ZADANIA Z MATEMATYKI

opracowała

mgr inż. Joanna Korzeniewska

Spis treści

I. Wartość bezwzględna .................................................................................................................................................... 2

II. Działania na zbiorach .................................................................................................................................................... 3

III. Funkcja liniowa i kwadratowa ...................................................................................................................................... 3

IV. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna ........................................................................................................................... 5

V. Funkcja wielomianowa i wymierna .............................................................................................................................. 7

VI. Dziedziny i wykresy ...................................................................................................................................................... 8

VII. Granice i ciągłość ........................................................................................................................................................ 9

VIII. Asymptoty ................................................................................................................................................................ 11

IX. Pochodna funkcji ........................................................................................................................................................ 11

X. Przebieg zmienności funkcji ........................................................................................................................................ 13

XI. Całki nieoznaczone ..................................................................................................................................................... 14

XII. Całki oznaczone ......................................................................................................................................................... 15

XIII. Całki niewłaściwe ..................................................................................................................................................... 16

XIV. Równania różniczkowe ............................................................................................................................................ 16

Literatura......................................................................................................................................................................... 17

I. Wartość bezwzględna

Zadanie 1.Przedstaw wyrażenie w prostszej postaci:

1. x 4x 4 2

2

4. 9x 12x 4 3

2. 5x 20x 20 2

5. x 10x 25 5

3. 9 6x x 3

Zadanie 2.Oblicz

1. 2 √3 √3 4

4. 2√3 √7 2√6 4

2. 2 3√2 1 √2

5. 1 √3 √3 √5

3. √2 √3 2 √5

6. 5 3√2 √5 2

Zadanie 3.Rozwiąż równania z wartością bezwzględną.

1. |x| 2 5

6. 4x 12x 9 12

2. |x 2| 4

7. | 1| | 2| 3

3. |2x 3| 10

8. | 2| | 1| 2

4. 22 x 10

9. |2 1| |3 1| 2

5. x 2x 1 6

10. | 3| | 4| 5

Zadanie 4.Rozwiąż nierównania z wartością bezwzględną.

1. |x 1| 1

6. 4x 12x 9 12

2. 2|x 2| 6

7. | 1| |2 1| 2

3. |3 4x| 9

8. |2 1| |2 | 6

4. x 4x 4 3

9. | 1| | 2| 3

5. x 6x 9 3

10. |2 3| | 1| 5

II. Działania na zbiorach

Zadanie 1. Dane są zbiory. Wyznacz zbiory ", $, " % $, " & $, "\$ :

3

1. " (: * + , | 1| 4- ; $ /: * + , 3 3 20

2. " (: * + , 4 3 1 - ; $ (: * + , | 3| 2-

3. " (: * + , 2| 1| 4- ; $ (: * + , 1 5 2-4. " (: * + , | 2| 3- ; $ (: * + , | 1| 1-

1

5. " (: * + , | 2| 3- ; $ /: * + , 2 1 10

4 2

6. " (: * + , |2 6| 4- ; $ /: * + , 1 3 3 00

2

7. " (: * + , 25- ; $ /: * + , 1 10

III. Funkcja liniowa i kwadratowa

Zadanie 1.Dana jest funkcja

1.y x 2x3

4. fx 2x 5x 3

2. y 2x 4x 6

5. fx 3x 4x 1

3. y 2x 3x 5

6. y 2x 10x 12

a)podaj współczynniki trójmianu kwadratowego

b)wyznacz wyróżnik trójmianu kwadratowego

c)określ współrzędne wierzchołka paraboli

d)podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowej

e)znajdź miejsce zerowe funkcji jeżeli to możliwe

f)rozłóż na czynniki liniowe jeżeli to możliwe

g)narysuj wykres funkcji

h)podaj przedziały monotoniczności.

i)dla jakich argumentów funkcja przybiera wartości dodatnie

Zadanie 2.Rozwiąż równania i nierówności kwadratowe.

1. 3 35 0

5. 8 15 0

2.6 7 3

6. 3 5 1

3.2 9 5 2 1

7. 4 9 0

4. 4 3 0

8.4 0

Zadanie 3.Dla jakich wartości parametru m (4 * +) równanie ma dwa różne rozwiązania.

1. 24 5 4 1 0

3. 4 44 4 3 0

2. 2 3 1 4 0

4. 4 1 4 2 2 0

Zadanie 4.Dla jakich wartości parametru k (5 * +) równanie nie ma rozwiązania.

