Przykład 5.2. Kratownica trzykrotnie statycznie niewyznaczalna Polecenie: korzystając z metody sił wyznaczyć siły w prętach poniższej kratownicy. Przyjąć sztywność ściskania dla słupków i krzyżulców równą EA, a dla prętów pasa dolnego i górnego 2 EA.
P
2 l
2 l
3 P
l
l
l
l
l
l
Rozwiązanie
zadania
rozpoczynamy
od
obliczenia
stopnia
statycznej
niewyznaczalności układu. W przypadku płaskiej kratownicy z węzłami przegubowymi n = r + p − 2 · w
gdzie:
r - liczba składowych reakcji podpór
p - liczba prętów kratownicy
w - liczba węzłów kratownicy.
W rozpatrywanym układzie stopień statycznej niewyznaczalności wynosi n = 4 + 27 − 2 · 14 = 3
Pomimo iż rozważana kratownica jest statycznie niewyznaczalna, to siły w czterech słupkach można wyznaczyć z równań równowagi.
P
G 1
G 2 = G 1
G 4
G 5 = G 4
3 P
S=3 P
3 P
D 2
D
D 4
D
3 = D 2
5 = D 4
3 P
Uwzględniając ponadto jednakową sztywność ściskania dla prętów pasa dolnego i górnego oraz równości: G = G , G = G , D = D , D = D możemy rozwiązać 1
2
4
5
2
3
4
5
przedstawiona poniżej kratownicę o mniejszej ilości prętów.
P
2 l
2 l
3 P
l
l
l
l
l
l
Układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny. Tworzymy układ podstawowy statycznie wyznaczalny przez usunięcie trzech nadliczbowych więzów. Musi to być układ geometrycznie niezmienny. Istnieje wiele takich schematów. Poniżej podano dwa przykłady.
X
X
2
3
X 1
Układy
geometrycznie
niezmienne
X 1
X
2
X
3
Rozpatrywana kratownica jest układem zewnętrznie statycznie niewyznaczalnym.
Można, więc przyjąć jako jedną z trzech nadliczbowych reakcję podporową o kierunku pionowym. Po usunięciu nadliczbowych więzów należy sprawdzić, czy otrzymany układ jest geometrycznie niezmienny. Układ geometrycznie zmienny nie może być układem podstawowym. Jako układ podstawowy przyjmiemy drugi spośród powyższych, geometrycznie niezmiennych układów.
Poniżej pokazany jest układ geometrycznie zmienny otrzymany po usunięciu trzech więzów w rozpatrywanej, trzykrotnie statycznie niewyznaczalnej kratownicy.
2
X
1
Układ
geometrycznie
X
2
zmienny
X
3
Siły w prętach nie zależą od przyjętego układu podstawowego. Wybór tego układu jest jednak istotny, ponieważ od niego zależy, czy rozwiązanie zadania będzie mniej lub bardziej pracochłonne. Poniższy rysunek przedstawia przyjęty do obliczeń układ podstawowy. W tak przyjętym układzie podstawowym siły w prętach wyznaczone w stanie X = 1 możemy 1
wykorzystać również w stanie
X = 1 ze względu na symetryczną budowę układu 2
podstawowego (składowa pozioma reakcji na podporze nieprzesuwnej jest równa zero w stanach X = ,
1 X = ,
1 X = 1).
1
2
3
X
X
1
2
X
3
Pzed przystąpieniem do obliczeń ponumerujemy pręty i węzły.
Oznaczenie prętów
Oznaczenie węzłów
W1
2
11
W
W
8
12
3
15
2
W3
W
5
4
9
4
17
1
19
6 10
13 16
A
C
B
5
7
14
18
W
W
6
7
Wyznaczamy siły w prętach wywołane przez jednostkowe siły nadliczbowe i obciążenie zewnętrzne w układzie podstawowym.
