Wykład 3

3. Funkcja uŜyteczności i jej własności1

3.1. UŜyteczność kardynalna i ordynalna jako kategorie ekonomiczne

Z relacją preferencji, o której była mowa w pierwszym paragrafie, wiąŜe się ściśle pojęcie uŜyteczności oraz funkcji uŜyteczności2.

RozwaŜania nad uŜytecznością dóbr wywodzą się z filozofii utylitarystycznej (j. Bentham), w której zakładano, Ŝe człowiek dąŜy w swoich działaniach do osiągnięcia maksimum satysfakcji,

przyjemności, czy innych pozytywnych subiektywnych doznań. Źródłem owych doznań moŜe być konsumpcja dóbr. Stąd uŜyteczność potraktowano jako cechę dobra, wynikającą z jego własności, polegającą na wywoływaniu subiektywnych odczuć, które daje konsumentowi spoŜycie dobra.

UŜyteczność jest w tym rozumieniu definiowana jako zdolność towaru do zaspokojenia potrzeb konsumenta. Mimo, wydawałoby się oczywistości definicji uŜyteczności, pojawiają się trudności pomiaru tej kategorii. UŜyteczność jest bowiem nieodzownie związana z subiektywnym odczuciem konsumenta. To samo dobro moŜe być róŜnie oceniane przez róŜnych konsumentów, a ponadto temu

samemu konsumentowi moŜe przynosić róŜny poziom uŜyteczności w rozmaitych warunkach.

Odwołajmy się do klasycznych przykładów: jeŜeli jesteśmy głodni, to ta sama bułka będzie miała nieporównywalnie większą uŜyteczność niŜ w sytuacji, kiedy zjedliśmy właśnie obiad; szklanka wody dla konsumenta latem będzie miała wyŜszą uŜyteczność niŜ dla tego samego konsumenta w środku

zimy.

Początkowo uŜyteczność była traktowana przez ekonomistów jako pewien rodzaj liczbowej miary zadowolenia konsumenta z konsumpcji dóbr, co miało umoŜliwić porównania interpersonalne.

Zaproponowano nawet nazwę jednostki miary uŜyteczności -utyl. Takie podejście było właściwe dla tzw. kardynalnej teorii uŜyteczności. Koncepcja ta była krytykowana jako zbyt idealistyczna, a badania nad wyborami konsumenta doprowadziły do powstania kolejnej teorii uŜyteczności porządkowej (ordynalnej). Koncepcja ta zakłada, Ŝe konsument dokonując wyborów dóbr wyraŜa swoje preferencje,

a uŜyteczność jest zmienną wskazującą na kolejność preferencji indywidualnego konsumenta.

Zgodnie z teorią uŜyteczności kardynalnej moŜliwe jest stwierdzenie, iŜ określony koszyk towarów

ma dla konsumenta uŜyteczność trzykrotnie większą od innego koszyka. Według teorii uŜyteczności ordynalnej moŜna ustalić jedynie, iŜ dany koszyk jest dla konsumenta bardziej uŜyteczny niŜ inny. Nie moŜna jednak zmierzyć tej róŜnicy przy pomocy silnej skali pomiarowej.

1 Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań 2000, rozdział 1

2 Proponujemy przypomnieć sobie kategorię uŜyteczności z podręczników z zakresu mikroekonomii np.

B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 2001, H. R. Varian, Mikroekonomia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, lub inne

dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

3.2. Definicja funkcji uŜyteczności

Funkcja uŜyteczności stanowi liczbową charakterystykę pola preferencji, wyraŜa stopień

zadowolenia konsumenta z nabycia określonego koszyka towarów. MoŜna ją wyrazić w postaci tzw.

indykatora preferencji, który daje się szacować metodami ekonometrycznymi. Jest ona bardzo waŜna,

poniewaŜ o ile pojęcie relacji preferencji umoŜliwia uporządkowanie zbioru X, czyli przestrzeni towarów oraz znajduje zastosowanie jedynie w rozwaŜaniach teoretycznych, o tyle funkcja

uŜyteczności umoŜliwia wyraŜenie w sposób wymierny stopnia zadowolenia konsumenta

(uŜyteczności) z nabycia konkretnego koszyka towarów, a co się z tym wiąŜe, często znajduje praktyczne zastosowanie. Dlatego właśnie przedmiotem niniejszego paragrafu będzie funkcja

uŜyteczności, jej własności oraz inne związane z nią pojęcia i twierdzenia.

