Przekształcenie Laplace'a id 405022

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

117

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A

Przekształcenie Laplace’a jest stosowane do opisu stanów nieustalonych w liniowych układach regulacji. NajwaŜniejszą zaletą przekształcenia Laplace’a jest moŜliwość zapisania równania róŜniczkowego liniowego w postaci transmitancji operatorowej. Transmitancja operatorowa opi-suje właściwości dynamiczne elementów automatyki tworzących schemat blokowy układu regulacji oraz umoŜliwia obliczanie charakterystyk czasowych i częstotliwościowych.

8.1.

Definicja przekształcenia Laplace’a

W teorii regulacji jest stosowane jednostronne przekształcenie Laplace’a L[f(t)], przyporząd-kowujące funkcji czasowej f(t), zwanej oryginałem, funkcję operatorową F(s), zwanej transformatą, określoną wzorem:

∞

−

F(s) = [

L f (t)] = ∫ f (t) ⋅

s t

(8.1)

Funkcja f(t) jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t. Funkcja F(s) jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej s, (s = σ + i ω). Warunkiem istnienia transformaty jest zbieŜność całki Laplace’a.

NiezaleŜnie od tego, jakie nieregularności cechują funkcję f(t), jej transformata jest zawsze w dF(s)

obszarze zbieŜności funkcją holomorficzną, to znaczy funkcja F(s) ma pochodną ds

w kaŜdym punkcie obszaru zbieŜności.

8.2.

Przykłady obliczania transformat Laplace’a

8.2.1.

Funkcja czasowa

−a t

f(t) = e

, wykładnik ”a” jest liczbą rzeczywistą.

∞

− a t

−s t

−(s +

F(s) = [

L e

] = ∫ e

⋅ e

dt = ∫

a ) t

−

=∞

−

(s + a) t t

− + ∞

− +

F(s) =

⋅ e

⋅ [ (s a)

(s a ) 0

− e

]

− (s + a)

t=0

(s + a)

−

Transformata funkcji

a t

istnieje dla tych wartości zmiennej „s”, dla których granica funkcji

− +

lim e (s a) t = 0 , czyli dla s + a > 0

, s > − a .

t →∞

−1

−

F(s) =

⋅ [0 − ]

1 =

= L[ a t

]

(8.2)

(s + a)

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

118

Obszar zbieŜności całki Laplace’a dla funkcji

Im[s]

wykładniczej przedstawiono na rys. B.1. Całka

−

Laplace’a funkcji

a t

jest zbieŜna we wszyst-

kich punktach s = σ + i ω płaszczyzny liczb ze-

Re[s]

spolonych leŜących na prawo od prostej s = − a ,

czyli w punktach spełniających warunek

Obszar zbieŜ noś ci

> −

całki Laplace'a

Re[s]

a .

Prosta

Re[s] > - a

Re[s] = - a

Rys. B.1 Obszar zbieŜności całki Laplace'a

funkcji wykładniczej e-at

8.2.2

Funkcja skokowa jednostkowa 1(t).

Funkcja skokowa jednostkowa, której wykres przedstawiono na rys. B.2 słuŜy do opisu pro-cesów nieciągłych. Definicja funkcji 1(t):

f(t)

f(t) = 1(t)

 0

dla t <0

1(t) = 

(8.3)

 1 dla t >0

Dla t = 0 funkcja 1(t) nie ma Ŝadnej wartości.

Transformata Laplace’a funkcji 1(t) jest równa

Rys. B.2. funkcja skokowa jednostkowa 1(t)

∞

=∞

−s⋅t

−(s)⋅t

−s⋅t

−1

F s

( ) = ∫ (

1 t) ⋅ e

dt = ∫ 1⋅ e

dt =

⋅ e

(0 − )

1 =

(8.4)

− s

t=0

8.2.3

Funkcja skokowa jednostkowa przesunięta w czasie 1(t-T).

Wykres funkcji jednostkowej przesuniętej w czasie przedstawiono na rys. B.3

f(t)

Definicja funkcji 1(t-T):

f(t) = 1(t - T)

 0

dla t <T

1(t-T) = 

(8.5)

 1 dla t >T

Dla t = T funkcja 1(t-T) nie przyjmuje Ŝadnej

wartości.

Rys. B.3. funkcja skokowa jednostkowa 1(t - T)

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

119

Transformata Laplace’a funkcji 1(t-T) jest równa

∞

−s t

−

F(s) = ∫ (

1 t − T) e

dt = ∫ (

1 t − T) e

dt + ∫ (

1 t −

s t

T) e

∞

t =∞

−s t

−1

− s⋅T

F s

( ) = ∫ 0 ⋅ e

dt + ∫ 1⋅ e

dt = 0 +

⋅e

(0 − e

) = ⋅ e

(8.6)

− s

t =T

8.2.4

Funkcja impulsowa δ(t) Diraca.