3
1
1
2 l
1
1
2 l
HA = 0
VA = 0
RC = 0
l
l
l
l
l
l
W rozpatrywanym stanie obciążeniem są dwie jednostkowe siły o przeciwnych zwrotach, mające wspólną linię działania (układ sił równoważących się). Otrzymamy, więc wszystkie składowe reakcji podporowych zerowe. Siły S 1, S 5, S 11, S 14, S 15, S 16, S 17, S 18, S 19 są równe zero. W celu wyznaczenia pozostałych sił w prętach kratownicy należy zapisać równania równowagi dla węzłów W 1, W 2, W 3, W4, W6 oraz B.
W 1
1
S 12
S 8
1
S 8
S 12
W 3
W 4
W
S 9
2
S 3
S 3
S 9
S 4
S 10
S
S
6
13
S 4
S 6
S 10
S 13
W 6
S 7
S 7 B
W
2
2
5
2
∑ P
iy
= 0
1⋅
−
⋅ S = 0
⇒
S =
4
4
i
13
5
13
W
1
3
4
2
∑ P
ix
= 0
S +
⋅ S +
⋅1 = 0
⇒
S = −
3
4
3
i
5
13
13
W
2
2
5
6
∑ P
iy
= 0
⋅ S +
⋅ S = 0
⇒
S = −
4
6
6
i
5
5
13
W
1
1
2
6
∑ P
ix
= 0
S −
⋅ S +
⋅ S = 0
⇒
S =
7
4
6
7
i
5
5
13
Dla węzła B otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
4
1
1
∑ Pix = 0
⋅ S −
⋅ S − S = 0
13
10
7
i
5
5
5
5
⇒
S
= −
S
=
B
2
2
10
13
13
13
∑ Piy = 0
⋅ S +
⋅ S = 0
13
10
i
5
5
W
2
2
5
4
∑ P
iy
= 0
⋅ S −
⋅ S = 0
⇒
S
=
12
13
12
i
5
5
13
W
1
1
2
4
∑ P
ix
= 0
−
⋅ S −
⋅ S − S = 0 ⇒
S = −
12
13
9
9
i
5
5
13
W
1
1
3
2 5
1
∑ P
ix
= 0
⋅ S −
⋅ S −1⋅
= 0 ⇒
S = −
12
8
8
i
5
5
13
13
Pozostałe równania dla węzła W 1 i W 3 spełnione są tożsamościowo.
1
1
( i )
N
1
2 5
5
i = 1, 2, …, 19
13
13
1
1
4
2
13
13
5
5
5
5
13
13
13
13
2
H
A = 0
13
RC = 0
VA = 0
Stan X2 = 1
1
1
2 l
1
1
2 l
HA = 0
VA = 0
RC = 0
l
l
l
l
l
l
5
Możemy wykorzystać symetryczną budowę układu podstawowego. Rozkład sił w prętach w stanie X = 1 jest „lustrzanym odbiciem” rozkładu sił w stanie X = 1.
2
1
1
1
( i )
N
2
5
2 5
i=1, 2, …, 19
13
13
1
2
4
13
13
1
5
5
5
5
13
13
13
13
HA = 0
2
13
V
RC = 0
A = 0
Stan X3 = 1
2 l
2 l
H A = 0
1
1
V
RC =
A =
1
2
2
l
l
l
l
l
l
Skoro składowa pozioma reakcji na podporze A jest równa zero, to rozkład sił w prętach w stanie X = 1 ma charakter symetryczny. Możemy obliczyć siły dla prętów tylko 3
jednej połowy układu. Pozostałe siły wyznaczymy korzystając z symetrii.
Wyznaczamy reakcje podporowe:
∑ P
H
ix = 0
⇒
A = 0
i
1
∑ M
R
l
l
R
iA = 0 :
− C ⋅ 6 +1⋅3 = 0
⇒
C =
i
2
1
∑ P
R
V
V
iy = 0
1 − C − A = 0
⇒
A =
i
2
Siły S 2, S 5, S 8, S 11, S 12, S 18 są równe zero. Pozostałe siły w prętach kratownicy możemy wyznaczyć z równań równowagi dla węzłów.