Określoną na przestrzeni towarów funkcję

1

u : X → R nazywamy funkcją uŜyteczności

konsumenta, jeŜeli dla dowolnej pary koszyków x, y∈X spełnia ona warunek:

u( x) ≥ u( y)

x f

⇔

y .

~

Inaczej mówiąc, funkcja uŜyteczności jest funkcją przyporządkowującą danemu koszykowi

towarów x ∈ X konkretną wartość liczbową (dodatnią, ujemną lub równą zero), wyraŜającą stopień zadowolenia konsumenta z nabycia tego właśnie koszyka, czyli tzw. uŜyteczność tego koszyka.

3.3. Przykładowe funkcje uŜyteczności

Przykłady funkcji uŜyteczności:

n

α

u( x) = a

x i , 0

α

i

< i < ,1 xi ≥ ,

0

Π i 1=

1. Funkcja multiplikatywna:

( i = ,

1 ..., n), a > 0

n

u( x) = ∑ a x β i , a > ,

0

0 < β < ,

1

i

i

i

i

i 1

=

2. Funkcja addytywna:

x ≥ 0 ( i = ,

1 ..., n)

i

n

u( x) = ∑ a ln x , a > ,

0

i

i

i

i 1

=

3. Funkcja logarytmiczna:

x > 0 ( i = ,

1 ..., n)

i

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I

n

n

u( x) = ∑ a x 1/ 2

b x x

i

i +

∑ ij i j

i=1

i, j =1

n

4. Funkcja kwadratowa:

a

b x

0 ( j

,...,

1

n)

j + ∑

ij

i >

=

i=1

B=(bij) - ujemnie określona forma kwadratowa

Przykład 3.1.

ZałóŜmy, Ŝe na rynek dostarczane są dwa konkretne dobra x , x , a koszyki towarów zawierające 1

2

te towary naleŜą do przestrzeni X ( x , x

. Konsument dokonuje wyboru pomiędzy dwoma

1

2 ) ∈ X )

koszykami: (2,5) oraz (5,5). Wiedząc, Ŝe funkcja uŜyteczności tego konsumenta jest postaci: u: ( x , x

a 2 x , określić jaka relacja preferencji zachodzi pomiędzy tymi koszykami towarów.

1

2 )

1

Rozwiązanie:

PoniewaŜ funkcja uŜyteczności została konkretnie zadana, to moŜemy określić uŜyteczność

kaŜdego z koszyków (2,5) i (5,5):

u( 5

,

2 ) = 2 × 2 = 4 oraz u( 5

,

5 ) = 2 × 5 = 1 .

0

PoniewaŜ 10 ≥ 4, stąd mamy: u(5,5) ≥ u(2,5). Z definicji u wiemy natomiast, Ŝe u( x) ≥ u( y) ⇒ x f y . Zatem ostatecznie otrzymujemy ( 5

,

5 )f( 5

,

2 ) i jest to odpowiedź na zadane

~

~

pytanie.

Funkcja uŜyteczności u wyraŜa subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków towarów. Zatem dla róŜnych konsumentów, ten sam koszyk towarów moŜe prezentować róŜną wartość uŜytkową.

Bezpośrednio z definicji funkcji uŜyteczności wynika następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.1. JeŜeli

1

u : X → R jest funkcją uŜyteczności związaną z relacją preferencji f , to prawdziwe są zdania:

~

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

(I) u( x) = u( y) ⇔ x ~ y ,

(II) u( x) > u( y)

x f

⇔

y .

Dowód (I):

Niech

1

u : X → R funkcja uŜyteczności konsumenta.

Udowodnijmy najpierw, Ŝe u( x) = u( y) ⇒ x ~ y .

ZałóŜmy zatem, Ŝe u( x) = u( y) . Stąd otrzymujemy, Ŝe równocześnie u( x) ≥ u( y) oraz u( x) ≤ u( y). Z definicji funkcji uŜyteczności wiemy, Ŝe u( x) ≥ u( y) ⇒ x f y oraz

~

u( x) ≤ u( y) ⇒ y f x . Skoro jednocześnie x f y i y f x , to z definicji indyferentnych koszyków

~

~

~

towarów otrzymujemy x ~ y . Zatem pokazaliśmy, Ŝe u( x) = u( y) ⇒ x ~ y .

PokaŜemy teraz, Ŝe implikacja w drugą stronę, czyli x ~ y ⇒ u( x) = u( y) równieŜ zachodzi.

