DW ÓCH
ZM
I E N N YCH
D E FIN ICJA . F uncja dwóch zmiennych o kr e ś lo n a w z b io r z e
D ⊂ R2, t o p r z y-
p o r z a¸ d ko wa n ie ka z˙d e m u p u n kt o wi ( x, y) ∈ D d o k#la d n ie je d n e j lic z b y r z e c z ywis t e j f ( x, y) .
D E FIN ICJA . W ykr e s
fu n kc ji f : D → R, t o z b ió r
W = {( x, y, z) : z = f( x, y) , ( x, y) ∈ D}.
D E FIN ICJA .
Otoczenie p u n kt u ( x0, y0) o p r o m ie n iu
δ > 0 , t o z b ió r
Q = {( x, y) : ( x − x0) 2 + ( y − y0) 2 < δ2}.
S¸
asiedztwo p u n kt u ( x0, y0) o p r o m ie n iu
δ > 0 , t o z b ió r
Sδ( x0, y0) = {( x, y) : 0 < ( x − x0) 2 + ( y − y0) 2 < δ2}.
D E FIN ICJA . P u n kt ( x0, y0) n a z ywa m y:
1 . punktem wewn¸etrznym z b io r u D, g d y is t n ie je o t o c z e n ie t e g o p u n kt u z a wa r t e w z b io r z e D;
2 . punktem brzegowym z b io r u D, g d y ka z˙d e o t o c z e n ie t e g o p u n kt u z a wie r a ja kiś p u n kt z e z b io r u D i ja kiś p u n kt n ie n a le z˙aç y d o D;
3 . punktem skupienia z b io r u D, g d y w ka z˙d ym
s a¸ s ie d z t wie t e g o p u n kt u is t n ie je
ja kiś p u n kt z e z b io r u D.
D E FIN ICJA .
Zb ió r ws z ys t kic h p u n kt ó w we wn ¸e t r z n yc h z b io r u D t o wn¸etrze t e g o z b io r u .
Zb ió r ws z ys t kic h p u n kt ó w b r z e g o wyc h z b io r u D t o brzeg t e g o z b io r u .
Zb ió r D je s t otwarty, g d y ka z˙d y je g o p u n kt je s t p u n kt e m
we wn ¸e t r z n ym
t e g o z b io r u .
Zb ió r D je s t domkni¸ety, g d y z a wie r a ws z ys t kie s wo je p u n kt y s ku p ie n ia .
Zb ió r D n a z ywa m y obszarem, g d y je s t o t wa r t y i g d y ka z˙d e d wa p u n kt y t e g o z b io r u m o z˙n a p o #laç z yć #la m a n a¸ z a wa r t a¸ w t ym
z b io r z e .
D E FIN ICJA . Za #ló z˙m y, z˙e d z ie d z in a¸ fu n kc ji f ( x, y) je s t z b ió r D. P o n a d t o n ie c h ( x0, y0) ∈ D b ¸e d z ie p u n kt e m s ku p ie n ia z b io r u D. Mó wim y, z˙e fu n kc ja f je s t ci¸agla w punkcie ( x0, y0) , g d y
f ( x0, y0) − ǫ < f( x, y) < f( x0, y0) + ǫ.
ǫ>0 δ>0
(x,y)∈D∩Sδ(x0,y0)
Za #ló z˙m y. z˙e ka z˙d y p u n kt z e z b io r u D je s t p u n kt e m
s ku p ie n ia t e g o z b io r u . Fu n kc ja
f je s t c ia¸ g #la w z b io r z e D, g d y je s t c ia¸ g #la w ka z˙d ym
p u n kc ie t e g o z b io r u .
D E FIN ICJA . Za #ló z˙m y, z˙e fu n kc ja f ( x, y) je s t o kr e ś lo n a w p e wn ym
o t o c z e n iu p u n kt u
( x0, y0) . Je z˙e li is t n ie je s ko nć z o n a g r a n ic a
f ( x
lim
0 + h, y0) − f ( x0, y0) ,
h→0
h
1
ja¸ pochodn¸a cz¸astkow¸a funkcji f wzgl¸edem zmiennej x w punkcie
( x0, y0) i o z n a c z a m y f ′x( x0, y0) .
