Zagadnienia do egzaminu /przyk÷
ady tematów/
Trzeba równie·
z znać wszystkie poj ¾
ecia zwi ¾
azane z poni·
zszymi problemami.
1. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie o podgrupie generowanej przez podzbiór.
2. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie o charakteryzacji grup cyklicznych.
3. Podać de…nicje oraz w÷
asności lewych i prawych translacji w monoidzie. Sformu÷
ować
i udowodnić twierdzenie Cayley’a dla monoidów.
4. Wykazać, ·
ze je·
zeli G jest grup ¾
a, H < G, to dla ka·
zdego g 2 G zbiory gH oraz Hg s ¾
a
równoliczne.
5. Podać de…nicj ¾
e dzielnika normalnego (podgrupy normalnej) danej grupy. Wykazać, ·
ze
je·
zeli N jest dzielnikiem normalnym grupy G, to gN = N g dla ka·
zdego g 2 G.
6. Podać przyk÷
ad grupy G i jej podgrupy nieb ¾
ed ¾
acej dzielnikiem normalnym G.
7. Sformu÷
ówać i udowodnić pierwsze twierdzenie o izomor…zmie grup.
8. Niech G b ¾
edzie grup ¾
a. Wykazać, ·
ze centrum Z(G) grupy G jest dzielnikiem normalnym G oraz G=Z(G) = Inn(G).
9. Podać de…nicj ¾
e iloczynu kompleksowego AB podzbiorów A; B grupy G. Wykazać, ·
ze dla
dowolnych podzbiorów A; B; C grupy G zachodzi równość (AB)C = A(BC).
10. Wykazać, ·
ze je·
zeli A i B s ¾
a podgrupami grupy G, to iloczyn kompleksowy AB jest grup ¾
a
wtedy i tylko wtedy, gdy AB = BA.
11. Sformu÷
ować i udowodnić drugie twierdzenie o izomor…zmie grup.
12. Podać de…nicj ¾
e dzia÷
ania grupy na zbiór oraz de…nicj ¾
e reprezentacji grupy na zbiorze.
Podać przyk÷
ady dzia÷
ań grupy na zbiór. Wykazać, ·
ze ka·
zdemu lewemu dzia÷
aniu grupy
na zbiór odpowiada reprezentacja, oraz odwrotnie –ka·
zdej reprezentacji odpowiada pewne
lewe dzia÷
anie grupy na zbiór.
13. Podać de…nicj ¾
e relacji sprz ¾
e·
zenia wyznaczon ¾
a przez lewe dzia÷
anie grupy na zbiór oraz
wykazać, ·
ze jest to relacja równowa·
zności.
14. Sformu÷
ować de…nicje: orbity, stabilizatora lewego dzia÷
ania grupy G na zbiór X. Wykazać,
·
ze stabilizator ka·
zdego elementu zbioru X jest podgrup ¾
a grupy G.
15. Niech G b ¾
edzie grup ¾
a dzia÷
aj ¾
ac ¾
a lewostronnie na zbiór X, g 2 G, x 2 X. Wykazać, ·
ze
Stab(g x) = g Stab(x) g 1 oraz zbiór fh 2 G : h x = g xg jest warstw ¾
a równ ¾
a g Stab(x).
Udowodnić, ·
ze orbita Gx rozwa·
zanego dzia÷
ania jest bijektywna ze zbiorem ilorazowym
G= Stab(x).
16. Sformu÷
ować de…nicj ¾
e równania klas dla dzia÷
ania skończonej grupy na zbiór. Sformu÷
ować
i udowodnić twierdzenie o równaniu klas dla dzia÷
ania grupy skończonej.
17. Podać de…nicj ¾
e dzia÷
ania grupy obrotów na sfer ¾
e. Wyznaczyć orbity tego dzia÷
ania ze
wzgl ¾
edu na wymiar sfery (odpowiednie twierdzenia i dowody). Wykazać, ·
ze grupa izometrii
wektora en = (0; 0; : : : ; 0; 1) 2 Rn dzia÷ania grupy SO(n) na sfer ¾
e Sn 1 jest izomor…czna
z grup ¾
a SO(n
1).
18. Podać de…nicj ¾
e dzia÷
ania do÷¾
aczonego grupy G na zbiór G.