ZałóŜmy więc, Ŝe x ~ y , to znaczy, Ŝe x f y i y f x jednocześnie. Z definicji funkcji uŜyteczności

~

~

wiemy natomiast, Ŝe x f y ⇒ u( x) ≥ u( y) oraz y f x ⇒ u( x) ≤ u( y). Zatem u( x) ≥ u( y) oraz

~

~

u( x) ≤ u( y)., co jest równowaŜne u( x) = u( y) . Ostatecznie pokazaliśmy, Ŝe (I) ■

Dowód (II):

Proponujemy zapoznać się z dowodem prawdziwości zdania (II) w E. Panek „Ekonomia

matematyczna”, Poznań 2000, str. 37.

Twierdzenie 3.2. JeŜeli

1

u : X → R jest funkcją uŜyteczności związaną z relacją preferencji, f oraz

1

1

g : R → R jest funkcją rosnącą, to superpozycja (złoŜenie funkcji) g o u teŜ jest

~

funkcją uŜyteczności konsumenta związaną z tą relacją.

(Dowód twierdzenia 3.2. w ksiąŜce: E. Panek „Ekonomia matematyczna”, Poznań 2000, str. 37-38).

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

Przykład 3.2.

Niech

n

1

u : R

f

+ → R będzie funkcją uŜyteczności związaną z relacją preferencji konsumenta

.

~

Niech funkcja

1

1

g : R → R dana będzie wzorem: g( x) = ax + b , gdzie a,b>0- dowolne stałe, a funkcja

1

1

h : R → R wzorem:

x

h( x) = ( a + )

1 . PoniewaŜ x

∀ ,

1

y ∈ R

( x < y) ⇒ ( g( x) < g( y))

oraz

x

∀ ,

1

y ∈ R

( x < y) ⇒ ( h( x) < h( y)) , to zarówno funkcja g jak i h są rosnące.

Zatem funkcje postaci:

g u

( ( x)) = au( x) + b

u ( x)

h( u( x)) = ( a + )

1

są takŜe funkcjami opisującymi tę samą relację preferencji co funkcja u.

Wnioski:

1. Z twierdzenia 3.2. oraz przykładu 3.2. wnioskujemy, Ŝe funkcji uŜyteczności (oprócz wyjściowej) związanych z daną relacją preferencji jest więcej niŜ jedna, a dokładnie jest ich nieskończenie wiele i są one złoŜeniem wyjściowej funkcji uŜyteczności z funkcjami rosnącymi.

2. Na podstawie poprzedniego wniosku otrzymujemy, Ŝe dla róŜnych funkcji uŜyteczności

związanych z daną relacją preferencji, uŜyteczność danego koszyka towarów x moŜe przyjąć róŜne wartości liczbowe. Zatem naleŜy pamiętać, Ŝe uŜyteczność koszyków jest wielkością

względną, pozwalającą jedynie na porządkowanie i porównywanie koszyków między sobą, co

jest zgodne z załoŜeniem teorii uŜyteczności porządkowej (ordynarnej).

3.4. Własności funkcji uŜyteczności

( ,f

X

)

Zakładamy, Ŝe dane jest pole preferencji

. JeŜeli o przestrzeni towarów X oraz o relacji

~

preferencji f nie posiadamy Ŝadnych dodatkowych informacji, to nie moŜemy mieć pewności, Ŝe

~

istnieje funkcja uŜyteczności związana z tą relacją preferencji. Warunki istnienia funkcji uŜyteczności podaje twierdzenie 3.3.

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I

Twierdzenie 3.3.

JeŜeli przestrzeń towarów

n

X = R

f

+ i relacja preferencji konsumenta

jest ciągła w X , to

~

istnieje ciągła funkcja uŜyteczności

1

u : X → R związana z tą relacją.

(Dowód tego twierdzenia jest dość skomplikowany, dlatego go pomijamy).

Twierdzenie to głosi, Ŝe ciągłość relacji preferencji implikuje ciągłość funkcji uŜyteczności.

Prawdziwe jest takŜe twierdzenie odwrotne: relacja preferencji konsumenta f jest ciągła, jeŜeli

~

związana z nią funkcja uŜyteczności jest ciągła.

Ciągłość funkcji uŜyteczności w punkcie oraz na całej przestrzeni

n

R+ definiujemy następująco:

Funkcja

n

1

u : R

∈

+ → R jest ciągła w punkcie

n

x

R+ , jeŜeli dla kaŜdego ciągu punktów

( x ) n

∈ R , x → x ⇒ u( x ) → u( x) .

k

+

k

k

k →∞

k →∞

Funkcja

n

1

u : R+ → R jest ciągła na n

R+ , jeŜeli jest ciągła w kaŜdym punkcie tej przestrzeni.

