Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
R - rata dla i-tej transzy i
100000 = R a
1 25
100000 − R = R a
2
22
.................
100000 − ( i − )
1 R = R a
i
∈{
}
6
,...,
1
25−
i
3( i− )
1
zadłuŜenie po 20 latach:
R a + R a + ... + R a = 200000
1 5
2
5
6
5
6
6
L =
100000
( i
)
1 R
100000
( i
)
1 R
a
R
a
a
5 å
i =
5 å
− −
= 5 å
− −
=
28−3 i
a
i=1
i=1
25− (
3 i− )
1
æ 1 ö
1 − ç
÷
è 05
,
1
ø
05
,
0
æ
5
1 ö
1 − ç
÷
è 0
,
1 5 ø
(100000 − ( i − )1 R) 28−3 i
=
⋅ 0
,
0
å
0
,
1 5
5
=
2 −
0
,
0 5
0
,
1 5 8 3 i −1
é
5 ù
æ 1 ö é100000 ⋅ 0
,
1 525
1
( 00000 − R 0
,
1
)
522
1
( 00000 −
19
= ê
R
1 − ç
÷ ú
2
0
,
1
)
5
ê
+
+
ê
è 0
,
1 5 ø ú
ë
ûë
0
,
1 525 −1
0
,
1 522 −1
0
,
1 519 − 1
1
( 00000 − 3 R ,
1
) 0516
1
( 00000 − 4 R ,
1
) 0513
1
( 00000 − 5 R ,
1
) 0510 ù
+
+
+
ú = 200000
,
1 0516 −1
,
1 0513 −1
,
1 0510 −1
û
100000 ⋅ 0
,
1 525
200000
100000 ⋅ 0
,
1 522
100000 ⋅
19
A =
−
+
+
0
,
1 5
+
0
,
1 525 − 1
æ
5
22
19
1 ö
0
,
1 5
−1
0
,
1 5
−1
1 − ç
÷
è 0
,
1 5 ø
100000 ⋅ ,
1 0516
100000 ⋅ ,
1 0513
100000 ⋅ ,
1 0510
+
+
+
= RB, gdzie
,
1 0516 −1
,
1 0513 −1
,
1 0510 −1
,
1 0522
2 ⋅ ,
1 0519
3 ⋅ ,
1 0516
4 ⋅ ,
1 0513
5 ⋅ ,
1 0510
B =
+
+
+
+
,
1 0522 −1
,
1 0519 −1
,
1 0516 −1
,
1 0513 −1
,
1 0510 −1
= A
R
≈ 6028 ≈ 6000
B
Zadanie 2
x
- tyle procent płaci A do instytucji A
x
- tyle procent płaci B do instytucji B
F – instytucja
zyskA = WIBOR + 1
,
0 5 − 1
( 9 + WIBOR − x ) x
A
= A −18 8
, 5
zyskB = 2 ,
1 25 − ( x + WIBOR + 9
,
0
− WIBOR = 20 3
, 5 − x
B
)
B
zyskF = x − x B
A
ì x
x
x
B −
A =
5
,
0
ì A = 19 3
, 5
í
→ í
î x
x
x
A − 18 8
, 5 = 20 3
, 5 − B
î B = 19 8
, 5
ODP = x
B +
9
,
0
= 19 8
, 5 + 9
,
0
= 20 7
, 5
Zadanie 3
R = 50000 ⋅ 0
,
1 6
1
R = ( 7
,
0 5 ⋅ 50000 ⋅ 0
,
1 6 + 2000 0
,
1
)
6
2
R =
R +
=
⋅
+
⋅
⋅
+
3
( 7,
0 5
2000
2
) 0,
1 6
( 7,
0 52 0
,
1 62 50000
2000
7
,
0 5
0
,
1 6
2000) 0
,
1 6
R =
R +
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
4
( 7,
0 5
2000
3
) 0,
1 6
( 7,
0 53 0
,
1 63 50000
2000
7
,
0 52 0
,
1 62
2000
7
,
0 5
0
,
1 6
2000) 0
,
1 6
R =
7
,
0 5 R + 2000 0
,
1 6 =
7
,
0 5
0
,
1 6 ⋅ 50000 + 2000 ⋅ 7
,
0 5
0
,
1 6 + 2000 ⋅ 7
,
0 5
0
,
1 6
5
(
4
)
( 4 4
3
3
2
2
+ 2000 ⋅ 7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6 + 2000) 0
,
1 6
.................................
