Wiedząc, Ŝe stała grawitacji wynosi 6,67*lO11 Nm2/kg2, przyspieszenie ziemskie 10 m/s2, a promień Ziemi ma wartość 6370
km, oblicz masę Ziemi.
2. Znajdź średnią gęstość Ziemi, jeŜeli wiadomo, Ŝe jej promień wynosi 6370 km, a przyspieszenie ziemskie ma
wartość 10 m/s2. Przyjmij, Ŝe Ziemia ma kształt kuli.
3.
Oblicz ile razy mniejsza jest wartość siły grawitacji działającej na ciało umieszczone w odległości równej 5
promieniom Ziemi, licząc od jej środka, od wartości siły grawitacji działającej na to ciało na powierzchni planety.
4. Oblicz wartość siły, którą przyciągają się dwie stykające się ze sobą ołowiane kule o średnicy 1 m kaŜda. Gęstość
ołowiu wynosi 11,3 • 103 kg / m3 .
5.
Ustal, gdzie znajduje się punkt, w którym naleŜałoby umieścić ciało, aby siły przyciągania pochodzące od Ziemi i KsięŜyca
wzajemnie się równowaŜyły. Odległość środka KsięŜyca od środka Ziemi jest równa 3,84*108m, a masa KsięŜyca stanowi
1/81 masy Ziemi.
6.
W pobliŜu powierzchni Ziemi na ciało o masie 1 kg działa siła cięŜkości o wartości 10 N. Jaki promień musiałaby mieć
kula ołowiana, aby na jej powierzchni na ciało o masie 1 kg działała siła o takiej samej wartości? Gęstość ołowiu wynosi
11,3 • 103 kg / m3 .
7. Korzystając z wyniku otrzymanego w poprzednim zadaniu oblicz średnią gęstość Ziemi, wiedząc, iŜ jej promień ma
wartość 6,31*106 m .
8.
Dwie kule jednorodne o promieniu 1 m, wykonane z tego samego materiału, stykają się ze sobą. Oblicz ile razy zmaleje
wartość ich wzajemnego przyciągania grawitacyjnego, jeŜeli rozsuniemy je na odległość l = Im.
9. W artość siły grawitacji działającej na ciało leŜące na Ziemi wynosi 100 N. Oblicz ile wynosiła będzie wartość siły
grawitacji Ziemi na wysokości h = R, gdzie R to promień Ziemi.
10. Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie jest równe co do wartości 10% przyspieszenia na
powierzchni Ziemi?
11. Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi natęŜenie pola grawitacyjnego jest 10 razy mniejsze niŜ na powierzchni?
12. Masa pewnej planety jest 80 razy mniejsza od masy Ziemi, a jej promień 4 razy mniejszy od promienia Ziemi. Obliczyć
przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni tej planety.
13. CięŜar człowieka na powierzchni Ziemi wynosi 750 N. Ile wyniósłby cięŜar tego człowieka na planecie o trzykrotnie większej
masie i dwukrotnie mniejszym niŜ Ziemia promieniu?
14. Na planecie o średniej gęstości p i promieniu R na ciało o masie m działa siła o wartości F. Ile wynosiłaby wartość tej
siły na planecie o takiej samej gęstości lecz dwukrotnie mniejszym promieniu?
15. Promień Marsa stanowi 1/2 promienia Ziemi, a jego masa 1/10 masy Ziemi. Oblicz stosunek
16. Jowisz ma masę 318 razy większą od masy Ziemi, a jego promień na równiku jest 11 razy większy od promienia
równikowego Ziemi.
a) Zakładając, iŜ moŜna by staną na powierzchni Jowisza, podaj jaką masę miałby tam kosmonauta, który na Ziemi
waŜy 800 N
b) Jaki byłby jego cięŜar na Jowiszu?