PoniewaŜ z faktu, Ŝe istnieje funkcja uŜyteczności, wynika, Ŝe istnieje ich nieprzeliczalna ilość (patrz poprzedni wniosek punkt 1), więc w następnej kolejności nasuwa się pytanie: co zatem wiemy

o tych funkcjach?

Przy załoŜeniu słabo wypukłego (silnie wypukłego) pola preferencji i istnienia tzw. zjawiska niedosytu w tym polu do podstawowych własności funkcji uŜyteczności zaliczamy:

-

wklęsłość (silna quasi-wklęsłość),

-

monotoniczność (funkcja uŜyteczności jest rosnąca),

-

ciągłość.

Funkcj

n

ę

1

u : R+ → R

nazywamy

wklęsłą

(silnie

wklęsłą)

na

n

R+ ,

jeŜeli

∀α ∈[ ]

1

;

0

x

∀ , y ∈ Rn ( x

+

≠ y) spełniony jest warunek:

(I) u(α x + 1

( − α ) y) ≥ α u( x) + 1

( − α ) u( y) , w przypadku funkcji wklęsłej,

(II) u(α x + 1

( − α ) y) > α u( x) + 1

( − α ) u( y) , w przypadku funkcji silnie wklęsłej.

Wklęsłość funkcji uŜyteczności związana jest z wypukłością relacji preferencji o czym traktuje poniŜsze twierdzenie:

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

Twierdzenie 3.4. Je

n

Ŝeli funkcja uŜyteczności

1

u : R+ → R jest wklęsła (silnie wklęsła) na

n

R+ , to relacja preferencji związana z tą funkcją , jest wypukła (silnie wypukła) na n R+ .

Z kolei między wklęsłością funkcji uŜyteczności i wypukłością pola preferencji istnieje zwrotne powiązanie, co opisuje kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 3.5.

Pole preferencji ( n

R , f)

+

jest słabo wypukłe (silnie wypukłe) wtedy i tylko wtedy, gdy

~

związana z nim funkcja uŜyteczności jest quasi wklęsła (silnie quasi wklęsła).

W rozwaŜaniach nad funkcją uŜyteczności twierdzi się, Ŝe jest ona funkcją rosnąca. Tę jej cechę wiąŜe się z omawianym juŜ wcześniej zjawiskiem niedosytu.

Twierdzenie 3.6. Je

n

Ŝeli w polu preferencji ( R , f)

+

występuje niedosyt, to kaŜda funkcja

~

uŜyteczności związana z relacją preferencji konsumenta jest rosnąca i odwrotnie.

Uwaga:

Funkcja uŜyteczności związana z ciągłą i słabo wypukłą (silnie wypukłą) relacją preferencji w warunkach niedosytu jest funkcją ciągłą, quasi wklęsłą (silnie quasi wklęsłą) i rosnącą. PoniewaŜ

jest to bardzo obszerna klasa funkcji, dla wygody ogranicza się rozwaŜania do funkcji silnie wklęsłych, rosnących i dwukrotnie róŜniczkowalnych.

Przy załoŜeniu dwukrotnej róŜniczkowalności funkcji uŜyteczności dostatecznym warunkiem jej silnej wklęsłości na

n

R+ jest ujemna określoność macierzy funkcyjnej (hesjanu) H(x):

∂2 u( x) ∂2 u( x)

∂2 u( x)



L



2

2

 ∂ x

x x

x x

1

∂ 1∂ 2

∂ 1∂ n 

∂ u x

H ( x) =

( ) =  M

M

O

M



∂ 2

x

∂ 2 u( x)

∂2 u( x)

∂2 u( x)



L

2



 ∂ x x

x x

x

n ∂ 1

∂ n∂ 2

∂ n 

dla kaŜdego wektora x ≥ 0 .

3.5. UŜyteczności krańcowe towarów

Dany jest dowolny koszyk towarów

n

x = ( x , x ,..., x )

. Zakładamy, Ŝe w koszyku

1

2

∈ R

n

+

zmieniamy ilość i-tego towaru o

x

∆ , natomiast ilość pozostałych towarów pozostaje bez zmiany.

i

Owa

zmiana

wywoła

zmianę

uŜyteczności

koszyka

dokładnie

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

o u( x , x ,..., x + x

∆ ,...., x ) − u( x , x ,..., x ,..., x ) . JeŜeli zmiana ilości i-tego towaru, tj. x

∆ jest

1

2

i

i

n

1

2

i

n

i

nieznaczna (znikoma), wówczas stosunek zmiany uŜyteczności koszyka towarów do zmiany

x

∆ i

(procentowy przyrost wartości u na skutek przyrostu wartości x ) przybliŜamy pochodną cząstkową i

liczoną z funkcji uŜyteczności u po zmiennej x .

i

u

∂ ( x)

Pochodną cząstkową

, ( i = ,

1 ,

2 ..., n) nazywamy krańcową uŜytecznością i-tego towaru x

∂ i

w koszyku x.

Ze względu na postulat niedosytu mamy następującą własność:

∂ ( )

n

u x

x

∀ ∈ R ,

+

> ,

0

i = ,

1 ,

2 ..., n .

x

∂ i

Oznacza to, Ŝe wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w koszyku przy niezmienionych ilościach pozostałych towarów zwiększa uŜyteczność koszyka.

Natomiast:

2

∂ ( )

n

u x

x

∀ ∈ R ,

+

< ,

0

i = ,

1 ,

2 ..., n ,

x 2

∂ i

co oznacza, Ŝe krańcowa uŜyteczność kaŜdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spoŜycie

(tzw. prawo Gossena).

Z powyŜszych rozwaŜań wynika, Ŝe powierzchnię obojętności moŜna zdefiniować równieŜ

w terminach funkcji uŜyteczności:

K = {

n

y ∈ R : u( y) = u( x) , x ∈ R ,

x

+

}

n

+

co interpretujemy następująco: powierzchnię obojętności tworzy zbiór takich koszyków towarów y,

których uŜyteczność jest równa uŜyteczności koszyka wzorcowego x.

Przykład 3.3.

Funkcja u

2

2

Ŝyteczności

1

u : R

=

+

+ → R dana jest wzorem u( x)

x

x . Liczymy pochodne

1

2

u

∂

u

∂

cząstkowe

oraz

:

x

∂

x

∂

1

2

u

∂ =

u

∂

2 x oraz

=1.

1

x

∂

x

∂

1

2

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

u

∂

u

∂

Pochodna cząstkowa

(

) to krańcowa uŜyteczność 1-go (2-go) towaru. Informuje o ile

x

∂

x

∂

1

2

(w przybliŜeniu) zmieni się uŜyteczność koszyka x, jeŜeli x ( x ) wzrośnie (zmaleje) o jednostkę, przy 1

2

załoŜeniu, Ŝe ilość 2-go (1-go) towaru nie ulegnie zmianie.

3.6. Krańcowa stopa substytucji i elastyczność substytucji towarów

Dany jest dowolny koszyk towarów x > 0 . Zakładamy, Ŝe funkcja uŜyteczności konsumenta w punkcie x przyjmuje pewną stałą wartość c>0. Na podstawie przyjętych załoŜeń obszar obojętności względem koszyka x moŜemy zatem zapisać w postaci:

K =

∈ + : ( ) =

x

{ x Rn u x } c

W koszyku x = ( x ,..., x ) moŜemy wybrać dowolną zmienną x i zadać pytanie, jak powinna 1

n

i

zmienić się jej wartość by uŜyteczność całego koszyka pozostała na niezmienionym, dotychczasowym

poziomie, jeŜeli zmianie uległy ilości pozostałych elementów tego koszyka.

RozwaŜmy przypadek dwuwymiarowy (

2

X = R )

+ . JeŜeli załoŜymy, Ŝe w koszyku x = ( x , x )

1

2

zmniejszamy ilość x o

x

∆ ( x

∆ <0), natomiast wartość x nie ulega zmianie, to uŜyteczność

1

1

1

2

koszyka x spadnie (poniewaŜ funkcja uŜyteczności jest rosnąca). Spadek ten moŜemy

zrekompensować wzrostem ilości drugiego dobra x o odpowiednią wielkość x

∆ ( x

∆ >0), tak aby

2

2

2

uŜyteczność koszyka towarów x po zmianie obu wartości x oraz x była równa uŜyteczności koszyka 1

2

wyjściowego.

W ogólnym przypadku rekompensowanie spadku uŜyteczności na skutek zmniejszenia ilości i-tego

towaru poprzez zwiększenie ilości j-tego towaru ( i ≠ j), tak by uŜyteczność nowego koszyka pozostawała na dotychczasowym niezmienionym poziomie nazywamy substytucją (zamianą) i-tego towaru przez j-ty towar.

u

∂ ( x)

u

∂ ( x)

WyraŜenie S ( x) =

÷

, i ≠ j nazywamy krańcową stopą substytucji i-tego

ij

x

∂

x

∂

i

j

towaru przez j-ty towar w koszyku x.