6
W
3
W
S
2
9
S 3
S 3
S 1
S
S 10
4
S 6
S 4
S 1
S
H
6
A
A
W 6
S 7
VA
A
1
∑ P
iy
= 0
− VA + S = 0
⇒
S =
1
1
i
2
W
2
5
2
∑ P
iy
= 0
− S −
⋅ S = 0
⇒
S = −
1
4
4
i
5
4
W
1
1
2
∑ P
ix
= 0
S +
⋅ S = 0
⇒
S =
3
4
3
i
5
4
W
2
2
5
6
∑ P
iy
= 0
⋅ S +
⋅ S = 0
⇒
S =
4
6
6
i
5
5
4
W
1
1
1
6
∑ P
ix
= 0
⋅ S −
⋅ S + S = 0
⇒
S = −
6
4
7
7
i
5
5
2
W
2
2
5
3
∑ P
iy
= 0
−
⋅ S −
⋅ S = 0
⇒
S
= −
6
10
10
i
5
5
4
W
1
1
3
3
∑ P
ix
= 0
S −
⋅ S +
⋅ S − S = 0 ⇒
S =
9
6
10
3
9
i
5
5
4
( i )
N 3
i = 1, 2, …, 19
1
3
1
4
4
4
1
5
5
1
5
5
5
5
2
4
4
2
4
4
4
4
0
1
1
2
2
1
1
1
2
2
7
Stan zerowy (obciążenie zewnętrzne) P
2 l
2 l
3 P
H
= P
A
8
1
R =
V =
P
P
C
A
3
3
l
l
l
l
l
l
Wyznaczamy reakcje podporowe:
∑ P = 0
− H + P = 0
⇒
H
= P
ix
A
A
i
8
∑ M = 0 :
R ⋅ l
6 − P ⋅ l
4 − 3 P ⋅ l
4 = 0
⇒
R =
P
iA
C
C
3
i
1
∑ P = 0
V + R − 3 P = 0
⇒
V =
P
iy
A
C
A
3
i
W 1
P
S 8 S 12
3 P
S 8
W
S 12
3
W 4
S
W
9
W
5
2
S 15
S
S
3
S 3
S 9
4
S
S 4
S 10
16
S
S
3
1
S 6
S 13
S 19
S
S
1
4
S
S 6
S 10
S 13
S
S
16
17
19
P
S
5
C
S
A
S W
S
S
14
5
6
S 7
7
B
14
W 7
1
8
P
P
3
3
Siły S 2, S 11 i S 18 są równe zero. W celu wyznaczenia pozostałych sił w prętach kratownicy należy zapisać równania równowagi dla węzłów kratownicy.
∑ PA = 0
− P + ⋅ S
0
5 =
⇒
S 5 = P
ix
i
8
1
∑ PA = 0
P + ⋅ S = 0
⇒
S = − P
iy
3
1
1
3
i
2
5
∑ PW 2 = 0
− S −
⋅ S = 0
⇒
S =
P
iy
1
4
4
5
6
i
1
1
∑ PW 2 = 0
S +
⋅ S = 0
⇒
S = − P
ix
3
4
3
5
6
i
2
2
5
∑ PW 6 = 0
⋅ S +
⋅ S = 0
⇒
S = −
P
iy
4
6
6
5
5
6
i
1
1
4
∑ PW 6 = 0
⋅ S −
⋅ S + S − S = 0 ⇒
S =
P
ix
6
4
7
5
7
5
5
3
i
Dla węzła W 1 rozwiążemy układ dwu równań z dwiema niewiadomymi.
