METODY OBLICZENIOWE
Zagadnienie własne macierzy
12 6
6
−
Zadanie: oblicz wartości i wektory własne macierzy A = 6
16
2
6
−
2
16
1. Podejście klasyczne.
a) Zbuduj i rozwiąż równanie charakterystyczne det (A − αI) = 0 , gdzie I oznacza macierz jednostkową, a α jest poszukiwaną wartością własną.
b) Rozwiąż z pomocą komendy LinearSolve równanie macierzowe (A − α I u = 0 , w i
)
którym α i jest jedną z wyznaczonych wartości własnych, a u − wektorem własnym.
c) Rozwiąż z pomocą komendy GenerateEquations układ równań jednorodnych, odpowiadający równaniu (A − α I u = 0 . Porównaj wyniki uzyskane w p. b) i c).
i
)
d) Powtórz obliczenia z p. b) i c) dla każdej wartości własnej wyznaczonej w p. a).
2. Użyj komendy Eigenvectors do wyznaczenia wartości i wektorów własnych macierzy A.
Porównaj otrzymany rezultat z wynikami uzyskanymi w podejściu klasycznym.
3. Zastosuj metodę potęgową do wyznaczenia wszystkich par własnych macierzy A.
a) Wyznacz największą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie związków:
v k
w =
, v
= Aw ,
T
α ≈ w . v , u ≈ v k
k 1
+
k
k
k 1
+
k 1
+
v k 2
b) Wyznacz najmniejszą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie związków:
v
−
1
k
1
w =
, v
= A w , α ≈
, u ≈ v
k
k 1
+
k
T
k 1
+
v
w . v
k
k
k 1
2
+
c) Wyznacz pośrednią wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie związków:
v
−
1
k
1
w =
, v
= (A − µI) w , α ≈
+ µ, u ≈ v
k
k 1
+
k
T
k 1
+
v
w . v
k
k
k 1
2
+
Uwaga: przyjąć µ = 15.
Porównaj otrzymane rezultaty z wynikami uzyskanymi z pomocą komendy Eigenvectors.