∂ ( ) ∂ ( )

S

u x

u x

x

Wyra

i

Ŝenie E ( x) = (

÷

)

, i ≠ j nazywamy elastycznością substytucji i-tego

ij

x

∂

x

∂

x

i

j

j

towaru przez j-ty towar w koszyku x.

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

Krańcowa stopa substytucji mówi o ile powinno się zwiększyć ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu

o jednostkę ilości i-tego towaru , aby uŜyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

Elastyczność substytucji mówi o ile procent powinno się zwiększyć ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jeden procent ilości i-tego towaru , aby uŜyteczność koszyka towarów pozostała taka sama.

Przykład 3.4.

ZałóŜmy, Ŝe konsumenta interesują tylko dwa dobra, a jego preferencje opisuje funkcja

u

2

Ŝyteczności

1

u : R

=

+

+ → R dana wzorem u(( x , x ))

2 x

x

. Weźmy koszyk towarów (2,3),

1

2

( 1 2)

którego uŜyteczność wynosi: u((

)

3

,

2

) = 2 × (2 + )

3 = 10 . Wówczas obszar obojętności względem

tego koszyka mo

K

= x x ∈ R+

x + x

=

. Zgodnie z

(2,3)

{( , ) 2 :2

1

1

2

1

2

}

Ŝemy zapisać w postaci:

(

) 0

definicją obszar obojętności K

jest zbiorem wszystkich koszyków x = ( x , x ) , których

(2,3)

1

2

uŜyteczność równa jest 10.

ZałóŜmy, Ŝe konsument chce zmniejszyć spoŜycie drugiego dobra o 1 jednostkę. Pytamy o ile

konsument musi zwiększyć w koszyku ilość dobra pierwszego by zmieniony koszyk towarów

dostarczał mu tyle samo satysfakcji co koszyk wyjściowy (2,3)? Wyznaczamy w tym celu krańcową u

∂ ( x)

u

∂ ( x)

stopę substytucji S ( x) =

÷

.

21

x

∂

x

∂

2

1

∂ u( x)

∂ u( x)

PoniewaŜ u(( x , x )) = 2 x + x

, to

= 2 oraz

= 2 . Stąd otrzymujemy:

1

2

( 1 2)

∂ x

∂ x

1

2

2

1

S ( x) =

= .

21

2

1

Wynika stąd, Ŝe jedną jednostkę drugiego dobra musimy zastąpić dodatkową jednostką dobra pierwszego. Nowy koszyk konsumenta, który dostarczy mu w tym wypadku tyle samo satysfakcji co koszyk wyjściowy, to koszyk ( ,

3 2). Koszyki (

)3

,

2

i ( ,

3 2) są zatem indyferentne.

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

Podsumowanie:

1. Funkcja uŜyteczności jest alternatywnym sposobem wyraŜenia preferencji konsumenta.

2. Funkcja uŜyteczności pozwala w sposób wymierny wyrazić logiczną relację preferencji.

3. Własności funkcji uŜyteczności, podobnie jak załoŜenia teorii preferencji, wyprowadzone są z kategorii rynku doskonałego.

4. Funkcja uŜyteczności moŜe być szacowana ekonometrycznie, nawet przy zastosowaniu do

pomiaru uŜyteczności skali porządkowej.

5. Z funkcji uŜyteczności wyprowadza się miary pozwalające ilościowo wyrazić zjawisko

substytucji, komplementarności oraz neutralności towarów (w tym miejscu proponujemy

studentom sięgnąć do podręczników z mikroekonomii).

Pytania kontrolne:

1. Podaj definicję funkcji uŜyteczności.

2. Na czym polega zjawisko substytucji towarów? Podaj definicję krańcowej stopy substytucji.

3. Jaką własność funkcji uŜyteczności implikuje prawo Gossena?

4. Z czego wynika załoŜenie o ciągłości funkcji uŜyteczności?

5. Dlaczego zakładamy o funkcji uŜyteczności, Ŝe jest rosnąca?

6. Podaj definicję elastyczności substytucji towarów w koszyku dla przypadku ciągłej i dyskretnej funkcji uŜyteczności.

7. Dla jakich dóbr krańcowa stopa substytucji przyjmuje wartość zero, dla jakich wartości dodatnie, a dla jakich ujemne?

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I