiązanie zadania 3:
a ⊗ e → wyrażenie to jest tensorem walencji 2
1
Stosując odpowiedni zapis macierzowy:
a
a ⋅1 a ⋅0 a ⋅0
a
0
0
1
1
1
1
1
a ⊗ e → a 1 0 0 = a ⋅1 a ⋅ 0 a ⋅ 0 = a 0
0
2
[
]
1
2
2
2
2
a
a ⋅1 a ⋅0 a ⋅0
a
0
0
3
3
3
3
3
→ w wyrażeniu tym składowe wektora a stanowią 1 kolumnę
Pytanie: Jakie działanie da w rezultacie składowe wektora b = b e jako elementy 2 wiersza macierzy?
i
i
Odpowiedź: Wyrażenie: e ⊗ b .
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
1
3
Dana jest funkcja skalarna w : ϕ ( x) 2
= 5 x + x x − x x x
1
1 2
1 2 3
Obliczyć: ϕ , określić matematyczną formę tego wyrażenia.
, j
Rozwiązanie zadania 4: ϕ → gradient pola skalarnego
, j
ϕ
∂
∂
ϕ
x 1
5⋅2 x +1⋅ x −1⋅ x x 10
x + x − x x
,1
ϕ
∂
1
2
2 3
1
2
2 3
grad ϕ
= ∇ϕ = ϕ = ϕ
=
=
0 + x ⋅1− x ⋅1⋅ x
=
x − x x
, j
,2
∂
1
1
3
1
1 3
ϕ
x
2
0 + 0 − x x ⋅1
− x x
, 3
ϕ
∂
1 2
1 2
x
∂
3
→ matematycznie jest to funkcja wektorowa (pole wektorowe)
Zadanie 5:
3
Dana jest funkcja skalarna w : ϕ ( x) 2
= 5 x + x x − x x x
1
1 2
1 2 3
Obliczyć: ϕ , określić matematyczną formę tego wyrażenia.
, i
i
Rozwiązanie zadania 5: ϕ → Laplasjan
, i
i
2
2
2
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
2
∇ ϕ = ϕ
∆ = ϕ = ϕ +ϕ +ϕ =
+
+
, i
i
, 11
, 22
, 33
2
2
2
x
∂
x
∂
x
∂
1
2
3
Zatem:
2
∇ ϕ = ϕ
∆ = ϕ = (5⋅2 + 0⋅ x − 0⋅ x x + 0 + x ⋅0 − x ⋅0⋅ x + 0 + 0 − x x ⋅0 =10
2
2 3 )
(
1
1
3 )
(
1 2
)
, i
i
→ matematycznie jest to liczba
3
8 x x
1
2
Zadanie 6:
3
Dana jest funkcja wektorowa w : u ( x) = 5 + 2 x x i
1 2
x + x + x
1
2
3
Rozwinąć: u , określić matematyczną formę tego wyrażenia.
i, j
Rozwiązanie zadania 6: u → gradient pola wektorowego
i, j
u
∂
u
∂
u
∂
1
1
1
∂
∂
∂
x
x
x
u
u
u
1
2
3
1,1
1, 2
1, 3
u
∂
u
∂
u
∂
grad u
= ∇ u = u = u
u
u
2
2
2
=
i, j
2,1
2, 2
2, 3
x
∂
x
∂
x
∂
u
u
u
1
2
3
3,1
3, 2
3, 3
u
∂
u
∂
u
∂
3
3
3
x
∂
x
∂
x
∂
1
2
3
Zatem: grad u
= ∇ u = u
i, j
( 3
8 x x )
( 3
8 x x )
( 3
8 x x
2
3
2
3
1
2
1
2
1
2 )
⋅
⋅
⋅
,1
, 2
, 3
8 3 x
x
8 x 1
0
24 x x
8 x
0
1
2
1
1
2
1
= (
5 + 2 x x
5 + 2 x x
5 + 2 x x
= 0 + 2⋅1⋅ x
0 + 2 x ⋅1
0
=
2 x
2 x
0
1 2 )
(
1 2 )
(
1 2 )
,1
, 2
, 3
2
1
2
1
(
+ +
+ +
+ +
x + x + x
x + x + x
x + x + x
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
1
1
1
2
3 )
(
1
2
3 )
(
1
2
3 )
,1
, 2
, 3
→ matematycznie gradient pola wektorowego jest to pole tensorowe 2 walencji (reprezentowane przez macierz) J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
2
8 x x
1
2
Zadanie 7:
3
Dana jest funkcja wektorowa w : u ( x) = 5 + 2 x x i
1 2
x + x + x
1
2
3
Rozwinąć: u , określić matematyczną formę tego wyrażenia.
i, i
Rozwiązanie zadania 7: u → dywergencja pola wektorowego
i, i
u
∂
u
∂
u
∂
div u
= u = u + u + u
1
2
3
=
+
+
i, i
1, 1
2, 2
3, 3
x
∂
x
∂
x
∂
1
2
3
Zatem: div u
= u = ( 3
8 x x
+ 5 + 2 x x
+ x + x + x
1
2 )
(
1 2 )
(
1
2
3 )
i, i
, 2
, 3
,1
= (
2
8 ⋅ 3 x ⋅ x ) + (0 + 2 x ⋅ ) 1 + (0 + 0 + )
2
1 = 24 x x + 2 x +1
1
2
1
1
2
1
→ matematycznie jest to pole skalarne
Spostrzeżenie: div u
= tr ( grad u
) !