P o d o b n ie d e fi n iu je m y pochodn¸a cz¸astkow¸a funkcji f wzgl¸edem zmiennej y w punkcie
( x0, y0) :
f ( x
f ′
0, y0 + h) − f ( x0, y0) .
y ( x0, y0)
= lim
h→0
h
P o c h o d n e t e n a z ywa m y p o c h o d n ym i c z a¸ s t ko wym i pierwszego rz¸edu.
P R ZY K L# A D . Ob lic z , z d e fi n ic ji, f ′x o r a z f′y, g d y f( x, y) = x2y.
f ( x + h, y) − f( x, y)
( x + h) 2y − x2y
f ′x( x, y) = lim
= lim
h→0
h
h→0
h
x2y + 2 xhy + h2y − x2y
= lim
= lim ( 2 xy + hy) = 2 xy
h→0
h
h→0
f ( x, y + h) − f( x, y)
x2( y + h) − x2y
f ′y( x, y) = lim
= lim
h→0
h
h→0
h
x2y + x2h − x2y
= lim
= x2
h→0
h
D E FIN ICJA . Za #ló z˙m y, z˙e n ≥ 2 je s t lic z b a¸ n a t u r a ln a¸ . P ochodna cz¸astkowa n-tego
rz¸edu t o p o c h o d n a c z a¸ s t ko wa p o c h o d n e j c z a¸ s t ko we j r z ¸e d u n − 1 .
P R ZY K L# A D . Ob lic z p o c h o d n e c z a¸ s t ko we d r u g ie g o r z ¸e d u fu n kc ji f ( x, y) = x2y.
f ′
′
x = 2 xy, f ′y = x2, f ′′
xx = f ′x
= 2 xy) ′
x
x = 2 y, f ′′
yy = 0 , f ′′
xy = f ′′
yx = 2 x.
TW IE R D ZE N IE .
Je z˙e li p o c h o d n e m ie s z a n e f ′′xy, f′′yx s aç ia¸ g #le w p e wn ym
o b s z a r z e , t o s a¸ r ó wn e .
D E FIN ICJA . Za #ló z˙m y, z˙e fu n kc ja f ( x, y) je s t o kr e ś lo n a w p e wn ym
o t o c z e n iu Q
p u n kt u ( x0, y0) . Mó wim y, z˙e fu n kc ja f ( x, y) o s ia¸ g a w p u n kc ie ( x0, y0) minimum
lokalne, g d y is t n ie je s a¸ s ie d z t wo S p u n kt u ( x0, y0) z a wa r t e w z b io r z e Q t a kie , z˙e
f ( x, y) > f ( x0, y0) .
(x,y)∈S
Mó wim y, z˙e fu n kc ja f ( x, y) o s ia¸ g a w p u n kc ie ( x0, y0) maksimum lokalne, g d y is t n ie je s a¸ s ie d z t wo S p u n kt u ( x0, y0) z a wa r t e w z b io r z e Q t a kie , z˙e
f ( x, y) < f ( x0, y0) .
(x,y)∈S
K ON IE CZN Y IS TN IE N IA E K S TR E MU M.
Je z˙e li fu n kc ja
f ( x, y) m a
e ks t r e m u m
lo ka ln e w p u n kc ie ( x0, y0) i je z˙e li is t n ie ja¸
p o c h o d n e c z a¸ s t ko we p ie r ws z e g o r z ¸e d u w p u n kc ie ( x0, y0) , t o
f ′x( x0, y0) = 0
i f ′y( x0, y0) = 0 .
OZN A CZE N IE .
D( x, y) = f ′′xy( x, y) 2 − f′′xx( x, y) f′′yy( x, y)
W yr a z˙e n ie t o n a z ywa m y wyróżnikiem fu n kc ji f w p u n kc ie ( x, y) .
W A R U N E K
W Y S TA R CZA JAÇY IS TN IE N IA E K S TR E MU M.
Za #ló z˙m y, z˙e w p e wn ym
o t o c z e n iu p u n kt u ( x0, y0) is t n ie jaç ia¸ g #le p o c h o d n e d r u g ie g o
r z ¸e d u fu n kc ji f ( x, y) o r a z z˙e
f ′x( x0, y0) = 0
i f ′y( x0, y0) = 0 .
1 . Je z˙e li D( x0, y0) > 0 , t o fu n kc ja f n ie m a e ks t r e m u m
w p u n kc ie ( x0, y0) .