1. 3 24 4 1 4 3 0

3. 4 4 3 4 3 0

2. 24 1 4 3 0

4. 4 2 24 5 4 0

Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru k równanie ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku: 1.2 4 4 6 0

3. 4 1 24 4 2 0

2. 24 2 44 0

4. 4 1 24 24 3 0

Zadanie 6.Napisz wzór funkcji liniowej, gdy :

6

a)jej wykres jest nachylony do osi pod kątem 1 oraz miejscem zerowym jest 2√3

b) jej wykres jest równoległy do prostej 7 4 6 i przechodzi przez punkt 81,7

c)jej wykres jest prostopadły do prostej 7 2 5 i przecina OY w punkcie 6.

Zadanie 7. Oblicz dla jakich wartości k funkcja liniowa :

1. 9 25 6 4 jest malejąca

2. 9 :1;<=? 3

>

jest rosnąca

3. 9 =;<@ 5

;AB

jest nierosnąca

IV. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Zadanie 1. Wykonaj działania na logarytmach

log

4. 2IJKL√L @

1.

√3

log 9 log 27

B

5. 4IJKL 1<1IJKL @

9 1

2. logB F G

1 √3

6. log 3 · log 4 · log1 2

3 logB 9 log 26 2 log √13

3.

1

log

1

@ 5 logH 3

Zadanie 2. Narysować funkcje wykładnicze

1. 9 2N<B

N

1

4. 9 F4G 1

2. 9 3|N|

5. 9 1 2NAB

1 |N|

3. 9 F2G

1 NA1

6. 9 2 · F2G 2

Zadanie 3. Narysować funkcje logarytmiczne

1. 9 log 1 2

4. 9 2 logB 3

1

2. 9 logB 2 2

IJK

1

L N

5. 9 F

3. 9 log

2G

1|| 1

6. 9 log

Zadanie 4. Rozwiąż równania i nierówności wykładnicze

1. 2NA> 32

10. √5 2=NA √5 2ONAB

1 A=

2. 2|=NAB| F

1

2G

11. 2=NAB 16

3. √61AN 6N<=

=NAB

1

12. F2G 16

4. 3NA= · 271AN 91NA1

1 NA=

5. 7NLA@N<> 1

13. 4N · 8 F2G

6. 2N<1 2N 112

1 NLA1N<@

1

14. F

7. 4N<B 4N 72

3G

27

NA1

8. 4N 3 · 2N 2 0

1

15. 3N< 3

9. 7N 6 · 7N 5 0

16. 0,2 N 251NA

17. √2N 0,5 =NAB

19. 3N 3N<B 3

18. 5N 6 · 5N 5 0

20. 4N<B 4N 72

Zadanie 5. Rozwiąż równania i nierówności logarytmiczne

1. log1 2 2

13. logB logR 2

2. logN 64 3

14. logO log=H

1

3. logN<B 57

1

2

15. log 1 2

4. lnQ 7

16. log 6 8 3

5. logx logx 1 log6

17. logS,1 1 2logS,110 2

6. ln2x lnx 1 1

18.2 lnx 1 2ln5 T10

7. logB 3 logB 1

19. logB 3 logB 1 1

3

8. log Flog= F2 log1GG 1

20. log>AN 2 1

9. 2 log 1 log 3

21. log

NA1 4 1

10. Flog

22. log

G 2

B 1 4G logB 1 4

F1 logB

1

11. log

23. loglog

N<4 8 2

0

12. log

1

NLAB2 2 2

24. log@ 2 logS,S= 4 4 1

Zadanie 6.Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania 1. 4N 3 · 2N 4 0

3. 4N 2N< 4 1 0

2. 9N 3N<B 1 34 0

4. 9N 10 · 3N 54 3 0

V. Funkcja wielomianowa i wymierna

Zadanie 1. Rozwiąż równania i nierówności wielomianowe

1. 4 3 0

10. 2 12 13

2. 2 1 1 0

11. 2 3 2 0

3.5 1 1 0

12. 9 3 2 1 0

4. 21 8 8 = 9 0

13. 1 3 5 15 0

5.2> @ 64 32 0

14.51 15 3 0

6. 2@ 6= 41 12 6 18 0

15. = 41 5 0

7. = 31 3 1 9

16. 3 1 2 4 0

8. 1 3 4 0

17. 4 3 2 3 1 3 4 1 0

9. 1 3 2 0

18. 1 2 6 12

Zadanie 2. Narysować wykres funkcji i podać równania asymptot :

2

3

1. 9 1 3

8. 7 4

7

2 2

2. 9 √2

9. 7 2 3

3

2

3. 9 2 1

10. 7

5

2 1

4. 9 2 4

11. 7 U U

2 3

3

5. 7

12. 7 U 2U

3 10

6. 7

|| 2

4

11. 7 || 3

3 7

7. 7

2

5

12. 7 || 1

Zadanie 3. Rozwiąż równania i nierówności wymierne

2 1

4

1.