R
i = [
i−1
i−
7
,
0 5
0
,
1 6 1 ⋅ 50000 + 200 (
0 1 + 7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6 + ... +
i−2
i−
7
,
0 5
0
,
1 6 2 )] 0
,
1 6 =
é
i− ù
i−
i−
−
⋅
1
1
1 ( ,
0 75 ,
1 06) 1
= ê ,
0 75
,
1 06
⋅50000 + 2000
ú ,
1 06
ê
1 − ,
0 75 ⋅ ,
1 06
ë
úû
25
25 é
i 1 ù
i−1
i−1
1 − ( ,
0 75 ⋅ ,
1 06) −
ODP = ,
0 2 å
5
R
i =
,
0 25 ⋅ ,
1 06å ê50000 ⋅ ,
0 75
,
1 06
+ 2000
ú =
i=
1
,
0 75 ,
1 06
9
i=9 ê
ë
−
⋅
úû
é
17
æ
17 ö
8 1 −
7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6
2000
8 1 −
7
,
0 5 ⋅
= ,
0 25 ⋅ 0
,
1 6ê5000 (
0
7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6)
(
)
ç
+
17 − ( 7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6)
(
0
,
1 6)
ù
÷ú ≈
ê
ç
÷
ë
1 − 7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6
1 − 7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6 è
1 − 7
,
0 5 ⋅ 0
,
1 6 øúû
≈ 52084 ≈ 52080
Zadanie 4
Dla i-tego scenariusza
i
PS = 1000 ⋅ 8
,
0 ma R
i
−
1
[x ( )1
,
0
0
,
0 3 0
; ]
i
PS = 1200 ⋅ 8
,
0 ma R
i
−
2
[x ,1
(
)
2
0
,
0 3 0
; ]
R (
)
1
,
0
= 0
,
0 5 ⋅ 3
,
0 + 0
,
0 6 ⋅ 3
,
0 + 1
,
0 ⋅ ,
0 4 =
0
,
0 73
1
R
,
1
(
)
2 =
(
3
,
0
0
,
0 7 + 0
,
0
)
4 + ,
0 4 ⋅ 1
,
0 2 =
0
,
0 81
1
R (
)
1
,
0
=
(
3
,
0
1
,
0 2 + ,
0 2 )
3 + ,
0 4 ⋅ 0
,
0 15 = 1
,
0 11
2
R
,
1
(
)
2 =
(
3
,
0
1
,
0 + 1
,
0 7) + ,
0 4 ⋅ 0
,
0 2 =
0
,
0 89
2
R (
)
1
,
0
=
(
3
,
0
1
,
0 3 + 1
,
0
)
8 + ,
0 4 ⋅ 1
,
0 = 1
,
0 33
3
R
,
1
(
)
2 =
(
3
,
0
0
,
0 8 + 1
,
0
)
4 + ,
0 4 ⋅ 0
,
0 2 =
0
,
0 74
3
R (
)
1
,
0
=
(
3
,
0
0
,
0 3 + 1
,
0
)
2 + ,
0 4 ⋅ 0
,
0 2 =
0
,
0 53
4
,
1
(
)
2 =
(
3
,
0
0
,
0 1 + 0
,
0
)
8 + ,
0 4 ⋅ 0
,
0 5 =
0
,
0 47
4
1
PS = 800 ⋅ ,
0 043 = 3 ,
4 4
1
1
PS = 960 ⋅ ,
0 051 = 48 9
, 6
2
2
PS = 800 ⋅ ,
0 081 = 64 8
,
1
2
PS = 960 ⋅ ,
0 059 = 5 ,
6 64
2
3
PS = 800 ⋅ 1
,
0 03 = 8 ,
2 4
1
3
PS = 960 ⋅ ,
0 044 = 4 ,
2 24
2
4
PS = 800 ⋅ ,
0 023 = 1 ,
8 4
1
4
PS = 960 ⋅ ,