2 . Je z˙e li D( x0, y0) < 0 , t o fu n kc ja f m a e ks t r e m u m
lo ka ln e w p u n kc ie ( x0, y0) ;
g d y f ′′xx( x0, y0) < 0 , t o o s ia¸ g a m a ks im u m , a g d y f′′xx( x0, y0) > 0 t o o s ia¸ g a m in im u m .
TW IE R D ZE N IE . Fu n kc ja c ia¸ g #la w z b io r z e d o m kn i¸e t ym
i o g r a n ic z o n ym
o s ia¸ g a w
p e wn yc h p u n kt a c h t e g o z b io r u s wo ja¸ wa r t o ś ć n a jwi¸e ks z a¸ i n a jm n ie js z a¸ ( e ks t r e m a g lo b a ln e ) .
U W A GA .
A b y z n a le ź ć e ks t r e m a g lo b a ln e fu n kc ji f ( x, y) w z b io r z e d o m kn i¸e t ym
i o g r a n ic z o n ym
D wys t a r c z y:
1 . z n a le ź ć p u n kt y ” p o d e jr z a n e o e ks t r e m u m ” we wn ¸e t r z u z b io r u D ( t o z n a c z y p u n kt y, w kt ó r yc h o b ie p o c h o d n e c z a¸ s t ko we p ie r ws z e g o r z ¸e d u s a¸ r ó wn e z e r o lu b p r z yn a jm n ie j je d n a z n ic h n ie is t n ie je ) ;
2 . o b lic z yć wa r t o ś c i fu n kc ji f w t yc h p u n kt a c h ;
3 . z n a le ź ć p u n kt y ” p o d e jr z a n e ” n a b r z e g u z b io r u D ( n a o g ó #l d z ie laç b r z e g n a
” d o g o d n e ” fr a g m e n t y) o r a z o b lic z yć wa r t o ś c i fu n kc ji f w t yc h p u n kt a c h ; 4 . z u z ys ka n yc h lic z b wyb r a ć n a jwi¸e ks z a¸ i n a jm n ie js z a¸ .
P R ZY K L# A D .
Zn a le ź ć e ks t r e m a lo ka ln e fu n kc ji f ( x, y) = x2 + y2 o r a z z n a le ź ć wa r t o ś ć n a jwi¸e ks z a¸
i n a jm n ie js z a¸ t e j fu n kc ji w z b io r z e
D = {( x, y) : x2 + y2 ≤ 1 0 0 , y ≥ 8 }.
P o c h o d n e c z a¸ s t ko we f ′x( x, y) = 2 x, f′y( x, y) = 2 y z e r u ja¸ s i¸e d la x = 0 , y = 0 , z a t e m p u n kt e m
” p o d e jr z a n ym ” o e ks t r e m u m
je s t ( 0 , 0 ) . W
t ym
p u n kc ie fu n kc ja f o s ia¸ g a
m in im u m
lo ka ln e , g d yz˙ wyr ó z˙n ik D( 0 , 0 ) = 0 − 2 · 2 < 0 o r a z f′′xx( 0 , 0 ) = 2 > 0 .
P u n kt ( 0 , 0 ) n ie n a le z˙y d o z b io r u D, wi¸e c n ie u wz g l¸e d n ia m y g o p r z y s z u ka n iu e ks -
t r e m ó w g lo b a ln yc h fu n kc ji f w z b io r z e D. P o z o s t a je z b a d a ć z a c h o wa n ie fu n kc ji f n a b r z e g u z b io r u D. D o g o d n ie b ¸e d z ie p o d z ie lić t e n b r z e g n a d wa fr a g m e n t y: b1 = {x, y) : x2 + y2 = 1 0 0 , −6 ≤ x ≤ 6 } o r a z b2 = {x, y) : y = 8 , −6 < x < 6 }.
f ( x, y) = 1 0 0
d la
( x, y) ∈ b1. P o n a d t o
f ( x, y) = x2 + 6 4
d la
( x, y) ∈ b2. N ie c h
f2( x) = x2 + 6 4 . Oc z ywiś c ie
f ′2( x) = 2 x. P o c h o d n a t a
s i¸e z e r u je d la x = 0 . Ob lic z a m y wa r t o ś ć fu n kc ji:
f2( 0 ) = 6 4 . Za t e m
wa r t o ś c ia¸
n a jwi¸e ks z a¸ fu n kc ji f w D je s t 1 0 0 , a wa r t o ś c ia¸ n a jm n ie js z a¸ je s t 6 4 .
