Działania na wektorach. Elementy metodologii fizyki.
1. Dane są dwa wektory: a = 3î + 4ĵ – 5k̂ oraz b = -î +2ĵ +6k̂. Wyznaczyć: a) długość każdego wektora, b) iloczyn skalarny a·b, c) kąt pomiędzy wektorem ( a – b) a wektorem ( a + b).
Rozwiązanie:
2. Wektory a i b spełniają relacje: a + b = 11î - ĵ +5k̂ ; a – 5 b = -5î +11ĵ +9k̂. Wyznaczyć wektory a i
b. Czy wektory te są do siebie prostopadłe?
Rozwiązanie:
3. Dany jest wektor a = 7î + 11ĵ. Wyznaczyć wektor jednostkowy, prostopadły do tego wektora.
Rozwiązanie:
4. Dane są dwa wektory: a = 3î + 4ĵ oraz b = 6î + 16ĵ. Rozłożyć wektor b na składowe: równoległą i prostopadłą do wektora a.
Rozwiązanie:
5. W punktach o współrzędnych (2,2) oraz (3,7) kartezjańskiego układu współrzędnych umieszczono
po jednej cząstce. Wyznaczyć kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek.
Rozwiązanie:
6. Dany jest wektor A = 3î + 5ĵ. Wyznaczyć jego długość i kąt, jaki tworzy z osią 0X.
Rozwiązanie:
7. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa punkty M1 = (2,10) oraz M2 = (5,6). Jaki kąt
z osią 0X tworzy prosta łącząca te punkty?
Rozwiązanie:
8. Wektor o długości 5N jest w płaszczyźnie XY nachylony pod kątem 30° względem osi 0X. Zapisać
wektor w postaci A = Ax î + Ay ĵ.
Rozwiązanie:
9. Poruszająca się po podłodze z prędkością o wartości v1 kula uderza w ścianę pod kątem α i odbija
się pod kątem β. Nowa wartość prędkości wynosi v2. Wyznaczyć wektor zmiany prędkości.
Rozwiązanie:
10. Dla każdego z poniższych przypadków wyznaczyć wektory C = A + B oraz D = A – B.
Dane: Rys. a) długości wektorów: |A|= 2,80, |B|= 1,90; kąty: α = β = 60°
Rys. b) długości wektorów: |A|= 3,60, |B|= 2,40; kąty: α = 70°, β = 30°
y
y
Rys. a
Rys. b
A
A
α
α
x
x
β
β
B
B
Rozwiązanie:
11. Dane są dwa wektory: A = 2î + 5ĵ oraz B = 2î - 4ĵ. Wyznaczyć: a) długość każdego z wektorów;
b) długość wektora C = A + B oraz kąt jaki tworzy on z wektorem A.
Rozwiązanie:
12. Barka jest ciągnięta przez dwa holowniki: pierwszy napina siłą 12 kN hol tworzący kąt 60°
względem prawego trawersu barki (kierunku prostopadłego do płaszczyzny symetrii statku), a drugi
napina swój hol siłą 8 kN pod kątem 75° względem lewego trawersu. Wyznaczyć siłę wypadkową
działającą na barkę i obliczyć kąt pod jakim jest ona odchylona od płaszczyzny symetrii barki.
Rozwiązanie:
13. Wektory a oraz b spełniają relacje: a + b = 11î – ĵ; a – 5b = -5î + 11ĵ. Wyznaczyć te wektory. Czy
są one do siebie prostopadłe?
Rozwiązanie:
14. Wektory a oraz b spełniają relację: a + b = 0. Co możemy powiedzieć o tych wektorach?
Rozwiązanie:
15. Długość wektora A wynosi 5 jednostek, a wektora B 7 jednostek. Jaka może być największa i
najmniejsza długość wektora R = A + B?
Rozwiązanie:
16. A i B to wielkości fizyczne mające określone wymiary. Które z podanych działań mają sens
fizyczny: A-B, A+B, A/B, A·B, jeśli wymiary A i B są: a) identyczne, b) różne?
Rozwiązanie:
17. Położenie cząstki zależy od czasu jak: x(t)=Asin(ωt). Jaki wymiar mają w układzie jednostek miar
SI wielkości A i ω?
Rozwiązanie:
18. Przyspieszenie dośrodkowe ad ciała w ruchu po okręgu o promieniu R zależy od prędkości tego
ciała v i promienia R jak ad=vαRβ. Wyznaczyć, za pomocą analizy wymiarowej wartości wykładników
α i β. Wskazówka: wymiar przyspieszenia: długość/(czas)2, wymiar prędkości: długość/czas.
Rozwiązanie:
19. a)Kropla oleju o masie 900 µg (mikrogramów) i o gęstości 918 kg rozpłynęła się na powierzchni
wody tworząc kolistą, szarą plamę o średnicy 42 cm, utworzoną z jednej warstwy (monowarstwy)
cząsteczek oleju, Oszacować rząd wielkości średnicy molekuły oleju. B)Ziarnko piasku to kuleczka
kwarcu o średnicy 50 µm (mikrometrów) i gęstości 2650 kg/m3, a gęstość piasku wynosi 2600 kg/m3.
Oszacować rząd liczby ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym.
Rozwiązanie:
20. Odległość Ziemi od Słońca wynosi 0,15 Tm (terametra). Jak, za pomocą igły, kawałka kartonu i
przymiaru o długości 1m oszacować średnicę Słońca? Spróbuj samodzielnie wykonać taki pomiar, a
wynik porównaj z wartością tej średnicy, znalezioną w tablicach.
Czy można, (unikając jakiegokolwiek patrzenia na Słońce, co grozi uszkodzeniem wzroku!)
oszacować jego średnicę przy pomocy przymiaru i jakiejś monety (np. 10 groszowej) ?
Rozwiązanie:
21. Miliarder oferuje ci przekazanie miliarda złotych w monetach jednozłotowych, ale pod
warunkiem, że przeliczysz je osobiście. Czy można przyjąć tę propozycję, jeśli przeliczenie jednej
monety trwa tylko sekundę?
Rozwiązanie:
***