Zadanie 8:
3
Dana jest pole tensorowe w :
3
x
x x
1− x
1
1 2
3
A
x = − x x
x x +
ij (
)
2
4
1 2
2 3
2
2
8 x
x x x
2 x
2
1 2 3
3
Obliczyć: A , określić matematyczną formę tego wyrażenia.
ij , j
Rozwiązanie zadania 8: A → dywergencja pola tensorowego
ij , j
A
∂
A
∂
A
∂
11
12
13
+
+
∂
∂
∂
x
x
x
A
A + A
+ A
1
2
3
1 j, j
11, 1
12, 2
13, 3
A
∂
A
∂
A
∂
div A = A
= A
= A + A
+ A
21
22
23
=
+
+
ij , j
2 j, j 21, 1
22, 2
23, 3
x
∂
x
∂
x
∂
A
A + A + A
1
2
3
3 j , j
31, 1
32, 2
33, 3
A
∂
A
∂
A
∂
31
32
33
+
+
x
∂
x
∂
x
∂
1
2
3
( 3
x
+ x x
+ 1− x
( 2
3 x
+ 1⋅ x + 0 −1
2
+ +
1 )
( 2 ) (
)
1 )
( 1 2 ) (
2
3 )
,
,
,1
3
3 x
x
1
1
2
Zatem: div A = A
= (− x x
+ x x + 2 + 4
= ( 1
− ⋅ x + 1⋅ x + 0 + 0 = − x + x 2 )
( 3 ) ( )
1 2 )
(
2 3
) ( )
ij , j
,1
, 2
, 3
2
3
(
(
0) + ( x ⋅1⋅ x + 2 ⋅ 2 x
x x + 4 x
1
3 )
(
3 )
2
8 x ) + ( x x x ) +
1 3
3
2
( 2
2 x
2
1 2 3
3
,
)
,1
, 3
→ matematycznie dywergencja pola tensorowego (2 walencji) jest to pole wektorowe
Zadanie 9:
3
Dana jest pole tensorowe walencji 2 w : A x ij (
)
Jaką postać matematyczną ma gradient pola tensorowego 2 walencji: Aij, k ?
Rozwiązanie zadania 9: A → T
ij , k
ijk
Gradient ten ma postać pola tensorowego 3 walencji T x , o 27 składowych.
ijk (
)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
3
3
Zadanie 10: Obliczyć rotację pola wektorowego: v ( x) 2
= x .
1
3
x
2
Rozwiązanie zadania 10:
rot v
(lub curl v
) → rotacja pola wektorowego
v
∂
v
∂
3
2
−
e
e
e
x
∂
x
∂
1
2
3
2
3
∂
∂
∂
v
∂
v
∂
rot v
= ∇× v =
1
3
=
−
x
∂
x
∂
x
∂
x
∂
x
∂
1
2
3
3
1
v
v
v
v
∂
v
∂
1
2
3
2
1
−
x
∂
x
∂
1
2
∂
lub używając symbolu pochodnej cząstkowej: ( ) =
, i
x
∂ i
e
e
e
v − v
1
2
3
3, 2
2, 3
rot v
= ∇× v = ()
() () = v − v
,1
, 2
, 3
1,3
3,1
−
v
v
v
v
v
1
2
3
2,1
1, 2
pomocnicze obliczenia:
2
2
3
3
2
v
= x
= 0
v
= x
=1 v = x
= 2 x
v
= x
= 0
v
= x
= 0
v
= x
= 3 x
3, 2
( 2)
3,1
( 2)
2, 3
( 1 )
2,1
( 1 )
1, 3
( 3)
1, 2
( 3)
1
2
, 2
, 3
,1
, 3
,1
, 2
Zatem:
v − v
2
3 x − 0
2
3 x
3, 2
2, 3
2
2
rot v
= v − v
= 1− 0
= 1
1,3
3,1
v − v
2 x − 0 2 x
2,1
1, 2
1
1
Zapis formalny (wskaźnikowy) operatora rotacji: rot v
→ ε v
e
lub ε v
e
lub ε v
e
ijk
j , i
k
ijk
k , j
i
ijk
i, k
j
Sprawdzenie: (dla swobodnego indeksu – k ): ε
v
+ ε v
1
⋅ v + 1
− ⋅ v v − v
3, 2
( )
231
3, 2
321
2, 3
2, 3
3, 2
2, 3
ε
v
= ε v
+ ε v
= 1⋅ v + 1
− ⋅ v
= v − v
, co było do okazania
1, 3
( )
ijk
j , i
312 1,3
132
3,1
3,1
1,3
3,1
ε v + ε v
1⋅ v + 1
− ⋅ v
v − v
2,1
( )
123
2,1
213
1, 2
1, 2
2,1
1, 2
Zadanie domowe:
Rozwinąć wyrażenie:
T
div σ
+ ρ b = 0
gdzie: σ ≡ σ → pole tensorowe 2 walencji,
ij
b ≡ b → pole wektorowe
k
ρ → liczba
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
4