17. Czas obrotu Jowisza jest 12 razy większy od czasu obrotu Ziemi dookoła Słońca. Wyznaczyć odległość Jowisza
od Słońca, jeśli odległość Ziemi od Słońca jest równa 1 a.u. Orbity planet traktujemy jako kołowe.
18. Naptun krąŜy wokół Słońca w średniej odległości 30 a.u. Ile ziemskich lat trwa jeden rok na tej planecie?
19. Oblicz stosunek okresów obiegu Ziemi dla 2 satelitów, jeśli promień orbity pierwszego satelity wynosi r, zaś drugiego 4 r.
20. Znając promień orbity i okres obiegu satelity, wyprowadź wzór na masę planety, wokół której krąŜy ów satelita.
21. Znając promień orbity KsięŜyca R, masę Ziemi oraz stałą grawitacji, znajdź wyraŜenie na szybkość kątową, z która
księŜyc obiega Ziemię.
22. Satelita geostacjonarny to taki satelita, który porusza się po orbicie leŜącej w płaszczyźnie równika Ziemi z taką
prędkością kątową, z jaką obraca się Ziemia. Dzięki temu z powierzchni Ziemi widziany jest on jako
nieruchomy. Oblicz promień orbity satelity geostacjonarnego.
23. W yznaczyć okres obrotu KsięŜyca dookoła Ziemi wiedząc, Ŝe przyspieszenie ziemskie wynosi g = 9,81 m/s2, promień
Ziemi Rz = 6370 km oraz odległość między KsięŜycem a Ziemią R = 3,84*108 m.
24. Wyjaśnij dlaczego KsięŜyc nie spada na Ziemię.
25. W iadomo, Ŝe na skutek obrotu Ziemi wokół własnej osi cięŜar ciała na równiku jest mniejszy niŜ na biegunie. Na
jakiej wysokości nad biegunem cięŜar ciała zrówna się z cięŜarem tego ciała umieszczonego na równiku? Przyjąć,
Ŝe Ziemia ma kształt kuli o promieniu Rz. Przyspieszenie ziemskie na równiku i na biegunie wynoszą odpowiednio
gr = 9,78 m/s2 oraz gb = 9,83 m/s2.
26. Dwie kule o masach M i 4M są oddalone od siebie o r. Na linii łączącej ich środki, dokładnie w połowie odległości znajduje
się punkt materialny o masie m. Obliczyć wypadkową siłę działająca na ten punkt.
27. Dwie kule o masach M i 4M są oddalone od siebie o r. Na linii łączącej ich środki, znajdź taki punkt geometryczny, w
którym na punkt materialny o masie m działają siły grawitacji równowaŜące się.
28. Punktowe masy M i 4M są oddalone od siebie o d. Oblicz natęŜenie pola grawitacyjnego w środku łączącego je odcinka.
29. Oblicz pracę, jaka zostanie wykonana przy podnoszeniu ciała o masie m z powierzchni Ziemi na wysokość h=Rz.
30. Jaką prędkość, skierowaną pionowo do góry, naleŜy nadać ciału aby osiągnęło ono wysokość równą promieniowi
Ziemi?
31. Przenosząc ciało z wysokości h=R na wysokość h=3R wykonano pracę W . Jaką pracę naleŜy wykonać, by podnieść
ciało z Ziemi na wysokość h=R
32. Ile wynosi energia kinetyczna satelity o masie m poruszającego się po orbicie o promieniu r=2R.
33. Ile wynosi stosunek Ep do Ek satelity krąŜącego po orbicie kołowej?
34. Prom kosmiczny porusza się w odległości 100 km od powierzchni Ziemi po orbicie kołowej z prędkością 7,85 km/s. Oblicz
energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą tego promu, wiedząc Ŝe jego masa wynosi 100 ton.
35. Satelita o masie m1 porusza się po orbicie o r1=Rz, a satelita o masie m2 po orbicie o r2=2Rz. Oblicz stosunek m1 do
m2, jeŜeli oba mają taką samą energię kinetyczną.
