1. Wykonać dzia lania na liczbach zespolonych, wynik przedstawić w postaci a + ib, gdzie a, b ∈ R: (1 + i)7 − 1
a)
(1 + i)−1,
b)
(1 − i)4 − 1
√
2. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbe 2 + 2 3i.
,
3. Udowodnić równości: a)
|z + iw|2 + |w + iz|2 = 2(|z|2 + |w|2) b)
|z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2) dla z, w ∈ C.
4. Obliczyć (wynik przedstawić w postaci a + ib, a, b ∈ R) : (1 − i)3
√
.
(i +
3)2
5. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki stopnia 4 i wszystkie pierwiastki stopnia 6 z liczby 1.
6. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki stopnia 3 z liczby −i.
7. Wyznaczyć pierwiastki:
√
s
1 + i
q
√
a)
3 −27
b)
3
√
c)
(1 −
3i)4.
1 +
3i
8. Rozwiazać w dziedzinie zespolonej równania
,
a)
(1 − i)4z4 = −1
b)
(2 + 3i)z + ¯
zi = 1 + i
c)
1 − z2 + z4 − z6 = 0
d)
z2 + 2iz + 3 = 0
e)
z2 + 2z + i = 0.
9. Niech z0 bedzie pierwiastkiem wielomianu W (z) o wspó lczynnikach rzeczywistych. Udowodnić,
,
że ¯
z0 jest także pierwiastkiem wielomianu W (z).
10. Znaleźć pozosta le pierwiastki wielomianu w(z) = z4 − 4z3 + 4z2 + 4z − 5 wiedzac,
,
że z0 = 2 − i jest pierwiastkiem tego wielomianu.
11. Obliczyć
n
X eikθ.
k=0
Nastepnie wyprowadzić wzór
,
n
X
sin((n + 1 )θ)
1 + 2
cos(kθ) =
2
dla
θ 6= 2mπ (m ∈ Z).
sin( 1 θ)
k=1
2
12. Zaznaczyć na p laszczyźnie zespolonej zbiory punktów spe lniajaych podane niżej równania badź
,
,
nierówności
a) |z + 1| = 3
b) Re(iz + 1) < Im(iz + 1) c) |z − i| = |z + i|
d) |z − i| < |z − 1|
e) |z − 1| < 1
oraz
|z| = |z − 2|.