0 017 = 16 3
, 2
2
4
i
i
ODP =
PS
PS
,
0 2 å
æ 3 ,
4 4
64 8
,
8 ,
2 4 1 ,
8 4
48 9
, 6
56 6
, 4
4 ,
2 24 16 3
, 2
1
2
+
+
+
+
+
+
ö
5
+
= ,
0 25
+
≈ 84 8
, 4
2
çç
2
÷÷
i=
0
,
1 5
0
,
1 5
0
,
1 5
1
è
0
,
1 5
ø
Zadanie 5
Dygresje:
I = v + v
2 2 + ... + nvn
2
3
+
Iv = v + v
2
+ ... + nvn 1
+
a
1
2
+1
− nvn
I 1
( − v) = v + v + ... + vn − nvn
→ I
n
=
1 − v
I = 16 v + 17 v 2 + ... + 30 v 15
Iv = 16 v 2 + 17 v 3 + ... + 30 v 16
a
+1 v
5 − 30 v 16
I 1
( − v) = 16 v + v 2 + ... + v 15 − 30 v 16 → I = 15
1 − v
21
a
− 20 v
16
16
a
−15 v
a
+15 v − 30 v
20
20
0
,
0 8
+ 20 v
15
15
15
+ 2 v
1 − v
−
−
DA =
1 v
1 v
DP =
20
0
,
0 8 a
+ v
15
a
+ 2 v a
20
15
15
DP − DA ≈
5
,
2
Zadanie 6
Butterfly oznacza, Ŝe:
Kupujemy 1 opcję po cenie X
1
Wystawiamy 2 opcje po cenie X
2
Kupujemy 1 opcję po cenie X
3
X < X < X
1
2
3
dla S < X 0
1
dla S ∈ [ X ; X S − X
1
2 )
1
dla S ∈ [ X ; X
2
2
2
2
3 )
S − X 1 − ( S − X 2 ) = X 2 − X 1 − S
dla S ∈ [ X ;∞ S − X − S − X
+ S − X = X − X −
3
)
1
(2 2 2 )
2
1
3
2
3
z powyŜszego i z obrazka wynika: dla S = X zaczyna maleć czyli X = 120 -
opcja 2
2
2
dla S = X zaczyna rosnąć czyli X = 100 -
opcja 1
1
1
oraz 2 X − X − X = −10 → 2 ⋅120 − X −100 = 1
− 0 → X = 150
-
opcja 3
2
3
1
3
3
P(i) – cena opcji nr i
−
P = P − S + Xe RT , gdzie P
C
P
- cena opcji sprzedaŜy
P
P
- cena opcji kupna
C
S – cena instrumentu bazowego
X – cena wykonania
R – stopa wolna od ryzyka
−0,05
−0,05
3
,
1 = P )
1
( −120 + 100 e
→ P )
1
(
= 121 3
, −100 e
−0,05
−0,05
,
6 7 = P(2) −120 + 120 e
→ P(2) = 12 ,
6 7 −120 e
0
− ,05
0
− ,05
25 5
, = P )
3
(
−120 +150 e
→ P )
3
(
= 145 5
, −150 e
ODP = P )
1
( − 2 P(2) + P )
3
(
= −10 0
− ,05
e
+1 ,
3 4 ≈ 9
,
3
Zadanie 7
DL(8) – dług po spłacie 8 raty
DL(7) – dług po spłacie 7 raty
Kapitał spłacony w 8 racie = DL(7)-DL(8) ODP=18-DL(7)+DL(8)
18 – 8 rata
2
8
DL(7) = 18 v + 19 v + ... + 25 v 2
