1. Określenie granicy funkcji w punkcie x0
Niech będzie dana funkcja
f : A ∋ x → y = f (x) ∈ R , A ⊂ R
_____________________________________________
Definicja granicy funkcji ( wg Heinego):
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f : A → R w punkcie x ∈ R, co 0
zapisujemy
lim f (x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy
x → x 0
1) dla kaŜdego ciągu (x
≠
n) takiego, Ŝe xn ∈ A, xn x0 dla n ∈ N i lim xn = x0
n →∞
2) spełniony jest warunek lim f (xn) = g
n→∞
(tzn. ciąg wartości funkcji f ma granicę g).
_____________________________________________
Uwagi.
1. Punkt x0 moŜe naleŜeć do dziedziny funkcji f albo moŜe nie naleŜeć do jej dziedziny.
2. Wyrazy dowolnego ciągu (xn) muszą naleŜeć do dziedziny funkcji f oraz do sąsiedztwa punktu x0 , tzn. do zbioru (x0 - δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ ) , gdzie δ > 0.
3. Zamiast zapisu lim f (x) = g jest stosowany zapis x→ x 0
f (x)
→ g.
x→ x 0
26
Weźmy pod uwagę funkcję
2
x − 4
x → y = f (x) =
.
x − 2
Jej dziedziną jest zbiór liczb A = R \ {2 }.
• Niech x0 = 2 ∉ A.
Dla dowolnego ciągu (x
∈
≠
n) takiego, Ŝe xn
A i xn 2 i lim xn = 2
n→∞
otrzymujemy
2
x
( x
x
n
− 2)( n + 2)
n
− 4
f (xn) =
=
= xn + 2
→ 4
x
x
x →2
n
n − 2
n − 2
A więc dla dowolnego ciągu (x
∈
≠
n) takiego, Ŝe xn
A i xn 2 i lim x
n = 2
n→∞
będzie lim f (xn) = 4
n→∞
2
x − 4
Zatem lim f (x) = lim
= 4 .
x→2
x→2 x − 2
• Niech x0 = -3 ∈ A.
Dla dowolnego ciągu (x
∈
≠
n) takiego, Ŝe xn
A i xn -3 i lim xn = -3
n→∞
lim f (xn) = -1
n→∞
2
x − 4
A więc lim f (x) = lim
= −1.
x→ 3
−
x→ 3
− x − 2
27
Niech f : A ∋ x → y = f (x) ∈ R , A ⊂ R.
JeŜeli lim f (x) = g, to mogą wystąpić przypadki: x→ x 0
1) g ∈ R (g jest liczbą rzeczywistą skończoną), 2) g = - ∞ ,
3) g = + ∞ .
JeŜeli g = - ∞ lub g = + ∞ , to mówimy, Ŝe funkcja f ma w punkcie x0
granicę niewłaściwą.
Przykład 1.2
1
Niech będzie dana funkcja x → y = f (x) =
.
2
x
Dziedziną tej funkcji jest zbiór A = (- ∞ , 0 ) ∪ (0, + ∞ ).
• Niech x0 = 0.
Biorąc pod uwagę dowolny ciąg (x
∈
≠
n) taki, Ŝe xn
A i xn 0 i lim x
n = 0
n→∞
otrzymujemy
1
1
1
lim f (xn) = lim
=
= = ∞ .
n→∞
n→∞
2
x
0 * 0
0
n
Zatem lim f (x) = ∞ .
x→0
28
_____________________________________________
Definicja.
Liczbę g nazywamy granicą prawostronną funkcji f : A → R w punkcie x0
(granicą lewostronną funkcji f: A → R w punkcie x0 ), co zapisujemy
lim f (x) = g
( lim f (x) =g )
x→ x
x→
0 +
x 0−
wtedy i tylko wtedy, gdy
1) dla kaŜdego ciągu (xn) takiego, Ŝe
x ∈
>
∈
<
lim x = x
n
A i xn x0 dla n ∈ N (xn A i xn x0 dla n ∈ N), n
0
n→∞
spełniony jest warunek
2) lim f (xn) = g .
n→∞
_____________________________________________
Przykłady
| x |
| x |
1)
lim
= 1,
lim
= −1 ;
+
−
x→0
x
x→0
x
1
1
2)
lim
= +∞ ,
lim
= −∞ ;
=
−
x→1
x −1
x→1
x −1
3)
lim tg x = −∞ ,
lim tg x = +∞ ;
+
∏
−
∏
x→
x→
2
2
1
1
4)
lim
= +∞ ,
lim
= +∞ .
=
−
x→
2
0
x
x→
2
0
x
29
3. Granice funkcji w punktach niewłaściwych (x0 = - ∞ lub x0 = + ∞ ) _____________________________________________
Niech f : A ∋ x → y = f (x) ∈ R, gdzie A = (- ∞ , a ) lub A = (- ∞ , a ].
Definicje.
