Moment bezwładności.
6.1. Masy punktowe m są umieszczone w wierzchołkach kwadratu o boku a. Oblicz moment bezwładności względem osi obrotu prostopadłej do płaszczyzny w jakiej leżą te masy i przechodzącej przez: a) środek kwadratu
b) oś przechodzi przez jedną z mas
c) oś obrotu jest za kwadratem w odległości f od środka kwadratu 6.2. Masy punktowe m są umieszczone w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a. Oblicz moment bezwładności względem osi obrotu:
a) prostopadłej do płaszczyzny w jakiej leżą te masy i przechodzącej przez środek trójkąta, b) prostopadłej do płaszczyzny w jakiej leżą te masy i przechodzącej przez wierzchołek trójkąta, c) leżącej w płaszczyźnie wyznaczonej przez masy i przechodzącej przez wierzchołek i środek przeciwległego boku trójkąta.
6.3. Wyprowadź wzór na moment bezwładności:
a) obręczy o masie M i promieniu r, względem prostej przechodzącej przez jej środek i prostopadłej do płaszczyzny obręczy;
b) jednorodnego pręta o masie M i długości l względem osi obrotu prostopadłej do pręta i przechodzącej przez środek pręta;
c) jednorodnego pręta o masie M i długości l względem osi obrotu prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jeden z końców pręta;
d) krążka o masie M i promieniu R względem osi prostopadłej do krążka i przechodzącej przez jego środek;
e) walca o masie M i promieniu podstawy R względem osi przechodzącej przez jego środek symetrii; f) *trójkąta o podstawie a, wysokości h i gęstości powierzchniowej σ względem podstawy jako osi obrotu; g) *trójkąta o podstawie a, wysokości h i gęstości powierzchniowej σ. Oś obrotu jest równoległa do boku a i przechodzi przez przeciwległy wierzchołek trójkąta; h) *sfery o masie m i promieniu R, względem prostej przechodzącej przez jej środek; i) * kuli o masie m i promieniu R, względem prostej przechodzącej przez jej środek .
Twierdzenie Steinera
6.4. Walec o średnicy 12 cm i masie 3 kg leży powierzchnią boczną na płaszczyźnie poziomej. Znaleźć moment bezwładności walca względem osi, przechodzącej wzdłuż linii jego styku z powierzchnią.
6.5. Znaleźć moment bezwładności wydrążonego walca o masie m = 5 kg i promieniu zewnętrznym R = 0,02 m i wewnętrznym r = 0,01 m względem osi równoległej do jego osi symetrii i oddalonej od niej o a = 10 cm.
6.6. Obliczyć moment bezwładności cienkiej obręczy o promieniu r = 0,5 m i masie 3 kg względem osi przechodzącej przez koniec średnicy prostopadle do powierzchni obręczy.
6.7. Korzystając z wyniku zadania 6.3i) obliczyć moment bezwładności wydrążonej kuli o masie m = 0,5 kg obracającej się względem stycznej do powierzchni kuli. Zewnętrzny promień kuli R = 0,02 m, wewnętrzny r = 0,01 m.
6.8. Oblicz moment bezwładności przedstawionych na rysunku brył względem osi przechodzących przez punkty zaznaczony strzałką i prostopadłych do powierzchni kartki. Bryła obraca się w płaszczyźnie kartki.
a)
b)
M – mas
a pręta o
długości l
c) m –masa jednego krążka
m – masa krążka
1/2 l
1/2 l
1/2 l
1/2 l
1/2 l
R
R R
R
R
1/2 l
Dynamika bryły sztywnej
6.9. Oblicz jakiego przyspieszenia kątowego dozna wiatrak złożony z trzech prętów o długości l i masie m do końca których przymocowano krążki o promieniu R i masie M, jeśli obraca się w płaszczyźnie kartki względem swojego środka masy pod wpływem momentu siły T.
6.10. Spoczywające ciało wprowadza się w ruch obrotowy wokół poziomej osi przy pomocy opuszczającego się ciężarka. Ciężarek przyczepiony jest do końca sznura, nawiniętego na oś. Znaleźć moment bezwładności ciała jeżeli ciężarek o masie m = 2 kg opuścił się o odległość h = 1 m w czasie t = 12 s. Promień osi r = 8 mm. Siłę tarcia zaniedbać.
6.11. Znaleźć energię kinetyczną obracającego się na tokarce pustego walca stalowego o długości l = 400 mm.
Wewnętrzny i zewnętrzny promień walca: r = 30 mm, R = 50 mm. Częstotliwość ruchu n = 120 obr/min.