1

2 1 5

4. 2 2

1 1

2.

9 7

2 3

5. 1 1

1

5

3.1

2 5

6. 4 3

1

7.

3 9 1 16

2 3 2

10.

0

6

8.

4

3 5 3

11. 5 6 1

4

1

9.

5 1

12. 7 6 0

VI. Dziedziny i wykresy

Zadanie 1.Wyznacz dziedzinę funkcji :

1. 9 V 5

2 1 1

2. 9 V 2

4

NL

3. 9 QNA arcsin 4

3 1

4. 9 2\] N

N< arctg

5. 9 4 3 2

69 2 6 5 .

7. 9 1 7 3 21 2

1 2

8. 9 T F 6G

Zadanie 2. Narysować wykresy funkcji i podać dziedzinę oraz zbiór wartości: 2 1 * ∞, a1b

1. 9 _ln 1 * 1, Q a

g 2 * c4a, a0b

e

1

Q\]N * cQa, ∞

2. 9

ln 2 * 0,

a

f

Q

e

a

d 25 * c1Q ,5

1

1

g arcsinx 1 * c4a, a0b

e

5. 9 _ln F 2G 2 * c 4 , 3ba

3. 9 | 4| 1 * 0, √3 a

2NL<N * 3,3

f

3

e

a

d2 √3 * c√3

|NAB|

3 , ∞

g 1

F

* ∞, 2

6. 9

3G

a

f 3

d

4 * c2, ∞ a

g 1 2 * ∞, a3b

e

1

4. 9

2N 1 * 3,

a

f

2

e

a

d ln 2 √3 * c12 ,∞

VII. Granice i ciągłość

1.Oblicz granicę funkcji w punkcie S

2

1. lim

4

6. lim

NiAO 7

NiA 1 2 4 8

2 1

2. lim

7. lim 2 9

Ni= 5 2

NiS

5 4

√3 √3

3. lim

8. lim

NiAB

1 1

NiS

2

√ 5 3

9

4. lim

9. lim

Ni

2

Ni1 3

2

2 √ 3

5. lim

10. lim

NiB 1 1

NiB

1

2.Oblicz granice na krańcach nieskończoności.

1. lim 1 3 9

5 1

Ni<j

7. lim

NiAj 3 2 1

2. lim 21 3 18

NiAj

7 6

8. lim

3. lim 2= 31 6 12 8

NiAj

3 5

NiAj

4. lim > 4= 5

9. lim 2 1

NiAj

Ni<j

1 8

10. lim 4 4

5. lim

Ni<j

Ni<j 3 5 8

√= 3

7 8

11. lim

6. lim

NiAj 3 4 3

Ni<j 2 16 64

√ 5 5

12. lim

Ni<j

4 3

3.Oblicz granice jednostronne

1. lim

2

9

Nik 4

4. lim

7. lim

Ni1k 3

k 2 1

NiB

2 3

2. lim

3

NiBl

5. lim

2 7

Ni=k 4

8. lim

NiA>l 36

2 1

3. lim

4

NiSl 2

6. lim

Ni@l 20

Zadanie 4. Oblicz granice

mn]1N

mn]>N

1.limNiS

5. lim

1 N

N

Ni ∞

N

9. limNiS 1N

2. limNiSmn]1N op1N

6. lim

N N

10. lim

1 6 N

N

@N

Ni ∞ N<B

Ni ∞

N

mn]N

mn]=N

3. limNiS

7.lim

11. lim

1 B N

=N

NiS opLN

Ni ∞

N

Nmn]N

4. limNi 1 1 N

12. lim

N<1 N

∞

8. lim

N

NiS NLqrmN

Ni ∞ N<@

Zadanie 5.Oblicz następujące granice stosując regułę de l’ Hospitala 1. lim √ 1 2