36. RozwaŜając ruch satelity Ziemi po okręgu o promieniu r pod wpływem dośrodkowej siły grawitacji oblicz róŜnicę energii
całkowitej satelitów o masach m = 1000 kg poruszających się po orbitach kołowych na wysokości h1 = 300 km i na
wysokości h2 = 100 km nad powierzchnią Ziemi.
37. Oblicz wartość I prędkości kosmicznej dla KsięŜyca wiedząc, Ŝe jego promień wynosi 1740 km, a przyspieszenie
grawitacyjne na powierzchni KsięŜyca jest równe 1/6 ziemskiego przyspieszenia grawitacyjnego.
38. Oblicz wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Jowisza. Wiadomo, iŜ orbita kołowa księŜyca Jowisza, Ganimedesa,
ma promień RG = 1*106 km i obiega on planetę w czasie TG= 7,15 dób ziemskich. Promień Jowisza wynosi Rj = 70000
km.
39. Masywne gwiazdy w końcowym etapie ewolucji odrzucają zewnętrzne warstwy materii i zapadając się mogą tworzyć
gwiazdy neutronowe lub „czarne dziury". Czarna dziura to obiekt astronomiczny, który tak silnie oddziałuje grawitacyjnie
na swoje otoczenie, Ŝe Ŝaden rodzaj materii ani energii nie moŜe jej opuścić.
a) Oszacuj promień gwiazdy neutronowej o masie 12,56*1029 kg i średniej gęstości równej 3-10" kg/m3.
b) Masywna gwiazda w wyniku ewolucji utworzyła obiekt o masie 12,56*1029kg i promieniu 1 km. Oszacuj wartość drugiej
prędkości kosmicznej dla tego obiektu. Oceń, czy ten obiekt moŜe być „czarną dziurą". Odpowiedź uzasadnij.
c) Oszacować jakie promienie powinny mieć Ziemia i Słońce aby stały się czarnymi dziurami. Ile wynosiły by wówczas ich
gęstości? Ile waŜyły by umieszczone na ich powierzchniach blondynki o masie m = 55 kg kaŜda?
40. Sonda kosmiczna została wystrzelona z Ziemi z II prędkością kosmiczną.
a) w jakiej odległości od powierzchni Ziemi sonda straci połowę swojej początkowej energii kinetycznej?
b) jaką w tym punkcie będzie miała szybkość?
c) Na jaką odległość będzie mogła dolecieć ta sonda od miejsca, w którym jej szybkość zmaleje do I prędkości
kosmicznej.
Zad.1. Oblicz wartość siły nacisku kosmonauty o masie 100 kg na fotel w następujących sytuacjach:
a) rakieta startuje pionowo w górę z przyspieszeniem o wartości 5g.
b) rakieta krąŜy po orbicie okołoziemskiej z wyłączonymi silnikami.
c) lądownik ląduje na Ziemi, poruszając się z opóźnieniem o wartości 2/3 g.
d) lądownik księŜycowy hamuje podczas lądowania na księŜycu z opóźnieniem 1/10g (przyspieszenie grawitacyjne na
KsięŜycu ma wartość 6 razy mniejszą niŜ na Ziemi).
Zad.2. KsięŜyc ma masę 81 razy mniejszą od masy Ziemi, jego promień wynosi 0,27 promienia Ziemi a odległość pomiędzy
tymi ciałami niebieskimi wynosi 3,84·108m.
a) na prostej łączącej środki Ziemi i KsięŜyca znajdź punkt, w którym wypadkowa siła działająca na umieszczone w
nim ciało ma wartość równą zeru. Oblicz odległość tego punktu od środka Ziemi.
b) przedstaw na schematycznym rysunku Ziemie i KsięŜyc oraz narysuj linie pola grawitacyjnego układu Ziemia-
KsięŜyc.