D E FIN ICJA . L ic z b a M je s t globalnym maksimum warunkowym fu n kc ji f( x, y) p r z y
wa r u n ku
g( x, y) = 0 , je z˙e li s p e #ln io n e s a¸ d wa wa r u n ki:
1 . is t n ie je p u n kt ( x0, y0) t a ki, z˙e
f ( x0, y0) = M i g( x0, y0) = 0 ;
2 . d la ka z˙d e g o ( x, y) t a kie g o , z˙e
g( x, y) = 0
m a m y f ( x, y) ≤ M.
L ic z b ¸e m n a z ywa m y globalnym minimum warunkowym fu n kc ji f ( x, y) p r z y wa r u n ku
g( x, y) = 0 , je z˙e li s p e #ln io n e s a¸ d wa wa r u n ki:
1 . is t n ie je p u n kt ( x0, y0) t a ki, z˙e
f ( x0, y0) = m i g( x0, y0) = 0 ;
2 . d la ka z˙d e g o ( x, y) t a kie g o , z˙e
g( x, y) = 0
m a m y f ( x, y) ≥ m.
S CH E MA T ZN A JD OW A N IA E K S R E M ÓW
W A R U N K OW Y CH .
Za k#la d a m y, z˙e fu n kc je f( x, y) o r a z g( x, y) m a ja¸ p o c h o d n e c z a¸ s t ko we p ie r ws z e g o r z ¸e d u . Two r z ym y fu n kc j¸e L a g r a n g e ’a :
F ( x, y) = f ( x, y) + λg( x, y) .
P u n kt y ” p o d e jr z a n e ” o wa r u n ko we e ks t r e m u m
( lo ka ln e ) o t r z ym u je m y r o z wia¸ z u jaç
u k#la d t r z e c h r ó wn a n´ :
F ′x( x, y) = 0 , F ′y( x, y) = 0 , g( x, y) = 0 .
Je z˙e li kr z ywa o p is a n a wa r u n kie m
( t z n . z b ió r p u n kt ó w o p is a n yc h
r ó wn a n ie m
g( x, y) = 0 ) je s t kr z ywa¸ z a m kn i¸e t a¸ , t o lic z ym y wa r t o ś c i fu n kc ji f w p u n kt a c h ” p o d e j-r z a n yc h ” i wyb ie r a m y z n ic h wa r t o ś ć n a jwi¸e ks z a¸ i n a jm n ie js z a¸ .
Je z˙e li kr z ywa o p is a n a wa r u n kie m
m a ” ko nć e ” , t o lic z ym y wa r t o ś c i fu n kc ji f w
p u n kt a c h ” p o d e jr z a n yc h ” le z˙aç yc h n a t e j kr z ywe j o r a z lic z ym y wa r t o ś c i f n a ko nć a c h kr z ywe j i n a s t ¸e p n ie z u z ys ka n yc h
wa r t o ś c i wyb ie r a m y wa r t o ś ć n a jwi¸e ks z a¸ i n a j-
m n ie js z a¸ .
P R ZY K L# A D
1 A . Za le ź ć n a jwi¸e ks z a¸ i n a jm n ie js z a¸ wa r t o ś ć fu n kc ji f ( x, y) = xy
p r z y wa r u n ku
x2 + y2 = 2 .
Two r z ym y fu n kc j¸e L a g r a n g e ’a :
F ( x, y) = xy + λ( x2 + y2 − 2 ) .
R o z wia¸ z u jaç u k#la d
y + 2 xλ = 0 , x + 2 yλ + 0 , x2 + y2 − 2 = 0
o t r z ym a m y c z t e r y r o z wia¸ z a n ia :
x1 = 1 , y1 = 1 ;
x2 = −1 , y2 = −1 ; x3 = 1 , y3 = −1 ; x4 = −1 , y4 = 1
( la m b d y n a s ” n ie in t e r e s u ja¸ ” ) . Za t e m
s aç z t e r y p u n kt y ” p o d e jr z a n e ” :
P1( 1 , 1 ) , P2( −1 , −1 ) , P3( 1 , −1 ) , P4( −1 , 1 ) .
K r z ywa o p is a n a wa r u n kie m
t o o kr a¸ g ( kr z ywa z a m kn i¸e t a ) . W ys t a r c z y z a t e m
o b lic z yć
wa r t o ś c i fu n kc ji f w p u n kt a c h ” p o d e jr z a n yc h ”
f ( 1 , 1 ) = 1 , f( −1 , −1 ) = 1 , f( 1 , −1 ) = −1 , f( −1 , 1 ) = −1 .
