Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 15
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania zadania
zadania odpowiedź
1.
A.
2
a =
4 + 7 − 4 + 7
= 4 + 7 − 2 (4 + 7)(4 − 7)+ 4 − 7 ⇒
⇒ a = 8 − 2 16 − 7 = 8 − 6 = 2
2.
B.
23 24 46 48
,
=
,
25 25
50 50
3.
B.
6
30
a = log
+ log 5 = log
3 15
3
3 15
4.
B.
Skorzystaj z interpretacji graficznej wartości bezwzględnej.
5.
C.
x – cena kurtki przed obniŜkami,
8
,
0 ⋅ 8
,
0 5 x = 408 ⇒ x = 600 .
6.
B.
(3 x + 2)
3 x + 6
W = (
=
x − 2)( x + 2)
2
x − 4
7.
A.
x + y
3
6 2 + 3
=
=
x − y
2 2 −1
7
8.
B.
Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba x = 1
− (równanie
2
x + 25 = 0 jest sprzeczne).
9.
C.
Tata ma 16 + 32 = 48 lat, zatem 3 razy więcej od Jacka.
10.
D.
x + 3 ≥ 0 ∧ x − 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ −3 ∧ x ≥ 7 ⇒ x ≥ 7
11.
C.
Dziedziną funkcji jest zbiór R \ {− , 2
}
2 , zatem miejscami zerowymi są
liczby (− )
1 i 1.
12.
D.
Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc funkcja jest rosnąca w 4
przedziale ( x ,
, x
.
W =
= 2
W
+ ∞)
2
13.
D.
5
Miejscem zerowym pierwszej funkcji jest liczba − , zaś miejscem
3
1
zerowym drugiej funkcji jest liczba
. Otrzymujemy więc równanie
a
1
1
3
− = ⇒ a = − .
3
a
5
14.
A.
Skorzystaj z zasady przesuwania wykresów funkcji.
15.
D.
Wartości funkcji wykładniczej są dodatnie.
16.
C.
Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem dziedziną funkcji jest zbiór (− ∞, − )
3 ∪ ( ,
3 + ∞).
17.
B.
a = 6 ,
4 a = 1
− 60 ⇒ a − a = 64 +160 = 224
4
5
4
5
18.
C.
a =
2
16
a q = 4
1
1
⇒
⇒ a = −8
1
2
3
a q = −2
q = −
1
2
19.
D.
Ciąg z przykładu D jest arytmetyczny, gdyŜ wyrazy róŜnią się o 2 .
20.
A.
1
1
< ⇒ sinα < sin 30 ⇒ α < 30
6
2
21.
C.
(sinα + cosα)2 = sin2 α + 2sinα cosα + cos2 α = + 2
1
= 9 ⇒
7
7
9
3 7
⇒ sinα + cosα =
=
7
7
22.
C.
∠ ADC = 180 −142 = 38 ⇒ ∠ AOC = 76 .
23.
C.
6
9
12
= =
4
6
8
24.
B.
4 + 6
m =
⇒ m = 5
2
25.
C.
=
=
Ω = 5 ,
2 A = 19 , gdyŜ suma zbioru asów, dam i trefli jest zbiorem dziewiętnastoelementowym.
Zadania otwarte
Numer
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
zadania
punktów
26.
− 5 − 5 +19 ⋅ r
1
Zapisanie równania:
⋅ 20 = 1230
2
Rozwiązanie równania: r = 7 .
1
2
Wyznaczenie miary kąta
AOD : ∠ AOD = 20 .
1
Wyznaczenie miary kąta DAO i wykazanie tezy zadania: 1
∠ DAO = 80 ⇒ ∠ ACB = 180 − 2 ⋅80 = 20 .
28.
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: 1
1
1
x = − , x =
.
1
4
2
5
1 1
1
Rozwiązanie nierówności: x ∈ − , .
4 5
29.
Zapisanie sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych i 1
wykorzystanie wzorów skróconego
mno
2
2
2
Ŝenia: s = n + ( n + ) 1
+ ( n + 2) ⇒ s = 3 2
n + 6 n + 5 , n ∈ N .
Wykazanie tezy zadania: s = (
3 2
n + 2 n + )
1 + 2 – zapis liczby, która
1
przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 .
30.
R + r = 19
1
Zapisanie układu równań:
.
R − r = 5
R = 12
1
Rozwiązanie układu równań:
.
r = 7
31.
Zapisanie równania: 33 − 4 ⋅ 32 − 3 m + 36 = 0 .
1
Rozwiązanie równania: m = 9 .
1
Pogrupowanie wyrazów wielomianu: W ( x) = ( 2
x − 9)( x − 4).
1
Wyznaczenie pierwiastków wielomianu: x = 3 (dany pierwiastek), 1
1
x = − ,
3 x = 4 .
2
3
32.
Zapisanie współrzędnych środka okręgu za pomocą jednej 1
zmiennej: S = ( x, x − 2).
1
Zapisanie równania:
2
x + ( x − 5)2 = ( x − 4)2 + ( x − 7)2 .
Rozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych środka okręgu: 1
10 4
S =
,
.
3 3
125
1
Wyznaczenie długości promienia okręgu: r =
.
9
3
2
10
4
125
1
Zapisanie równania okręgu: x −
+ y − =
.
3
3
9
33.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych 1
oznaczeń:
a – krawędź podstawy,
h – wysokość podstawy,
H – wysokość ostrosłupa,
α – kąt nachylenia krawędzi SA do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Wyznaczenie wysokości podstawy: h = 10 .
1
20 3
1
Wyznaczenie krawędzi podstawy: a =
.
3
Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: H = 10 .
1
1000 3
1
Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V =
.
9
Wyznaczenie kąta nachylenia krawędzi SA do płaszczyzny 1
H
podstawy ostrosłupa:
tgα =
⇒ tgα = 3 ⇒ α = 60 .
1 a
2
4