Funkcja impulsowa δ(t) słuŜy do przedstawienia sygnałów w postaci krótkotrwałych impulsów.

Przyjmuje się następującą skróconą definicje funk-

cji δ(t)

f(t)

0

dla t < 0



δ(t) = ∞

dla t = 0

(8.7)

1(t)



δ(t)

0

dla > 0

przy czym całka funkcji δ(t) jest równa 1.

+∞

∫ δ(t) d t = 1

(8.8)

−∞

_ __

1 1(t - T)

Mimo, iŜ w definicji uŜyto sowa „funkcja”, δ(t) nie

jest funkcją w tradycyjnym znaczeniu.

Rys. B.4. Aproksymacja funkcji δ(t)

W teorii dystrybucji funkcję δ(t) określa jako gra-

funkcjami skokowymi

nicę, do której zbliŜa się funkcja opisująca impuls

rzeczywisty niosący pewną skończoną energię, gdy

czas trwania impulsu maleje do zera.

JeŜeli jako funkcję aproksymującą przyjmiemy impuls prostokątny przedstawiony na rys. B.4, o 1

szerokości „T” i wysokości

, to definicja funkcji δ(t) jest następująca:

(

1 t) − (

1 t − T)

δ(t) = lim

(8.9)

T →0

Gdy czas trwania impulsu maleje do zera, jego wysokość rośnie do nieskończoności, a pole pod wykresem przedstawiające wykonaną pracę jest równe Transformata Laplace’a funkcji δ (t) jest równa 1.

Zestawienie wybranych funkcji czasowych i odpowiadających im transformat Laplace’a podano w tabeli 8.1.

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

120

8.3.

Podstawowe własności przekształcenia Laplace’a

8.3.1

Transformata sumy funkcji (liniowość transformacji Laplace’a) Przekształcenie Laplace’a ma następujące własności:

TWIERDZENIE 1,

Jeśli funkcje czasowe f1(t), f2(t) mają transformaty F1(s), F2(s), to sumie tych funkcji czasowych pomnoŜonych przez stałe współczynniki a1, a2 odpowiada suma funkcji operatorowych pomnoŜonych przez te współczynni-

ki.

JeŜeli

f(t) = a 1 f 1(t) + a 2 f 2(t)

F(s) = a 1 F1(s) + a 2 F2(s)

(8.10)

Twierdzenie to wynika z własności całki. Całka sumy funkcji jest równa sumie całek z tych funkcji.

8.3.2

Transformata całki

TWIERDZENIE 2

Jeśli funkcja czasowa f(t) ma transformatę F(s), to całce oznaczonej tej funkcji czasowej odpowiada funkcja operatorowa F(s) podzielona przez operator Laplace’a „s”.

∞

−s⋅

JeŜeli

F(s) = ∫ f (t) ⋅

 t



F(s)

L ∫ f (t) dt =

(8.11)





0



Całce oznaczonej n – krotnej odpowiada dzielenie funkcji operatorowej przez s n.

 t t



F(s)

L ∫ ∫ L ∫ f (t ) dt dt L dt  =

(8.12)





0 0



Twierdzenie 2 moŜna odnosi się równieŜ do całki nieoznaczonej, poniewaŜ

∫f (t)dt = ∫ f (t)dt + C

(8.13)

gdzie C jest stałą całkowania równą wartości funkcji ∫ f (t) dt dla t = 0

C = ∫ f (t) dt

(8.14)

−∞

JeŜeli w przedziale − ∞ < t < 0 funkcja f(t) = 0, to C = 0.

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

121

8.3.4

Transformata pochodnej

TWIERDZENIE 3

Jeśli funkcja czasowa f(t) ma dla t > 0 pochodną f ' (t) i istnieje transformata L[f ' (t)] tej pochodnej, to istnieje równieŜ transformata funkcji f(t).

L[f(t)] = F(s) i zachodzi wzór

∞

−

L[f '(t)] = ∫

s t

f ' (t) e

dt = s F(s) − f (0+)

(8.15)

gdzie

f(0+) = i

l m f (t)

t →0+

jest prawostronną granicą funkcji f(t) dla t → 0+.

Transformata drugiej pochodnej jest równa

∞ 2

d f (t)

−

L[f ''(t)] = ∫

⋅ s t

dt = 2

s F(s) − f ' (0+) − s f (0+)

(8.16)

Transformata n – tej pochodnej jest równa

n −1

− −

L[f (n) (t)]

= sn F(s) − ∑ sn 1 k ⋅ f (k) (0+)

(8.17)

k =0

8.3.5

MnoŜenie i dzielenie przez t funkcji f(t)

TWIERDZENIE 4.