W a r t o ś c ia¸ n a jwi¸e ks z a¸ je s t 1 , a n a jm n ie js z a¸ je s t −1 .
P R ZY K L# A D
1 B . Za le ź ć n a jwi¸e ks z a¸ i n a jm n ie js z a¸ wa r t o ś ć fu n kc ji f ( x, y) = xy
p r z y wa r u n ku
x2 + y2 = 2
d la
x ≥ 0 , y ≥ 0 .
Tym
r a z e m
kr z ywa o p is a n a
wa r u n kie m
t o
( p ie r ws z a ) ć wia r t ka o kr ¸e g u
r a z e m
z
√
√
’ko nć a m i” :
K1( 0 , 2 ) , K2(
2 , 0 ) . Z p r z yk#la d u 1 A
wie m y, z˙e s aç z t e r y p u n kt y
” p o d e jr z a n e ” :
P1( 1 , 1 ) , P2( −1 , −1 ) , P3( 1 , −1 ) , P4( −1 , 1 ) .
N a n a s z e j kr z ywe j le z˙y je d yn ie p u n kt P1. W ys t a r c z y z a t e m
o b lic z yć wa r t o ś c i fu n kc ji
f w P1 i n a ko nć a c h kr z ywe j:
√
√
f ( P1) = f ( 1 , 1 ) = 1 , f ( K1) = f ( 0 , 2 ) = 0 , f ( K2) = f (
2 , 0 ) = 0 .
W a r t o ś c ia¸ n a jwi¸e ks z a¸ je s t 1 , a n a jm n ie js z a¸ je s t 0 .
D E FIN ICJA . R óżniczk¸a fu n kc ji f ( x, y) w p u n kc ie ( x0, y0) ( d la p r z yr o s t ó w dx, dy) n a z ywa m y wyr a z˙e n ie
df ( x0, y0) = f ′x( x0, y0) dx + f′y( x0, y0) dy
( z a k#la d a m y t u , z˙e fu n kc je f, f ′x, f′y s aç ia¸ g #le w p e wn ym
o b s z a r z e ) .
W L# A S N OŚ Ć.
df ( x0, y0) ≈ ∆ f = f( x0 + dx, y0 + dy) − f( x0, y0) .
W L# A S N OŚ Ć.
Za k#la d a m y, z˙e p e wn e wie lko ś c i fi z yc z n e s a¸ p o wia¸ z a n e wz o r e m
z = f( x, y) ( z a k#la d a m y
t u , z˙e fu n kc je f , f ′x, f′y s aç ia¸ g #le ) . Je z˙e li ∆ x, ∆ y o z n a c z a ja¸ b #l¸e d y ( b e z wz g l¸e d n e ) p r z y p o m ia r z e wie lko ś c i x o r a z y, t o b #la¸ d ( b e z wz g l¸e d n y) p r z y o b lic z e n iu wie lko ś c i z je s t w p r z yb liz˙e n iu r ó wn y
∆ z ≈ |f′x|∆ x + |f′y|∆ y.
P L# A S ZCZY ZN A S TY CZN A d o wykr e s u fu n kc ji z = f ( x, y) w p u n kc ie ( x0, y0, z0)
m a r ó wn a n ie
z − z0 = f′x( x0, y0) ( x − x0) + f′y( x0, y0) ( y − y0)
( z a k#la d a m y t u , z˙e fu n kc je f, f ′x, f′y s aç ia¸ g #le w p e wn ym
o b s z a r z e ) .
P R ZY K L# A D .
N a p is z r ó wn a n ie p #la s z c z yz n y s t yc z n e j d o wykr e s u fu n kc ji f ( x, y) =
9 − x2 − y2
w p u n kc ie
( 1 , −2 , 2 ) .
−x
1
−y
f ′
, f ′
, f ′
, f ′
x =
x( 1 , −2 , 2 ) = −
y =
y ( 1 , −2 , 2 )
= 1 ;
9 − x2 − y2
2
9 − x2 − y2
p #la s z c z yz n a m a r ó wn a n ie : z −2 = −1( x −1 ) +( y +2 ) , c z yli −1x+ y −z +4 , 5 = 0 .
2
2