1
1
∑ PW 1 = 0
⋅ S −
⋅ S + P = 0
ix
12
8
i
5
5
5
5
⇒
S =
P , S
= −
P
2
2
8
2
12
2
∑ PW
1
= 0
−
⋅ S −
⋅ S = 0
iy
12
8
i
5
5
2
2
2
2 5
∑ PW 3 = 0
⋅ S −
⋅ S −
⋅ S = 0
⇒
S
=
P
iy
8
6
10
10
5
5
5
3
i
1
1
1
3
∑ PW 3 = 0
⋅ S +
⋅ S −
⋅ S + S − S = 0
⇒
S = − P
ix
8
10
6
9
3
9
5
5
5
2
i
2
2
2 5
∑ PB = 0
⋅ S +
⋅ S = 0
⇒
S
= −
P
iy
10
13
13
5
5
3
i
1
1
8
∑ PB = 0
⋅ S −
⋅ S + S − S = 0
⇒
S
= P
ix
13
10
14
7
14
5
5
3
i
2
2
2
4 5
∑ PW 4 = 0
⋅ S −
⋅ S −
⋅ S − 3 P = 0
⇒
S
= −
P
iy
12
13
16
16
5
5
5
3
i
1
1
1
4
∑ PW 4 = 0
⋅ S −
⋅ S −
⋅ S − S + S = 0
⇒
S
= − P
ix
16
12
13
9
15
15
5
5
5
3
i
2
2
4 5
∑ PW 7 = 0
⋅ S +
⋅ S = 0
⇒
S
=
P
iy
16
17
17
5
5
3
i
W
1
1
7
∑ P
ix
= 0
⋅ S −
⋅ S + S − S = 0
⇒
S
= 0
17
16
18
14
18
i
5
5
9
8
∑ PW 5 = 0
−
⋅ S − S = 0
⇒
S
= − P
iy
17
19
19
5
3
i
Pozostałe równania równowagi dla węzła W 5 i C spełnione są tożsamościowo.
1
( i )
N 0
5
5
i = 1, 2, …, 19
2
2
3
mnożnik P
1
3
4
6
2
3
1
2 5
2 5
8
5
5
4 5
4 5
3
3
3
3
6
6
3
3
1
4
8
1
3
3
1
8
2
3
Sztywność ściskania oraz siła podłużna na całej długości każdego pręta mają stałą wartość. Uwzględniając to otrzymujemy
p
l
( i )
( i
l
i
)
p
( i )
( i
N
N
N
N ) l
p
( i )
( i
i
)
p
( i )
( i )
δ
N
N
N
N l
s
d
j
0
j
0
i
δ
s
d
j 0 = ∑ ∫
=∑
jk = ∑ ∫
j
k
=∑ j k i
1
E A
1
E A
1
E A
1
E A
i=
0
i
i
i=
i
i
i=
0
i
i
i=
i
i
Wyznaczenie współczynników przy nadliczbowych i wyrazów wolnych układu równań metody sił przeprowadzimy w tabeli.
Ze względu na symetryczną budowę układu podstawowego i taki dobór nadliczbowych, że rozkład sił podłużnych w stanie X = 1 jest „lustrzanym odbiciem”
2
rozkładu sił w stanie X = 1, a rozkład sił podłużnych w stanie X = 1 ma charakter 1
3
symetryczny otrzymamy
p
( i )
( i )
p
( i )
( i )
δ
δ
13 = ∑ N
N l
N
N l
1
3
i = 23 = ∑ 2
3
i
1
E A
1
E A
i=
i
i
i=
i
i
oraz
p
( i )
( i )
p
( i )
( i )
δ
δ
11 = ∑ N
N l
N
N l
1
1
i = 22 = ∑ 2
2
i
1
E A
1
E A
i=
i
i
i=
i
i
10
l
( i )
( i
N
( i )
( i
N 3 ⋅ N )
3
⋅ l
1
⋅ N )
1
⋅ l
i
i
i
i
( i )
( i )
( i )
( i )
E A
N
N
N
N
1
2
3
0
E A
E A
i
i
i
i
i
i
1
1
1
1.
2
0
0
−
0
2
3
2
2.
13
1
0
0
0
13
0
4
1
1
16
1
3.
1
−
0
−
13
4
6
13
16
5
5
5
5 5
5 5
4.
5
0
−
13
4
6
13
16
1
5.
0
0
0
1
0
0
2
5
5
5
5 5
5 5
6.
−
0
−
5
13
4
6
13
16
2
1
4
4
1
7.