Funkcja f : A → R ma w x0 = - ∞ granicę g∈ R, co zapisujemy lim f(x)=g, x→−∞
( granicę - ∞ , co zapisujemy lim f (x) = - ∞ ) ( granicę + ∞ , co zapisujemy x→−∞
lim f (x) = + ∞ ) wtedy i tylko wtedy, gdy
x→−∞
dla kaŜdego ciągu (x
∈
n) takiego, Ŝe xn
A i lim xn = - ∞ spełniony jest
n→∞
warunek
lim f (xn) = g ( lim f (xn) = - ∞ )
( lim f (xn) = + ∞ ).
n→∞
n→∞
n→∞
_____________________________________________
Przykłady
1
1
3.1) x → y = f (x) = 3 - ,
lim (3 -
) = 3;
x
x→−∞
x
3.2) x → y = f (x) = 2x +5,
lim (2x + 5) = - ∞ ;
x→−∞
3.3) x → y = f (x) = x2,
lim x2 = + ∞ .
x→−∞
30
_____________________________________________
Niech f : A ∋ x → y = f (x) ∈ R, gdzie A = (a , + ∞ ) lub A = [a , + ∞ ).
Definicje.
Funkcja f : A → R ma w x0 = + ∞ granicę g ∈ R, co zapisujemy lim f (x)=g, x→∞
(granicę - ∞ , co zapisujemy lim f (x) = - ∞ ), (granicę + ∞ , co zapisujemy x→∞
lim f (x) = + ∞ ))
x→∞
wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaŜdego ciągu (xn) takiego, Ŝe x ∈
n
A i lim xn = + ∞
n→∞
spełniony jest warunek
lim f (xn) = g
n→∞
( lim f (xn) = - ∞ )
n→∞
( lim f (xn) = + ∞ ).
n→∞
_____________________________________________
Przykłady
1
1
3.4) x → y = f (x) = ,
lim
= 0;
x
x→+∞ x
3.5) x → y = f (x) = -3x+1,
lim ( -3x+1) = - ∞ ;
x→∞
3.6) x → y = f (x) = x2,
lim x2 = + ∞ .
x→∞
31
4. Twierdzenie o granicach funkcji Niech będą dane funkcje
f : A ∋ x → y = f (x)∈ R, A ⊂ R; g : B ∋ x → y = g (x)∈ R, B ⊂ R.
JeŜeli Χ = A ∩ B ≠ ∅, to moŜemy określić (skonstruować funkcję f + g , f ( x) .
f – g, f ⋅ g , a w zbiorze Χ - {x ∈ B ; g (x) = 0} takŜe g( x)
Twierdzenia.
JeŜeli istnieją lim f (x) = g1, lim g (x) = g2 , to x→ x 0
x→ x 0
4.1.
lim (f (x) + g (x)) = g1 +g2 ;
x→ x 0
4.2.
lim (f (x) - g (x)) = g1 – g2 ;
x→ x 0
4.3.
lim (f (x) ⋅ g (x) = g1 ⋅ g2 ;
x→ x 0
f ( x)
g
4.4.
lim
1
=
, o ile g2 ≠ 0 i g (x) ≠ 0 w pewnym sąsiedztwie x→ x 0 g( x)
g 2
punktu x0.
Uwagi.
• Twierdzenia te są formułowane dla x ∈
∈
∈
0
R oraz g1 R i g2 R.
• Analogicznie twierdzenia są prawdziwe w przypadku granic jednostronnych, oraz gdy x0 = - ∞ lub x0 = + ∞ , a takŜe dla g1 = - ∞
lub g1= + ∞ oraz g2 = - ∞ lub g2 = + ∞ , o ile tylko liczby g1 + g2, g1 –
g2, g1 ⋅ g2, g1 : g2 są określone w zbiorze R (nie są symbolami nieoznaczonymi).
32
1. Wyznaczyć granice (o ile istnieją)
3 x 2 + 2 x
3 x 2 + 2 x
3 x 2 + 2 x
lim
,
lim
,
lim
.
x→3
1 − x
−
+
x→1
1 − x
x→1
1 − x
2. Wyznaczyć granice
1
1
1
1
lim
,
lim
,
lim
,
lim
.
2
x→−∞ x
−
2
+
2
2
x→0
x
x→0
x
x→+∞ x
3. Wyznaczyć granice
2
x − 6 x + 8
2
x − 6 x + 8
2
x − 6 x + 8
lim
,
lim
, lim
,
2
x→2
x − 4
−
2
+
2
x→ 2
−
x − 4
x→ 2
−
x − 4
2
x − 6 x + 8
2
x − 6 x + 8
lim
,
lim
.
2
x→−∞
x − 4
2
x→+∞
x − 4
4. Wyznaczyć granice
lim x ,
lim x ,
lim x ,
lim x ,
x→−∞
x→+∞
−
+
x→0
x→0
1
1
1
1
lim
,
lim
,
lim
,
lim
.
x→−∞ x
x→+∞ x
−
+
x→0
x
x→0
x
5. Wyznaczyć granice
lim (x –1),
lim (x – 1),
lim (x – 1),
lim (x –1),
x→−∞
x→+∞
−
+
x→0
x→0
1
1
1
1
lim
,
lim
,
lim
,
lim
.
x→−∞ x − 1
x→+∞ x − 1
−
+
x→0
x −1
x→0
x −1
33