c) oblicz pierwszą prędkość kosmiczna dla KsięŜyca
d) oblicz prędkość ucieczki z KsięŜyca
Zad.3. Promień pewnego ciała niebieskiego ma wartość 6400 km. Przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni wynosi 4
m/s2. Na podstawie tych danych oblicz:
a) masę tego ciała niebieskiego
b) średnią gęstość jego materii
c) prędkość ucieczki z tego ciała
Zad.4. Satelita o masie 50 kg krąŜy po orbicie kołowej na wysokości 6400 km nad powierzchnią Ziemi. Oblicz:
a) wartość siły wzajemnego oddziaływania między Ziemią i satelitą
b) grawitacyjną energię potencjalną satelity (względem Ziemi)
c) energię kinetyczną satelity (względem Ziemi)
d) całkowitą energię układu Ziemia – satelita
Zad.5. Satelita z poprzedniego zadania został przeniesiony na orbitę kołową o promieniu r = 3 R.
a) oblicz zmianę wartości prędkości satelity
b) oblicz zmianę wartości energii całkowitej układu Ziemia-satelita
c) ustal, czy i jak zmieni się energia wiązania układa Ziemia-satelita
d) oblicz wartość siły oddziaływania między satelitą i znajdującym się na nim spektroskopem o masie 4,5 kg.
Zad.6. Znajdź związek między okresem obiegu satelity krąŜącego wokół Ziemi po orbicie kołowej a promieniem orbity. Sporządź
wykres zaleŜności T(r).
Zad.7. Gdyby wydrąŜyć wewnątrz Ziemi tunel biegnący pionowo do jej środka, to:
a) znajdź funkcję F(r) zaleŜności wartości siły grawitacji Ziemi działającej na masę m = 1kg od odległości od środka
Ziemi (przyjmij Ŝe gęstość Ziemi jest stała)
b) sporządź wykres zaleŜności F(r)
c) znajdź funkcję V(r) zaleŜności potencjału grawitacyjnego od odległości od środka Ziemi
d) sporządź wykres zaleŜności V(r)
Zad.8. Masa Ziemi Mz jest 81 razy większa od masy KsięŜyca MK = 7,34 · 1022 kg. Promień Ziemi Rz = 6370 km jest 3,7 razy dłuŜszy od promienia KsięŜyca RK. Średnia odległość środka KsięŜyca od środka Ziemi wynosi d= 3,84 · 108 m.
a) W jakiej odległości x od środka Ziemi, na linii łączącej środki ciał, znajduje się taki punkt A, w którym na ciało o masie m= 100
kg nie działa siła grawitacji.
b) Porównaj wartość siły grawitacji FX działającej na ciało o masie m = 100 kg znajdujące się na powierzchni Ziemi z siłą FY
działającą na to ciało, gdy znajduje się ono na powierzchni KsięŜyca.
c) Naszkicuj wykres zaleŜności siły grawitacji F działającej na ciało o masie m w zaleŜności od odległości r od środka Ziemi, dla r≤ d.
d) Oblicz energię kinetyczną Ek, potencjalną Εp i całkowitą Ec KsięŜyca w polu grawitacyjnym Ziemi.
e) Jaką pracę W naleŜałoby wykonać, aby przenieść KsięŜyc z orbity okołoziemskiej do nieskończoności?
Zad.9. Mamy do dyspozycji zegar wahadłowy o okresie 2s. Wyregulowaliśmy zegar w Warszawie, gdzie przyspieszenie
ziemskie gw= 9,8123 m/s2.
a) W Gdańsku wartość przyspieszenia ziemskiego jest równa gG = 9,8145 2 m/s2, a w Krakowie gK = 9,8105 m/s2 . Czy zegar
będzie w tych miastach chodził dokładnie?
b) Na Merkurym wartość przyspieszenia grawitacyjnego gM stanowi około 0,36 wartości przyspieszenia ziemskiego g = 9,81
m/s2 . O jaką wartość ∆t spóźniałby się w ciągu doby zegar na tej planecie?