7
DL )
8
(
= 19 v + 20 v + ... + 25 v ODP = 18 − (18 v +
2
19 v + ... +
8
25 v −19 v −
2
20 v − ... −
7
25 v ) =
= 18 − (
2
7
8
− v − v − ... − v + 25 v ) 8
8
= 18 + a − 25 v = 17 + a&& − 25 v 7
8
Zadanie 8
2
n
v + v + ... + v dura =
n
1 2
1 n
v +
v + ... +
v
2
n
2
2
2 n
v + 2 v + ... + n v durb =
n
2
n
v + v
2
+ ... + nv
dura ≤
= a
n
n
&
&
v
n 2 an
durb ≤
= n 2 a
n
n
&
&
v
stąd
D ≤
n 2
1 +
a
n
( ) n&&
dura ≥ an
n
= 1
an
+
a
1 − v
a − nvn 1
durb
n
≥
=
a b
o Ia
n
=
n
n
n
Ia
−
+1
1 −
n
a
nv n
v
n
1
1
i
1 − v
1 − v
≥
=
=
≥
→ durb ≥ 1
( − v 2
) a
n 1
n
a −
+
nv
a
1 − v
v 1 − v
1
n
n
( n)
n
n
czyli:
1 + 1
( − v 2
) a ≤ D ≤ 1 + n 2 a n
n
(
) n&&
Zadanie 9
p
- prawdopodobieństwo hossy
1
p
- prawdopodobieństwo bessy
2
wtedy:
4 p
p + 2 p
1 + p 2
1
2 = ,
1 4
1 + r
1 + r
ì4 p
p
r
1 +
2 =
1
(
1
,
2
+ )
í
î p
p
r
1 + 2
2 = ,
1
1
(
4 + )
Z tego:
p = ,
0
1
(
4 + r)
1
p =
1
(
1
,
2
+ r) −
1
(
6
,
1
+ r) =
1
(
5
,
0
+ r)
2
1
p + p = 1 → 9
,
0
1
( + r) = 1 → r =
1
2
9
Zadanie 10
w(i) – numery węzłów
c(i) – cena opcji w węźle i
z braku arbitraŜu mamy:
ì187 5
, p
112 5
, p
150 e
p
2 e
5
,
1
1 +
2 =
0,07
ïì 1 =
0,07 −
í
→ í
î p
p
1
1 +
2 =
ïî p
5
,
2
2 e
2 =
− 0,07
wyceniamy od prawej strony:
c(8)=c(9)=c(10)=0
c(11)=160-105,46875=54,53125
c(12)=0
c(13)=54,53125
c(14)=54,53125
c(15)=96,711875
c(4)=0
0
− ,07
c )
5
(
= p ⋅ c 1
( )
1 e
2
0
− ,07
c(6) = p c 1
( )
3 e
2
c(7) = [ p c 1
( 4)
p c 1
(
)
5
−
+
e
1
2
] 0,07
0
− ,07
c(2) = c )
5
(
p e
2
c )
3
(
= [ p c )
5
(
p c(7) −
+
e
1
2
] 0,07
ODP = c )
1
(
= [ p c(2) p c )
3
(
e
p p c )
5
(
p p c )
5
(
p c(7) e
1
+ 2
] −0,07 = [ 1 2 + 1 2 + 22 ] −0,0 ⋅72 =
= [
−0,07
p p p c 1
( )
1 e
p p p c 1
( )
1 e
p p c 1
( 4) e
p p c 1
( )
5 e
e
1
2
2
+
−0,07
1
2
2
+ 2
−0,07
2
1
+ 2
−0,07
2
2
] −0,0 ⋅72 =
= [2
2
p p c 1
( )
1
2
+ p p c 1
( 4)
3
+ p c 1
( )
5
− ⋅
e
≈
1
2
1
2
2
] 30,07 20