Wykazać, ·
ze stabilizator
ka·
zdego punktu x 2 G tego dzia÷ania jest centralizatorem punktu x. Napisać równanie klas dla dzia÷
ania do÷¾
aczonego w przypadku gdy grupa G jest skończona.
1
ze jeśli rz ¾
ad grupy G jest pot ¾
eg ¾
a liczby pierwszej, to grupa ta ma nietrywialne
centrum.
20. Wykazać, ·
ze je·
zeli p jest liczb ¾
a pierwsz ¾
a, to ka·
zda grupa rz ¾
edu p2 jest albo cykliczna, albo
jest izomor…czna z grup ¾
a Zp
Zp.
21. Wykazać, ·
ze grupa G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna (komutant) jest grup ¾
a trywialn ¾
a.
22. Uzasdadnić, ·
ze dla ka·
zdego naturalnego n
3 pochodn ¾
a grupy Sn jest grupa alternuj ¾
aca
An.
23. Wykazać, ·
ze pochodna [G; G] grupy G jest dzielnikiem normalnym grupy G oraz grupa G= [G; G] jest abelowa.
24. Podać de…nicj ¾
e abelanizacji grupy G. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie o uniwersalnej
w÷
asności abelanizacji.
25. Wykazać, ·
ze dla ka·
zdego naturalnego n
5 grupa Sn nie jest rozwi ¾
azalna.
26. Niech G b ¾
edzie grup ¾
a. Wykazać, ·
ze G jest prost ¾
a grup ¾
a abelow ¾
a wtedy i tylko wtedy, gdy
rz ¾
ad grupy G jest liczb ¾
a pierwsz ¾
a.
27. Niech E; F; G b ¾
ed ¾
a przestrzeniami wektorowymi nad tym samym cia÷
em K. Wykazać, ·
ze
przestrzeń wektorowa B(E; F ; G) wszystkich odwzorowań dwuliniowych z przestrzeni E
F w przestrzeń G jest izomor…czna z przestrzeni ¾
a wszystkich odwzorowań liniowych dzi-
a÷
aj ¾
acych z przestrzeni E w przestrzeń L(F ; G) wszystkich odwzorowań liniowych z F w G, czyli wykazać, ·
ze B(E; F ; G) = L(E; L(F ; G)). Wykazać, ·
ze B(E; F ; G) = L(F ; L(E; G))
28. Podać de…nicje: odwzorowania dwuliniowego skośnie symetrycznego, odwzorowania dwuliniowego alternuj ¾
acego. Niech V b ¾
edzie przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a nad cia÷
em K. Wykazać,
·
ze ka·
zde dwuliniowe odwzorowanie alternuj ¾
ace ! : V
V ! K jest skośnie symetryczne.
Podać przyk÷
ad odwzorowania skośnie symetrycznego, które nie jest alternuj ¾
ace. Wykazać,
·
ze jeśli cia÷
o K jest charakterystyki ró·
znej od 2, to ka·
zde dwuliniowe odwzorowanie skośnie
symetryczne jest alternuj ¾
ace.
29. Wykazać, ·
ze jeśli przestrzeń dwuliniowa (V; ( ; )) jest re‡eksywna, to (x; y) (z; x) = (x; z) (y; x)
dla dowolnych x; y; z 2 V .
30. Wykazać, ·
ze przestrzeń dwuliniowa (V; ( ; )) jest re‡eksywna wtedy i tylko wtedy, gdy !
jest funkcjona÷
em symetrycznym lub alternuj ¾
acym.
31. Niech (V; !) b ¾
edzie dwuwymiarow ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a nad dowolnym cia÷
em K.
Niech
1 2 1
V =
w pewnej bazie przestrzeni V .
1 2 1
Pokazać, ·
ze radL(V; !) 6= radR(V; !).
32. Niech (V; !) b ¾
edzie przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a nad cia÷
em K. Wykazać, ·
ze (K )2CK . Podać
de…nicj ¾
e wyznacznika przestrzeni dwuliniowej (V; !); wykazać, ·
ze de…nicja wyznacznika
(V; !) nie zale·
zy od wyboru repera przestrzeni V . Podać de…nicj ¾
e przestrzeni dwuliniowej
nieosobliwej i przyk÷
ady takich przestrzeni. Wykazać, ·
ze skończenie wymiarowa przestrzeń
dwuliniowa jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy ma niezerowy wyznacznik.