1
0
−
13
2
3
13
4
5
5
5
20 5
8.
5
− 2
0
0
13
13
2
13
2
2
3
3
4
9
9.
1
−
−
−
13
13
4
2
13
16
5
5
5
2 5
5 5
5 5
10.
5
−
−
13
13
4
3
13
16
11.
13
0
1
0
0
0
0
5
5
5
5 5
12.
5
− 2
0
−
0
13
13
2
13
5
5
5
2 5
5 5
5 5
13.
5
−
−
−
13
13
4
3
13
16
2
1
8
1
14.
1
0
−
0
2
3
4
13
4
1
4
1
15.
1
−
−
0
0
13
4
3
16
5
5
4 5
5 5
16.
5
0
−
−
0
13
4
3
16
5
5
4 5
5 5
17.
5
0
−
0
13
4
3
16
1
18.
0
0
0
0
0
0
2
1
8
1
19.
2
0
0
−
0
2
3
2
11
( i )
( i
N
( i )
( i
N
( i )
( i
N
( i )
( i
N
( i )
( i
N 3 ⋅ N )
0
⋅ l
2
⋅ N )
0
⋅ l
1
⋅ N )
0
⋅ l
1
⋅ N )
3
⋅ l
1
⋅ N )
2
⋅ l
i
i
i
i
i
i
E A
E A
E A
E A
E A
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
1.
0
0
0
0
−
3
2.
0
0
0
0
0
1
2
1
3.
0
−
0
−
13
3 13
24
5 5
5 5
5 5
4.
0
−
0
−
4 13
6 13
24
5.
0
0
0
0
0
5 5
5 5
5 5
6.
0
−
0
−
24
4 13
6 13
1
8
2
7.
0
−
0
−
3
13
3 13
10 5
5 5
5 5
8.
−
0
−
0
13
13
2 13
4
3
3
3
9
9.
−
−
13
2 13
13
13
8
5 5
5 5
10 5
10 5
5 5
10.
−
−
−
13
4 13
3 13
3 13
6
11.
0
0
0
0
0
10 5
5 5
5 5
12.
−
0
−
0
13
2 13
13
5 5
5 5
10 5
10 5
5 5
13.
−
−
−
13
4 13
3 13
3 13
6
16
4
14.
0
0
0
−
3
3 13
16
1
15.
−
0
0
0
3
3 13
20 5
5 5
16.
0
0
0
−
3 13
3
20 5
5 5
17.
0
0
0
−
3 13
3
18.
0
0
0
0
0
8
19.
0
0
0
0
−
3
12
N ( i) N ( i) l
l
1
1
i
δ = δ = ∑
= 131
, 9194
11
22
i 1
=
E A
EA
i
i
p
N ( i) N ( i) l
l
3
3
i
δ = ∑
= 3
,
6 8013
33
i 1
=
E A
EA
i
i
p
N ( i) N ( i) l
l
1
2
i
δ = δ = ∑
= − 8
,
4 5246
12
21
i 1
=
E A
EA
i
i
p
N ( i) N ( i) l
l
1
3
i
δ = δ = δ = δ = ∑
= − 5
,
2 2116
13
31
23
32
i 1
=
E A
EA
i
i
p
N ( i) N ( i) l
l
1
0
i
δ = ∑
= − 9
,
5 9562
10
i 1
=
E A
EA
i
i
p
N ( i) N ( i) l
l
2
0
i
δ = ∑
= 20 8
, 4523
20
i 1
=
E A
EA
i
i
p
N ( i) N ( i) l
l
3
0
i
δ = ∑
= −14 8
, 8525
30
i 1
=
E A
EA
i
i
Układ równań metody sił ma postać
l
l
l
Pl
131
, 9194 ⋅
⋅ X − 4 8 , 5246 ⋅
⋅ X − 2 5
, 2116
⋅ X − 5 9
, 9562 ⋅
= 0
1
2
3
EA
EA
EA
EA
−
l
l
l
Pl
4 8
, 5246 ⋅
⋅ X −131 , 9194 ⋅
⋅ X − 2 5
, 2116
⋅ X + 20 8 , 4523⋅
= 0
1
2
3
EA
EA
EA
EA
−
l
l
l
Pl
2 5
, 2116 ⋅
⋅ X − 2 5
, 2116 ⋅
⋅ X + 6 3 , 8013
⋅ X −14 8 , 8525 ⋅
= 0
1
2
3
EA
EA
EA
EA
Rozwiązanie powyższego układu równań jest następujące X = 0 , 50067 P
X = −0 , 98682 P
X = 2 , 14096 P .