c) Zegar z wahadłem sekundowym zabieramy pod powierzchnię Ziemi, np. na głębokość h = 1000 m. Znając gęstość Ziemi ρ =
5,5 · 103 kg/m3, promień Ziemi R = 6370 km, wyznacz, jak zmieni się wskazanie zegara.
d) Wybraliśmy się, biorąc ze sobą zegar, w podróŜ kosmiczną, gdzie wystąpił stan niewaŜkości. Co moŜesz powiedzieć o
wskazaniach zegara?
e) Znajdujemy się w Warszawie, w wesołym miasteczku na karuzeli. Przyspieszenie dośrodkowe wynosi ad = 6m/s2. Jak chodzi
zegar?
Zad.10. Ciało o masie m= 5 kg puszczono swobodnie do tunelu przewierconego wzdłuŜ średnicy Ziemi. Odległość r ciała od
środka Ziemi jest mniejsza od promienia Ziemi R.
a) Napisz równanie opisujące wartość siły F działającej na ciało o masie m = 5 kg w zaleŜności od odległości r od środka Ziemi i uzasadnij odpowiedz na pytanie: jakim ruchem poruszało się to ciało?
b) Napisz równanie ruchu ciała i narysuj wykres zaleŜności odległości r od czasu t.
c) Podaj równanie opisujące zaleŜność wartości prędkości ν ciała od czasu t i oblicz maksymalną wartość v max.
d) Napisz równanie zaleŜności przyspieszenia a tego ciała od odległości r i oblicz wartość maksymalną przyspieszenia amax e) WskaŜ punkty, w których wartości energii potencjalnej Εp ciała i kinetycznej Ek są maksymalne. Napisz równania maksymalnej energii potencjalnej Εpmax i maksymalnej energii kinetycznej Ekmax, Oblicz wartość energii całkowitej ciała Ec.
f) Z jakiej wysokości h nad powierzchnią Ziemi naleŜałoby puścić swobodnie ciało o masie m, aby jego prędkość na powierzchni
Ziemi była równa maksymalnej prędkości ciała poruszającego się w tunelu?
Zad. 11. Ciało o masie m= 100 kg porusza się po orbicie na wysokości h = 160 km nad powierzchnią Ziemi. Promień Ziemi R =
6370 km, przyspieszenie g = 9,81 m/s2.
a) Oblicz wartość prędkości vI ciała.
b) Jaką pracę W naleŜałoby wykonać, aby przenieść ciało z orbity znajdującej się na wysokości h nad powierzchnią Ziemi na orbitę znajdującą się na wysokości h1 = 300 km od powierzchni Ziemi?
c) Podaj zaleŜność okresu T1 obiegu satelity na orbicie bliŜszej i okresu T2 obiegu satelity na orbicie dalszej.
d) Jaką pracę W1 naleŜałoby wykonać nad ciałem poruszającym się po orbicie w odległości h = 160 km od powierzchni
Ziemi, aby opuściło pole grawitacyjne Ziemi?
Zad.12. Promy kosmiczne odbywają loty po orbicie okołoziemskiej, na wysokości ok. 500 km nad powierzchnią Ziemi.
1 Określ, jaka siła pełni rolę siły dośrodkowej, działającej na prom kosmiczny okrąŜający Ziemię.
2. Oblicz długość orbity kołowej, po której porusza się prom kosmiczny wokół Ziemi. Oblicz, ile razy długość tej orbity jest większa od obwodu Ziemi, który wynosi w przybliŜeniu 4*104 km.
3. Oblicz średnią szybkość promu kosmicznego na wspomnianej orbicie, mając dane: masę Ziemi Μ, promień Ziemi R i stałą grawitacji G.
4. Znając prędkość promu kosmicznego υ = 7600 m/s oraz promień Ziemi R = 6370 km oblicz, ile czasu potrzebuje on na jedno
pełne okrąŜenie Ziemi.