12/2/2012
Moment pędu
L = r × p Obliczmy moment pędu względem osi: N
N
N
N
2
L
p r
m v r = ∑ m r r = ω∑ m r = ωI iω
oś = ∑
i i =∑
i
i i
i i
i i
i=1
i=1
i=1
i 1
=
gdzie:
N
moment
I = ∑
2
m r
i i
i=1
bezwładności
Loś = ω
I
wektorowo:
Los = ω
I
1
12/2/2012
Ruch obrotowy ogólnie L
ogólnie:
L ||ω
L
ω
ω
0
L I I
I
ω
x xx xy
xz
x
L = Iˆ ω ⇔ L
I
I
I
ω
y =
yx
yy
yz
y
L
I
I
I
ω
z
zx
zy
zz
z
Ruch obrotowy wokół osi głównych L =
ω iÎ
'+ ω 'j
Î
+ ω kÎ
'
x '
x '
y'
y'
z'
z'
1)
W ogólnym przypadku L nie jest równoległy do ω.
2) L jest równoległy do ω wówczas, gdy osią obrotu jest jedna z głównych osi bezwładności 2
12/2/2012
Przykład: moment bezwładności pręta
∆
2
2
r
∆
M
d
∆r
I = r ∆m = r M l
r
I = ∑ ∆
r
I
r M
k
∑ 2 ∆
=
k
k
l
k
k
l
a ściśle:
2
2
dr
dI = r dm = r M l
l
l / 2
3
3
3
2
2
M r
I = ∫ = M
dl
∫ 2rdr =
M
l
l
Ml
= [( − (− )] =
Ml
l
l 3
3l
8
8
12
−l/ 2
=
V
0
I
0
12
Twierdzenie Steinera: 2
Ι = Ι + m d S
c
3
12/2/2012
Przykładowe momenty bezwładności wokół osi głównych Moment siły
Μ = r × F
4
Zasady dynamiki ruchu obrotowego II zasada dynamiki ruchu obrotowego L = r × p d L
dp
dr
Zatem :
= r ×
+
× p
d t
dt
dt
dr
lecz:
=
dr
v
więc:
oraz:
v // p
× p = 0
dt
dt
Zatem:
d L
dp
= r ×
d t
dt
d L
dp
= r ×
d p
d t
dt
=
lecz:
F
d t
d L
d L
A zatem:
= r × F
= M
d t
d t
d L
II zasada dynamiki ruchu obrotowego : M = d t
Przypadek szczególny (obrót wokół osi symetrii ciała): L = ω
I
M = ε
I
5
STATYKA CIAŁ
∑F = 0
i
i
∑M = 0
i
i
6