33. Niech (V; !) b ¾
edzie skończenie wymiarow ¾
a, nieosobliw ¾
a przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a nad cia÷
em
K, W podprzestrzeni ¾
a wektorow ¾
a przestrzeni V . Wykazać, ·
ze je·
zeli f 2 W , to istniej ¾
a
takie u; v 2 V , ·
ze f = !(u; )jW = !( ; v)jW .
2
edzie skończenie wymiarow ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a nad cia÷
em K, W pod-
przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a przestrzeni V . Wykazać, ·
ze je·
zeli V jest nieosobliwa lub W jest
nieosobliwa, to
dim W !
L = dim W !
R = dim V
dim W:
35. Wykazać, ·
ze jeśli (V; !) jest skończenie wymiarow ¾
a, nieosobliw ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a,
to (W !)! = W = (W !)!.
L R
R L
36. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
37. Wykazać, ·
ze skończenie wymiarowe przestrzenie dwuliniowe (U; ), (V; ) nad tym samym cia÷
em K s ¾
a izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾
a repery tych przestrzeni, wzgl ¾
e-
dem których macierze przestrzeni (U; ), (V; ) s ¾
a takie same.
38. Niech (U; ), (V; ) b ¾
ed ¾
a skończenie wymiarowymi przestrzeniami dwuliniowymi nad tym samym cia÷
em K oraz niech A b ¾
edzie macierz ¾
a przestrzeni (U; ) wzgl ¾
edem pewnego repera
U , B – macierz ¾
a (V; ) wzgl ¾
edem pewnego repera V . Wykazać, ·
ze wówczas przestrzenie
(U; ), (V; ) s ¾
a izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy macierze A; B s ¾
a kongruentne.
39. Wykazać, ·
ze wyznacznik skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej jest niezmien-nikiem izometrii (sformu÷
ować równie·
z odpowiednie twierdzenie).
40. Wykazać, ·
ze zbiór wszystkich wektorów nieizotropowych przestrzeni dwuliniowej jest nie-zmiennikiem izometrii tej przestrzeni. Korzystaj ¾
ac z tego wykazać, ·
ze R3 ze standardowym
iloczynem skalarnym nie jest izometryczna z R3 wyposa·
zon ¾
a w funkcjona÷dwuliniowy
! : R3
R3 ! R, !((x1; x2; x3); (y1; y2; y3)) = x1y1
x2y2
x3y3.
41. Niech (V; !) b ¾
edzie przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a wymiaru n 2 N. Niech (v1; : : : ; vn) 2 F (V ) oraz niech
(V; !) = A w reperze (v1; : : : ; vn) :
Wykazać, ·
ze Izom(V; !) = Izom(n; K) = S 2 GL(n; K) : ST AS = A .
42. Podać de…nicj ¾
e symetrii. Wykazać, ·
ze ka·
zda symetria jest izometri ¾
a.
43. Pdać de…nicj ¾
e formy kwadratowej, formu÷¾
e polaryzacyjn ¾
a (z dowodem). Wykazać, ·
ze jeśli
(V; !) jest symetryczn ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a oraz funkcjona÷! nie jest zerowy, to w tej
przestrzeni istnieje wektor nieizotropowy.
44. Podać de…nicj ¾
e, w÷
asności i interpretacj ¾
e geometryczn ¾
a odbicia. Pokazać, ·
ze ka·
zde odbicie
jest izometri ¾
a.
45. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie Cartana.
46. Wykazać, ·
ze je·
zeli v jest nieizotropowym wektorem symetrycznej przestrzeni dwuliniowej (V; !) oraz F 2 Izom(V; !), to wektory v +F (v) i v F (v) s ¾
a ortogonalne oraz co najmniej
jeden z wektorów v + F (v), v
F (v) jest nieizotropowy.
47. Niech V b ¾
edzie skończenie wymiarow ¾
a przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a nad cia÷
em K. De…niujemy
! : (V
V )
(V
V ) ! K;
!(( 1; v1); ( 2; v2)) = 2(v1)
1(v2):
Wykazać, ·
ze ((V
V ) ; !) jest przestrzenia symplektyczn ¾
a.
48. Wykazać, ·
ze dla ka·
zdej przestrzeni symplektycznej (V; !) skończonego dodatniego wymiaru nad cia÷
em K charakterystyki ró·
znej od 2 istnieje reper przestrzeni V , wzgl ¾
edem którego
macierz ¾
a formy symplektycznej ! jest
0n
In
2 Sp(n; K)
GL(2n; K)
In 0n
3
Wywnioskować st ¾
ad, ·
ze ka·
zda przestrzeń symplektyczna
skończonego dodatniego wymiaru nad cia÷
em charakterystyki ró·
znej od 2 ma baz ¾
e sym-
plektyczn ¾
a oraz ma wymiar parzysty.
49. Niech (V; !) b ¾
edzie przestrzeni ¾
a symplektyczn ¾
a wymiaru 2n nad cia÷
em K charakterystyki
0
ró
n
In
·
znej od 2 oraz niech J =
2 Sp(n; K). Wykazać, ·
ze
In 0n
Sp(V ) = Sp(n; K) = X 2 GL(2n; K) : XT JX = J :
50. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie o postaci macierzy symplektycznej.
51. Wykazać, ·
ze je·
zeli F1; F2 s ¾
a podprzestrzeniami re‡eksywnej przestrzeni dwuliniowej (V; !), to (F1 + F2)! = (F1)! \ (F2)! oraz (F1)! + (F2)!
(F1 \ F2)!.
52. Wykazać, ·
ze je·
zeli F1; F2 s ¾
a podprzestrzeni ¾
a nieosobliwej, skończenie wymiarowej przestrzeni re‡eksywnej (V; !), to (F1 \ F2)! = (F1)! + (F2)!.
53. Niech (V; !) b ¾
edzie re‡eksywn ¾
a, skończenie wymiarow ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a oraz F1; F2
jej ca÷
kowicie izotropowymi przestrzeniami. Pokazać, ·
ze (F1+F2)\(F1 + F2)! = (F1 \ F !
2 )+
(F !
1 \ F2).
54. (Twierdzenie o ortogonalnym dope÷
nieniu przestrzeni ca÷
kowicie izotropowej) Niech (V; !)
b ¾
edzie symetryczn ¾
a, nieosobliw ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a skończonego wymiaru. Wykazać,
·
ze dla dowolnych ca÷
kowicie izotropowych podprzestrzeni F1; F2 nast ¾
epuj ¾
ace warunki s ¾
a
równowa·
zne:
(a) F1 + F2 jest nieosobliw ¾
a symetryczn ¾
a podprzestrzeni ¾
a V ,
(b) V = F1
(F2)!,
(c) V = F2
(F1)!.
Pokazać, ·
ze warunki (a)–(c) implikuj ¾
a równość dim F1 = dim F2. Wykazać, ·
ze je·
zeli
char K 6= 2, to dla ka·
zdej ca÷
kowicie izotropowej podprzestrzeni F1
V istnieje ca÷
kowicie
izotropowa podprzestrzeń F2, taka ·
ze spe÷
nione s ¾
a warunki (a)–(c).
55. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie Witta o przed÷
u·
zaniu izometrii.
56. Wykazać, ·
ze ka·
zda podprzestrzeń antyizotropowa (nieizotropowa) przestrzeni dwuliniowej jest przestrzeni ¾
a nieosobliw ¾
a.
57. Wykazać, ·
ze je·
zeli (V; !) jest skończenie wymiarow ¾
a re‡eksywn ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a
oraz F1 i F2 s ¾
a jej maksymalnie izotropowymi podprzestrzeniami , to rad(F1+F2) = F1\F2.
58. Wykazać, ·
ze je·
zeli (V; !) jest skończenie wymiarow ¾
a, re‡eksywn ¾
a przestrzeni ¾
a dwulin-
iow ¾
a oraz F1 i F2 s ¾
a jej maksymalnie izotropowymi podprzestrzeniami , to F1 + F2 jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy F1 \ F2 = 0.
59. Wykazać, ·
ze je·
zeli F1 i F2 s ¾
a maksymalnie izotropowymi podprzestrzeniami skończenie wymiarowej symetrycznej przestrzeni dwuliniowej (V; !), to przestrzeń (F1 + F2)=(F1 \F2) z indukowanym odwzorowaniem dwuliniowym jest nieosobliwa oraz dim F1 = dim F2:
60. Wykazać jednoznaczność rozk÷
adu Witta (rozk÷
adu z twierdzenia Witta) z dok÷
adności ¾
a
do izometrycznych podprzestrzeni.
4