Jeśli L[f (t) ] = F(s) , to

dF(s)

L[t ⋅ f (t) ] = −

(8.18)

L[ n

t ⋅ f (t) ]

d F(s)

= (− )

(8.19)

8.3.6

Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zespolonej

TWIERDZENIE 5.

Jeśli L[f (t) ] = F(s) , to

−

L[e at ⋅ f (t) ]

dF(s

= −

(8.20)

8.3.7

Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej

TWIERDZENIE 6.

Jeśli L[f (t) ] = F(s) , to dla t ≥ 0

s t

L[f (t −

−

t ) ⋅ (

1 t − t ) =

⋅

(8.21)

] e o F(s)

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

122





s t o

−

L[f (t + t )

(8.22)

o ] = e

⋅ F(s) − e st f (t) dt

∫

⋅









8.3.8

Twierdzenie o zmianie skali

TWIERDZENIE 7.

Jeśli L[f (t) ] = F(s) , oraz a > 0 , t ≥ 0 , stała a przyjmuje dowolną o

wartość, to:

− t

L[f (a t − t ) ⋅ (

1 a t − t ) =

⋅

(8.23)

o ]

e a

F( )

Dla t

= 0 otrzymamy

L[f (a t)] = 1 ⋅ F( )

(8.24)

8.3.9

Twierdzenie o wartościach granicznych

TWIERDZENIE 8.

Jeśli L[f (t) ] = F(s) , oraz istnieje granica

l m f (t) = f (∞)

(8.25)

t →+∞

l m s ⋅ f (s) = f (∞)

(8.26)

s →0

TWIERDZENIE 9.

Jeśli L[f (t) ] = F(s) , oraz istnieje granica

l m f (t) = f (0+)

(8.27)

t →0+

l m s F(s) = f (0+)

(8.28)

s → +∞

8.3.10

splot funkcji

Splotem funkcji f (t) i f (t) w przedziale 0 < t < +∞ nazywamy funkcję ϕ(t) okre-1

śloną dla t ≥ 0 następująco

ϕ(t) = 1

f (t) ∗ f2 (t) = ∫ 1

f (τ) ⋅ f2 (t − τ) dτ

(8.29)

Splot jest funkcją określoną przez całkę (29), przy czym całka ta zaleŜy od t zarówno poprzez górną granicę całkowania, jak i poprzez parametr podcałkowy. Ta podwójna zaleŜność splotu od czasu t powoduje, iŜ splot, ogólnie biorąc, nie ma takich własności regularnościowych, jakie

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

123

ma kaŜda całka zaleŜna tylko od górnej granicy. Splot nie musi istnieć dla kaŜdego t ≥ 0 i nie musi być dla kaŜdego t ≥ 0 ciągły. Splot nie musi dąŜyć do zera dla t → 0+, (jest to źródło popu-larnych błędów. Prawdziwe jest jednakŜe następujące twierdzenie

TWIERDZENIE 10.

Jeśli chociaŜ jedna z funkcji f (t) lub f (t) jest ograniczona w kaŜdym 1

przedziale [0, T], T>0, to splot f (t) ∗ f (t) :

1) istnieje i jest ciągły dla kaŜdego t ≥ 0 ,

2) dąŜy do zera, dla t → 0+.

Właściwości 1), 2) zachodzą wówczas, gdy chociaŜ jedna z funkcji f (t) lub f (t) jest dla 1

t ≥ 0 ciągła.

8.4 Transformata splotu funkcji

TWIERDZENIE 10.

Jeśli funkcje f (t) i f (t) są bezwzględnie transformowalne, istnieją 1

transformaty L[f (t) =

, L[f (t) =

oraz chociaŜ jedna z

] F (s)

nich jest ograniczona w kaŜdym przedziale [0, T], T > 0, to

L[f (t) ∗ f (t) =

⋅

(8.30)

] F (s) F (s)

Transformata splotu dwóch funkcji jest równa iloczynowi transformat splatanych funkcji.

8.3.11

Transformata iloczynu funkcji

TWIERDZENIE 11.

