Egzamin z algebry Elektrotechnika IB/29.01.2013

Imi¸

e i nazwisko:

1.(3pkt) Podać dwie w lasności wyznacznika a nast¸epnie obliczyć v

u

4 + 2i 1 2 − 2i

u

u

u

2

1

i

t

4 + 3i 1

1

2.(2pkt) Rozwi¸

azać równanie

z4 + 2(2 − i)z2 − 8i = 0

3.(4pkt) Sformu lować twierdzenie Kroneckera-Capellego a nast¸epnie zbadać rozwi¸

azalność uk ladu równań



x

+

y

= a





(∗)

ax +

y

= 1





x

+ ay = 1

w zależności od parametru a ∈ R.

4.(3pkt) Zdefiniować baz¸e przestrzeni wektorowej. Uzasadnić, że wektory v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (1, 0, 1) stanowi¸

a baz¸e R3. Znaleźć wspó lrz¸edne wektora v = (5, 4, 5) w bazie B = {v1, v2, v3}.

5.(3pkt) Podać j¸

adro oraz obraz odwzorowania liniowego f : R4 7→ R3

danego wzorem

f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 − 3x3, x1 − x2 − x3 + x4, 2x1 + 3x2 + 4x3 − 9x4) Określić dim Ker f i dim Im f .

6.(3pkt) Zbadać wzajemne po lożenie prostych (

x

−

y

− z +

2

= 0

l1 :

5x − 2y − z + 12 = 0

i

y + 1

z + 1

l2 : x − 1 =

=

.

4

−3

Znaleźć, o ile to możliwe, równanie p laszczyzny π zawieraj¸

acej proste l1, l2.

Rozwi¸

azania: