studia niestacjonarne PODSTAWY AUTOMATYKI – ĆWICZENIA
lista zadań nr 1
Transformata Laplace’a
1. Dana jest odpowiedź na impuls Diraca (funkcja wagi) g(t) . Znaleźć transmitancję operatorową G(s) .
a. g(t) = (− 2 3
e− t + 3 4
e− t ) (
1 t)
c. g(t) = (2te−t + 3 2
e− t ) (
1 t)
b. g(t) = (3 3
e− t + 2 2
e− t + e−t ) (
1 t)
d. g(t) = {e−t [t + e−t (2t + 3e−t )]} (
1 t)
2. Dana jest odpowiedź układu na skok jednostkowy y (t) . Znaleźć transmitancję operatorową 1
G(s) .
a. y (t) =
+ e− t − e−t 1 t
c. y (t) = ( 2
e− t + t − e−t 1 t
1
(
)
1
) ( )
1
(2 2 2 4 ) ( )
b. y (t) = (2
2
te− t 1 t
1
) ( )
3. Dana jest transmitancja operatorowa obiektu G(s) . Wyznaczyć odpowiedź układu na impuls Diraca (funkcję wagi) g(t) .
5s + 2
2s +1
a. G(s) =
c. G(s) =
2
s + 6s + 8
s (s + )
1
2s + 3
s +1
b. G(s) =
d. G(s) =
2
s + 9s + 20
(s + )2
2
4. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s) oraz odpowiedź układu na impuls Diraca (funkcję wagi) g(t) .
a. 2 y ′ +12 y′ +10 y = u
2 ′ + u
8
b. 2 y ′ +12 y′ +16 y = u
8 ′ + u
4
c. 3y ′ +15y′ +12y = u
9 ′ + u
6
5. Obiekt opisany jest równaniem różniczkowym. Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s) oraz odpowiedź układu na skok jednostkowy y (t) .
1
a. y ′ + 4 y′ + 3y = u′ + u
b. y ′′ + 5y ′ + 6 y′ = u
2 ′ + u
6 ′
c. y ′ + 5y′ + 4 y = u ′ + u′ + u 1
PODSTAWY AUTOMATYKI – ĆWICZENIA lista zadań nr 2
Charakterystyki częstotliwościowe
1. Wykreślić charakterystykę amplitudowo – fazową (Nyquista) obiektów opisanych transmitancją operatorową G(s) :
a. G(s) = 5
2
c. G(s) =
s
1
1
b. G(s) =
d. G(s) =
s + 2
2
s + 3s + 2
2. Wykreślić uproszczone logarytmiczne charakterystyki modułu i argumentu (Bodego) obiektów opisanych transmitancją operatorową G(s) : s +1
10(10s + )
1
a. G(s) =
d. G(s) =
( 1
,
0 s + )2
1
( 1
,
0 s +
)
1
,
0 (100s + )
1
1
s
b. G(s) =
e. G(s) =
(s + )2
10
(s + )2
1
10(100s + )
1
100
c. G(s) =
f. G(s) =
(s +
)
1
,
0 ( 1
,
0 s + )
1
s(s +10)
3. Wyznaczyć transmitancję operatorową G(s) dla układów, których uproszczone logarytmiczne charakterystyki modułu dane są na rysunkach: a.
b.
L(ω) [dB]
L(ω) [dB]
60
60
40
40
20
20
10-3 10-2 10-1
100
101
102
103 ω [rad/s]
10-3 10-2 10-1
100
101
102
103 ω [rad/s]
c.
d.
L(ω) [dB]
L(ω) [dB]
60
60
40
40
20
20
104
10-2 10-1
100
101
102
103
ω [rad/s]
10-2 10-1
100
101
102
103 ω [rad/s]
2
PODSTAWY AUTOMATYKI – ĆWICZENIA lista zadań nr 3
Algebra schematów blokowych. Uchyby ustalone 1. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układów jak na rysunkach: a.
U(s)
Y(s)
G
G
1
3
G
G
2
4
b.
−5
se s
2
s +12s +1
–
c.
G1
G3
G2
–
G4
d.
G
G
1
2
–
G3
G4
3
G1
G
G
G
2
3
4
G5
2. Dana jest transmitancja układu otwartego G (s) . Obliczyć wartość uchybów położenia, 12
prędkości i przyspieszenia:
a. G (s) = 4
2
12
s + s + 5
,
0
g. G (s) =
12
3
2
s + 2s
5
4
2
4s + 3s + 2s + 5
,
0
b. G (s) =
12
h. G (s) =
s
12
4
3
s + 2s
s + 5
4
c.
G (s) =
G
( s ) =
12
12
2
i.
s
(s + )3
1
5
(s +
)2
d. G (s) =
1
,
0
12
j.
G (s) =
s + 5
12
(s2 + s)(2s2 + s)
2
2
1
e. G (s) =
k. G (s) =
+
12
2
s + s + 3
12
s +1
2
s + 2s +1
2
2
1
f. G (s) =
l.
G (s) =
+
12
s3 + s 2 + 3s
12
s2
s 2 + 2s
4
PODSTAWY AUTOMATYKI – ĆWICZENIA lista zadań nr 4
Stabilność
1. Korzystając z kryterium Routh’a zbadać stabilność układu o transmitancji podanej poniżej.
Określić liczbę biegunów w prawej i w lewej półpłaszczyźnie.
10s +1
s +1
a. G(s) =
d. G(s) =
5 4
s + 4 3
s + 3 2
s + 2s +1
4
s + 2 3
s + 3 2
s + 2s +1
1
2
b. G(s) =
e. G(s) =
4
s + 4 3
s + 3 2
s + 2s +1
5
,
0
3
2
s + s + s + 4
s + 8
s − 4
c. G(s) =
f. G(s) =
5 4
s + 4 3
s + 3 2
s + 2s + 5
1
,
0
3
s +10 2
s +10s + 1
,
0
2. Dana jest transmitancja G (s) układu otwartego. Wykorzystując kryterium Nyquista 12
zbadać dla jakiego k układ zamknięty jest stabilny.
k
2k
a. G (s) =
c.
G (s) =
12
(
12
s + 4)3
(s + 2) (s + 4) (s + 6)
k
35k
b. G (s) =
d. G (s) =
12
(
12
s + )
1 2 (s + 3)
( 2
s + 7s +12)(s + )
1
3. Dana jest transmitancja G (s) układu otwartego. Obliczyć zapas fazy i wzmocnienia dla 12
układu zamkniętego.
4
32
a. G (s) =
c.
G (s) =
12
(
12
s + )3
1
( 2
s + 8s + 16)(s + 4)
10
3
b. G (s) =
d. G (s) =
12
(
s + )
1 (s + 2)(s + 3)
12
2 2
s +10s +12
5