Jeśli funkcje f (t)

i f (t)

są bezwzględnie transformowalne oraz istnieją

całki

∞

−2c t

∫ e

1 ⋅ 1

f (t) dt ; ∫ e

2 ⋅ f2(t) dt

(8.31)

to istnieje transtormata iloczynu f (t) f (t)

⋅ 2 dla Re[s] ≥ 1

c + c2 , określona

wzorem (32) przy warunku (33) oraz wzorem (34) przy warunku (35).

c1+iω

[

L 1

f (t) ⋅ f2(t)] =

∫ 1

F (σ) ⋅ 2

F s

( − σ) d σ

(8.32)

2πi c1−iω

przy czym

x 1

a < 1

c < Re s

[ ] − xa2

(8.33)

lub analogicznie przy zmianie kolejności funkcji pod całką

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

124

c2 +iω

L[ 1

f (t) ⋅ f2 (t)] =

∫ 1

F s

( − σ) ⋅ 2

F (σ) d σ

(8.34)

2π i c2 −iω

przy czym

xa2 < c2 < Re s

[ ] − x 1

(8.35)

8.4

Odwrotne przekształcenie Laplace’a

Zasadnicze znaczenie w zastosowaniach ma zagadnienie odwrotne: d a n a j e s t fu n kc j a z mi e n n e j ze s p o l o n e j F ( s ) , n a l e Ŝy w y z n a c z yć f u n kc j ę f ( t ) , d l a kt ó r e j F( s ) j e s t t r a n s f o r ma t ą La p l a c e ’ a .

TWIERDZENIE 12.

Jeśli funkcja f(t):

jest bezwzględnie transformowalna, tj. x

≠ +∞ i L[f(t)] = F(s),

w kaŜdym przedziale [0, T], T>0, ma ograniczoną zmienność, to dla dowolnej ustalo-nej wartości c > x , to:

f (t)

dla t > 0

c+i ∞



s t

∫ e ⋅ (

F s) d s =  ⋅ f (0+) dla t =

(8.36)

2π



c−i ∞

0

dla t < 0

Wzór (36) nosi nazwę wzoru Riemanna-Mellina i określa analitycznie odwrotne przekształ-

−

cenie Laplace’a oznaczane symbolem

c+i ∞

−

f (t) =

L [ s

(

F )] =

∫

s t

⋅

(8.36a)

2π

(

F ) d s

i c−i∞

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

125

8.5

Rozkład funkcji operatorowej na ułamki proste

W układach liniowych występują funkcje operatorowe wymierne w postaci ułamka, w któ-

rych licznik i mianownik są wielomianami o stałych współczynnikach. Funkcję wymierną moŜna rozłoŜyć na ułamki proste, a odpowiadające im funkcje czasowe znaleźć w tablicach funkcji operatorowych. Najpierw naleŜy obliczyć pierwiastki mianownika, następnie mianownik funkcji operatorowej rozłoŜyć na czynniki i w zaleŜności od tego czy pierwiastki są rzeczywiste lub zespolone, pojedyncze lub wielokrotne, naleŜy zaproponować odpowiednie wyraŜenie zawierające ułam-ki proste pomnoŜone przez współczynniki. Wartości tych współczynników obliczamy z warunku, aby wyraŜenie złoŜone z ułamków prostych było równowaŜne danej funkcji operatorowej F(s). Z

tablic funkcji operatorowych znajdujemy funkcje czasowe odpowiadające poszczególnym ułam-kom prostym występującym w znalezionym wzorze na F(s). Zestawienie wybranych funkcji czasowych i odpowiadających im transformat Laplace’a podano w tabeli 8.1).

Sposoby znajdywania rozkładu funkcji operatorowych na ułamki proste są przedstawione w załączonych rozwiązaniach zadań.

8.6

Związek między transformatami Laplace’a i Fouriera

JeŜeli funkcja f(t) jest funkcją bezwzględnie całkowalną w przedziale (0, + ∞) i równą zeru dla t<0 oraz istnieje co najmniej w obszarze Re[s] ≥ 0 jej L-transformata oraz F-transformata, to transformatę Fouriera otrzymuje się z transformaty Laplace’a przez podstawienie s = i ω. Zwią-

zek między przekształceniem Fouriera i przekształceniem Laplace’a przybiera postać

∞

− ω

[Ff(t)⋅ (1t)]= L[f(t)]

= ∫ f (t) e i t d t

(8.37)

s = i ω

Jednostronne przekształcenie Fouriera moŜna uwaŜać za przypadek szczególny jednostronne-go przekształcenia Laplace’a.

−

Dla funkcji

a t

f(t) = e

, mającej transformatę Laplace’a

F(s) =

−

L[e a t ]

(s + a)

transformata Fouriera jest równa:

F[ − a t

⋅ (

1 t)] = L[ − a t

]

s = i ω

(8.38)

a + i ω

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’a

str.

126

−

JeŜeli weźmiemy funkcję f(t) równą zeru dla t<0 oraz taką, Ŝe dla a ≥ 0 funkcja e a t f(t) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale (0, + ∞) , wówczas zachodzą następujące związki między przekształceniami Fouriera i Laplace’a.

F[ − a t

f (t)] ∞

∞

− i ω t − a t

− (a +i ω

= ∫ e

f (t) d t = ∫

) t

f (t) d t

(8.39)

Porównując z wzorem (B.1) widzimy, Ŝe

−