1. lim √ 3 √5

Ni1

2 6

NiB

√ 1

3 8

2. lim

2

NiA

2. lim

∞

2 1

Ni 4 4

st5

3. lim

uvT2 st

NiS st4

3. lim

NiS uvT

= 1 3 5 2

4. lim

3 4

4. lim

Ni

1 4 5 2

Ni ∞

8 1

Zadanie 6. Sprawdź , czy funkcja jest ciągła w podanym punkcie 1. 9 31 2 1 r 0

5. 9 w 6 4 x 3a

2 3 S 3

4

2. 9 1 r 4

6. 9 / 5 6 * ∞, 2

2 * c2, ∞ a a

3. 9 √ 2 r 7

S 2

4. 9 / 2 3 * ∞, 1

2 * c1, ∞ a S 1a

VIII. Asymptoty

Zadanie 1.Wyznacz asymptoty poziome i pionowe wykresu funkcji, gdy: 1

2

1. 9 1

4. 9 1

2

2. 9

5. 9

1

2 1

4 5

2 2

3. 9

6. 9

2

4

Zadanie 2.Wyznacz równanie asymptoty ukośnej wykresu funkcji f, gdy:

3

1. 9 1

3. 9 2

2 2

1

2. 9

1

4. 9 1

Zadanie 3. Wyznacz równania asymptot funkcji

uvT

1. 7

3. 7 QN

21 3

5. 7 1

4. 7 4

3 1

1

2. 7

6. 7 2||

IX. Pochodna funkcji

Zadanie 1.wyznacz pochodne funkcji.

1. 9 √

1

9. 9 2 3

2. 9 √y

10. 9 3 2 1 1

3. 9 √y

y

11. 9 3 1

y

4. 9 √

12. 9 3 4

√y

13. 9 4QA=N

5. 9 3 4

14. 9 QN

6. 9 3 4 2

1

15. 9 2 T

7. 9 7O 2> 3= √3

16. 9 T√z{u

3 1

8. 9 2 5

Zadanie 2. Oblicz pochodne w punkcie |

1. 9 4 2; | 2

2. 9 √2 1 ; | 5

1

3. 9 2 ;| 3

4. 9 2 1 QN; | 0

}

5. 9 uvT2 ; | 3

Zadanie 3.Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie p, jeśli 1. 9 3 5, 8 1,3

6. 9 2 3, 8 2,3

2. 9 2√ , 8 4,4

7. 9 3√ , 8 9, 9

1

2

3. 9 2 ,8 S,4

8. 9 1 ,8 S,4

6

5

4

5

4. 9 2 ,8 S,2

9. 9 1 ,8 S,4

5. 9 4 , 8 S, 2

10. 9 2 , 8 S, 1

Zadanie 4.Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: 3

1. 9 1

2

7. 9 1

1

2. 9

2 2

5 @ = 1

8. 9

1

3. 9 = 2 1

1 3

9. 9

4. 9 1 3 2

2

5. 9 1 16 16

10. 9 1

6. 9 3

Zadanie 5. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji :

9 @ = 2 1

~ 9 16

9

z 9 2

1 1

9

Zadanie 6. Wyznaczyć drugą pochodną funkcji 9 : 9

Q 9 @ = 2 1

1

t 9 3 QN

1

~ 9 1

9 T

z 9 √3

v 9 T

9 √3 2

€ 9 QN

Zadanie 3.Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia jej wykresu (o ile istnieją) :

= 1

9 12 6 3 2 1

9 1

= 1

1 T

~ 9

Q 9

4 3 2 2

z 9

9 9 ln 1

1

X. Przebieg zmienności funkcji

Zadanie 1. Wykonać przebieg zmienności funkcji

1. fx 2x1 3x 12x 18

2. fx xx 4

3. fx L<B

LA=

4. fx AB



5. fx xeA

6. fx 2x1 x 8x 2

7. fx 2xx 1

8. fx y

A

9. fx y

B< L

10. fx xeAƒ„

XI. Całki nieoznaczone

Zadanie 1. Oblicz całki

1. …

14. … Š<1 ‹

Š<B

2. … ~ 1

15. …uvT z{u

†

3. … L

16. … BANL

BAN„

4. … 6

N

17. … : B ?

5. … 10z{u

√BANL

18. … NyAR

6. … NL‡ˆ<N

NL

=

NL<N<=

19. … 162N 1

7. …uvT z{u

20. …

ŒN

8. … NyA‰y

√NB<√N

NA‰

9. … 21 3

21. … ŠŒŠ

>ŠLA@

10. …

N

NLAB L

22. … qrm Ž

<1mn]

11. … N<B

NL<N<

23. … ‡√ˆ

√N

12. … mn]√N

√N

24. … mn]\]N

N

13. … \]N

N

Zadanie 2. Obliczyć całki:

1. … N

11. … 1 T

‡ˆ

2. … QNz{u

12. … z{u

3. … uvT3

13. … QNuvT 1N

4. … T

14. … Žzst

5. … 3Nz{u

15. …

ŒN

NLAN<@S

6. … N

qrmLN

=

16. … =N<@

7. … QN

NLA>N<B1

8. … cos 2 uvT

17. …

NL

N<1 NLAN<BS

9. … T

18. …

B

yˆ

B>N„AB

10. … Q L

19. … ŒN

RNLAN

Zadanie 3. Obliczyć całki :

1. …

N

NLA=NA@

5. …

B

NN_<B L

2. …

B

NLAON<1

6. …

B

HNyA>NL<=N

=

3. …

B

ANLA=N

7. … NAN

N<B y

4. … NL<N<B

NyANL

8. …

N

N<1 NL<N<@

=

XII. Całki oznaczone

Zadanie 1. Oblicz całki oznaczone

R

x= x1 16x 16x

1. ‘ 3 2x dx

10. ‘ √2 9

19. ‘

S

S

B

x 16

dx

S

B

1

2. ‘ 3 x 4x dx

11. ‘ 4

20. ‘ | 2|

AB

AB

A

S

‡ T1

6

3. ‘ 3x= x 1 dx

12. ‘

21. ‘z{u

AB

B

S

1

B

B :1 √x1 √x ?

13. ‘ QAN

‡L

4. ‘

dx

22. ‘

S

√ T

S

√x

‡

B

S x 2x 2 x1

14. ‘ 3x 5 dx

S

5. ‘

23. ‘ √1 4

AB

AB

x 1

dx

A>

B

S x1 2x 3x 6

15. ‘ 3 x 4x dx

B

6. ‘

24. ‘ 1

S

A

x 2

dx

AB

=

16. ‘ 2x= 3x 4 dx

‡L T

7. ‘ |4 3 |

A

25. ‘

S

B

1

S

B :1 √

y x1 √yx?

B

8. ‘ uvT

17. ‘

dx

26. ‘ 2 1 QAN

A6

S

√x

S

‡

S x 2x 2 x1

9. ‘ T

18. ‘

AB

x 1

dx

B

Zadanie 2. Znajdź pola powierzchni figur ograniczonych podanymi krzywymi 1. 7 5 B 7 0, 6, 0

2. 7 3 7 0, 2, 2

3. 7 √, 7 0, 0, 4

4. 7 ||, 7 0, 2, 5

5. 7 1, 7 1, 0

6. 7 6, 7 2

7. 7 3 , 7 0, 1

8. 7 4 7 0

9. 7 √ 4, 7 0, 0

10. 7 ||, 7 1

11. 7 1, 7 0, 1, 2

12. 7 = 3, 7

XIII. Całki niewłaściwe

Zadanie 1. Zbadaj zbieżność następujących całek niewłaściwych :

‡

j

1.…

ŒN

R

B N

√\]N

8. ‘

14.… N

S

1 4

RAN

1

2.…

ŒN y

j

j

NA „

9. ‘

15. …

ŒN

B N„ANL

Aj 1 8

B

j

3.… √ T

S

=

16. ‘ QAN

10.… ŒN

†

S

√=AN

S

4.…L zst

S

B

17. …j ŒN

11.… √A\]N

S N<B

B

S

N

5. … ‡ˆ

S

‡A‡ˆ

R

j

18. …

ŒN

12.… ŒN

y

S

Aj @NLA=N<B

6. …j QA1N

√RAN

S

†

j

13.… ŒN

L

S

7. ‘

mn]N

B =

XIV. Równania różniczkowe

Zadanie 1. Rozwiąż równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych 27

1

1. 7“

5. 7“ uvT

7

2.

7

7” 7 1

6.1 7 0

3. 7 1 7 1 7 0

7. 7 1 1 7 0

37 7

4. 7“

8. 7“ 71 7

Zadanie 2. Rozwiąż równania różniczkowe jednorodne

1.y“ 2xy 0

3. y“cosx ysinx 0

2. y“

•

4. y“ ytgx 0

B<L –—˜™

Zadanie 3. Rozwiąż równania różniczkowe jednorodne

7“ N

1. /y“x yx 0a

y0 2

3. š

A=›a

70 1

2. /x 1 y“ 2y 0a

y2 2

4. /7“ 27 0a

71 2

Literatura

1. Joanna Kujawa- „Zbiór zadań z matematyki dla szkół średnich”

2. Krzysztof Kłoczkow- „Zbiór zadań z matematyki dla licealistów kl. I-III.”

3. Krzysztof Kłoczkow- „Analiza matematyczna dla licealistów.”

4. Marek Lassak- „Zadania z analizy matematycznej”

5. Alicja Cewe i Halina Nahorska „Matura z matematyki od roku 2010 ”