1
2
3
Po rozwiązaniu układu równań metody sił możemy wyznaczyć siły w prętach ( i )
( i )
( i )
( i )
( i )
N
= N ⋅ X + N ⋅ X + N ⋅ X + N
1
1
2
2
3
3
0
Wartości sił w prętach kratownicy statycznie niewyznaczalnej obliczamy w ostatniej kolumnie tabeli.
13
i
( )
N i
X
( )
N i
X
( )
N i
X
( i )
(
N
N i) [ P]
0
=
3
⋅
2
⋅
1
⋅ 1 +
2 +
3 +
1
1
1.
0
−
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
=
0,73715
2
· 2,14096+
3
2.
1
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
0
· 2,14096+
0 =
0,50067
4
1
1
3.
−
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
· 2,14096+
− = −0,18687
13
4
6
5
5
5
4.
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
−
· 2,14096+
= −0,51365
13
4
6
5.
0
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
0
· 2,14096+
1 =
1,00000
5
5
5
6.
−
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
· 2,14096+
−
=
0,51365
13
4
6
2
1
4
7.
−
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
· 2,14096+
=
0,54058
13
2
3
5
5
5
8.
− 2
· 0,50067+
· (-0,98682)+
0
· 2,14096+
= −0,11125
13
13
2
2
2
3
3
9.
−
−
−
· 0,50067+
· (-0,98682)+
· 2,14096+
=
0,37206
13
13
4
2
5
5
5
2 5
10.
−
· 0,50067+
· (-0,98682)+
−
· 2,14096+
= −0,62490
13
13
4
3
11.
0
· 0,50067+
1
· (-0,98682)+
0
· 2,14096+
0 = −0,98082
5
5
5
12.
· 0,50067+
− 2
· (-0,98682)+
0
· 2,14096+
−
=
0,40903
13
13
2
5
5
5
2 5
13.
· 0,50067+
−
· (-0,98682)+
−
· 2,14096+
−
= −1,76876
13
13
4
3
2
1
8
14.
0
−
· 0,50067+
· (-0,98682)+
· 2,14096+
=
1,05213
13
2
3
4
1
4
15.
0
−
−
· 0,50067+
· (-0,98682)+
· 2,14096+
=
0,29003
13
4
3
5
5
4 5
16.
0
· 0,50067+
−
· (-0,98682)+
· 2,14096+
−
= −1,17631
13
4
3
5
5
4 5
17.
0
· 0,50067+
· (-0,98682)+
−
· 2,14096+
= 1,17631
13
4
3
18.
0
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
0
· 2,14096+
0 =
0,00000
1
− 8
19.
0
· 0,50067+
0
· (-0,98682)+
−1,59619
2
· 2,14096+
=
3
14
Otrzymane wyniki przedstawia poniższy rysunek, na którym grubości „prętów” są proporcjonalne do wyznaczonych wartości sił (w przyjętej skali).
P
Skala
0 P
3 P
3 P
HA = P
VA = 0,73715 P
RC = 1,59619 P
RB = 2,14096 P
Pręty ściskane
Pręty rozciągane
Obciążenie zewnętrzne
i reakcje podporowe
Ze względu na symetryczną budowę rozpatrywanej kratownicy powyższe zadanie można rozwiązać stosując grupowe nadliczbowe. Układ trzech równań z trzema niewiadomymi rozprzęga się wtedy na układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi oraz jedno równanie z jedną niewiadomą.
15