MATEMATYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ
GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH
Wyniki badań i pomiarów w geologii inŜynierskiej charakteryzują się rozrzutem wartości:
Zmienność badanego ośrodka
Dokładność metod badawczych
- Sedymentologia
- Sposób opróbowania
- Tektonika
- Sposób transportu i
przechowywania próbek
- Zjawiska geodynamiczne
- Przygotowanie próbek do badań
- Niedokładność metod
badawczych
- Błędy i zaokrąglenia wyników
Celem matematycznego opracowania wyników badań geologiczno-inŜynierskich jest określenie bezpiecznych wartości ocenianych parametrów oraz określenie ich przedziałów zmienności.
Prowadzona jest ocena parametrów (właściwości gruntów – np.: c, φ, ID) w populacji (ośrodku gruntowym) na podstawie próby statystycznej (wyników badań na pobranych próbkach gruntów).
Próba statystyczna – wyniki oznaczeń danej cechy gruntu określone na wszystkich próbkach z danej warstwy geotechnicznej.
Liczebność próby statystycznej:
n <30 – próba mała
n =>30 – próba duŜa
CHARAKTERYSTYKA PRÓBY JEDNEJ ZMIENNEJ
W kaŜ dym z 10 otworów badawczych odwierconych na obszarze badań pobrano z tej samej warstwy geotechnicznej po 3 próbki gruntów do oceny wilgotnoś ci naturalnej Wn%. Uzyskano 30 róŜ nych wartoś ci Wn% - jaka wartość Wn%
najlepiej charakteryzuje stan faktyczny? Jaka wartość bę dzie bezpieczną z punktu widzenia przyszłego obiektu inŜ ynierskiego?
WARTOŚĆ ŚREDNIA wartość mianowana
n
1
X =
⋅ ∑ xi
n
i=1
Wartość cechy
HISTOGRAM I KRZYWA ROZKŁADU
1. Określenie minimalnej i maksymalnej wartości wyników oznaczeń, podział
tego zakresu na równe klasy
2. Zliczenie ilości obserwacji mieszczących się w poszczególnych klasach ni – liczebność obserwacji w klasach
ki – częstość obserwacji w klasach
k = ni
i
⋅100%
∑
ni
3. Wykonanie rysunku – histogram i krzywa rozkładu ni
ki
4. Wstępna ocena rodzaju rozkładu w próbie statystycznej symetryczny
modalny
asymetryczny
amodalny
wielomodalny
KRZYWA KUMULACYJNA
Σni - liczebność skumulowana
Σki - częstość skumulowana
Σni
Σki
klasy
Jeśli wyniki oznaczeń zostaną uporządkowane rosnąco lub malejąco, to wartość centralna tak uporządkowanego ciągu jest medianą
MODA M wartość mianowana
Wartość badanej cechy, która pojawia się najczęściej lub klasa histogramu, w której występuje najwięcej obserwacji jest wartością modalną WARIANCJA S2 wartość mianowana, dodatnia Średnie kwadratowe odchylenie badanej cechy od wartości średniej
1
s 2 =
∑ n ( x
x 2
i −
)
próba duŜ a
i=
n
1
)
1
s 2 =
∑ n ( x
x 2
i −
) próba mała – wariancja skorygowana
i =
n −
1
1
Wartość cechy
ODCHYLENIE STANDARDOWE S wartość mianowana, dodatnia Średnie odchylenie wartości badanej cechy od wartości średniej
)
) 2
s = s próba mała
2
s = s próba duŜ a
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI υ wyraŜ ony w %
Miara względnego rozproszenia badanej cechy w próbie statystycznej
)
ν ′ = s ⋅100% próba mała
x
= s
ν
⋅100%
x
próba duŜ a
Wyniki oznaczeń
średnia
wariancja
Odchylenie
Współczynnik
Wn%
standardowe
zmienności
Próba 1
1%; 2%; 3%; ....
2%
1,96
1,4
70%
Próba 2
16%; 18%; 19%;..
17%
1,96
1,4
8%
BŁĄD STANDARDOWY σ x wartość mianowana, dodatnia σ x pozwala na ocenę błędu jaki moŜe być popełniony gdy chcemy oszacować średnią wartość badanej cechy w ośrodku gruntowym za pomocą średniej z pobranych próbek.
σ x jest odchyleniem standardowym wartości średnich z szeregu prób statystycznych pobranych z populacji.
σ
σ =
x
n- liczebność próby statystycznej,
n
σ - odchylenie standardowe (ś rednie) w całej populacji Gdy σ nie jest znane, moŜna je oszacować za pomocą wartości odchylenia standardowego
s
≅
σ
sˆ
≅
σ
x
lub
n
x
n
Błąd standardowy pozwala oszacować przedział w jakim zawarta będzie wartość badanej cechy w populacji
x −σ ≤ m ≤ x +
m – wartość ś rednia w populacji
x
σ x
USTALANIE WARTOŚCI OBLICZENIOWYCH PARAMETRÓW
GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH
Wartość obliczeniowa parametru (cechy) geologiczno-inŜynierskiego jest to taka wartość, która uwzględnia moŜliwe odchylenia od wartości średniej parametru w populacji
- Jako wartość obliczeniową parametru geologiczno-inŜynierskiego przyjmuje się najbardziej niekorzystną jego wartość, obliczoną jedną z metod pozwalających określić przedział zmienności parametru
- Jako najbardziej niekorzystną wartość naleŜy przyjmować tę granicę przedziału zmienności parametru, która z punktu widzenia celu badań daje gorszą wartość parametru.
- Jako przedział zmiennoś ci parametru naleŜy rozumieć przedział, w którym rzeczywista wartość parametru powinna znaleźć się przy załoŜonym poziomie ufności
SPRAWOZDANIE
OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH
Wykonano 3 otwory badawcze, w których pobrano próbki gruntów. Po zinterpretowaniu profilu warstw wydzielone zostały warstwy geotechniczne.
NaleŜy przeprowadzić statystyczną analizę wyników oznaczeń wykonanych na próbkach z jednej warstwy geotechnicznej.
Opracowanie wyników :
1. Na podstawie wartości oznaczeń zestawić tabelę danych (1).
Lp
Wartość parametru (xi)
x − x
( x − x )2
i
i
1
2
3
4
1.
...
20.
n=20
Σ=
-
Σ=
2. Dla wyników oznaczeń przeprowadzić:
- podział na klasy (optymalnie 6 lub 7 klas), określić liczbę obserwacji w klasach, częstość obserwacji w klasach oraz częstość skumulowaną
- wyniki zestawić w tabeli (2),
Nr klasy
Granice klas
Liczba
Częstość
Częstość
od do
obserwacji
obserwacji
skumulowana
[%]
[%]
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
- wykreślić histogram, krzywą rozkładu i skumulowaną krzywą rozkładu,
- obliczyć i zestawić wartości: średniej, mody, mediany, odchylenia standardowego, wariancji, współczynnika zmienności, błędu standardowego.
- określić granice przedziału zmienności.
Średnia
Odchylenie standardowe
∑ x
)
) 2
s = s
x
i
=
n
Współczynnik zmienności
Moda
)
ν ′ = s ∗100%
Najczęś ciej spotykana wartość cechy x
Mediana
Błąd standardowy
Wartość cechy dla centralnego punktu
) s
δ ≅
uporz
x
ą dkowanego cią gu obserwacji
n
Wariancja
Granice przedziału zmienności
)
1
−δ ≤ ≤ +δ
s 2 =
∑ n ( x
x 2
x
m
x
x
x
i −
)
i=
n −
1
1