Zakres podstawowy
Praca klasowa nr 1 gr. A
(Kod: K1_D1_P_K1A)
Zadanie 1. (3 p.)
Oceń wartości logiczne zdań:
a) Trójkąt, którego boki mają długości 6, 8, 10 jest prostokątny.
b) Dla dowolnej liczby x prawdziwa jest równość: (x – 4)2 = x2 + 16.
c) Istnieje wielokąt, którego liczba przekątnych jest równa liczbie jego boków.
Zadanie 2. (4 p.)
Uczeń przystąpił do egzaminu składającego się z dwóch części. Z każdej części mógł uzyskać maksymalnie po 15 punktów. Warunkiem zdania egzaminu było uzyskanie z każdej części co najmniej po 7 punktów i z obu części w sumie więcej niż 15 punktów. Czy z całą pewnością możemy stwierdzić, który z chłopców zdał egzamin, a któremu się nie powiodło jeśli: a) Wacek uzyskał w sumie z obu części 60% możliwych punktów.
b) Piotr otrzymał z jednej części 10 punktów, a w sumie uzyskał 16 punktów.
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 3. (4 p.)
Oceń wartości logiczne zdań:
p: – 24 = 16, q:
2
2
3 + 4 = 7, r: 2 jest liczbą pierwszą,
a następnie oceń wartość logiczną zdania: (p ⇒ q) ∧ r.
Zadanie 4. (3 p.)
Poniżej podane są twierdzenia. Oceń ich wartości logiczne.
a) Jeśli liczba jest podzielna przez 3, to jest podzielna przez 6.
b) Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to ten czworokąt jest rombem.
c) Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty ostre, to jest ostrokątny.
Zadanie 5. (3 p.)
Podaj prawo negacji alternatywy i udowodnij je. Napisz negację zdania: Pojadę w góry lub nie pojadę nad morze.
Zadanie 6. (3 p.)
Oznaczmy zdania: p – Mój ojciec ma nowe renault clio.
q – Moja mama nie ma prawa jazdy.
r – Ojciec podwozi mamę do pracy.
Zapisz zdanie: (p ∧ q) ⇒ r. Podaj zaprzeczenie utworzonego zdania, korzystając z prawa negacji implikacji: ¬(p ⇒ q) ⇔ [p ∧ (¬q)].
Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie: Jeś li Tomek jest gimnazjalistą , to Jacek jest licealistą i nieprawda, ż e jeś li Wojtek studiuje prawo, to Tomek nie jest gimnazjalistą . Czy prawdą jest, że Tomek jest gimnazjalistą, Jacek licealistą, a Wojtek studentem prawa?
(Kod: K1_D1_P_K1A)
1. Zdania prawdziwe – a, c; zdanie fałszywe – b.
2. Nie wiadomo czy Wacek zdał egzamin, czy nie zdał egzaminu; Piotr nie zdał.
3. w(p) = 0, w(q) = 0, w(r) = 1, w[(p ⇒ q) ∧ r] = 1.
4. Twierdzenia fałszywe – a, b; twierdzenie prawdziwe – c.
5. Nie pojadę w góry i pojadę nad morze.
6. Zdanie brzmi: Jeś li mój ojciec ma nowe renault clio i moja mama nie ma prawa jazdy to ojciec podwozi mamę do pracy. Zdanie po negacji: Mój ojciec ma nowe renault clio i moja mama nie ma prawa jazdy i ojciec nie podwozi mamy do pracy.
7. Tak.
Zakres podstawowy
Praca klasowa nr 1 gr. B
(Kod: K1_D1_P_K1B)
Zadanie 1. (3 p.)
Oceń wartości logiczne zdań:
a) Trójkąt, którego boki mają długości 5, 12, 13 jest prostokątny.
b) Dla dowolnej liczby x prawdziwa jest równość: (x + 3)2 = x2 + 3x + 9.
c) Istnieje trójkąt, który ma dwa kąty rozwarte.
Zadanie 2. (4 p.)
Uczeń przystąpił do egzaminu składającego się z dwóch części. Z każdej części mógł uzyskać maksymalnie po 15 punktów. Warunkiem zdania egzaminu było uzyskanie z każdej części co najmniej po 7 punktów i z obu części w sumie więcej niż 15 punktów. Czy z całą pewnością możemy stwierdzić, który z chłopców zdał egzamin, a któremu się nie powiodło jeśli: a) Marcin uzyskał w sumie z obu części 16 punktów.
b) Piotr otrzymał z jednej części 8 punktów, a w sumie uzyskał 45% punktów.
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 3. (4 p.)
Oceń wartości logiczne zdań:
p: – 32 = – 9, q: 25 + 49 = 12, r: 3 jest liczbą pierwszą,
a następnie oceń wartość logiczną zdania: (p ⇒ q) ∧ r.
Zadanie 4. (3 p.)
Poniżej podane są twierdzenia. Oceń ich wartości logiczne.
a) Jeśli liczba jest podzielna przez 4, to jest podzielna przez 2.
b) Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to ten czworokąt jest kwadratem.
c) Jeśli trójkąt ma dwa kąty ostre, to jest ostrokątny.
Zadanie 5. (3 p.)
Podaj prawo negacji koniunkcji i udowodnij je. Napisz negację zdania: Nie kupię pomidorów i kupię mandarynki.
Zadanie 6. (3 p.)
Oznaczmy zdania: p – Pan Kowalski kupił kwiaty.
q – Męż czyzna wybrał róż e.
r – Róż e są herbaciane.
Zapisz zdanie: (p ∧ q) ⇒ r. Podaj zaprzeczenie utworzonego zdania, korzystając z prawa negacji implikacji: ¬(p ⇒ q) ⇔ [p ∧ (¬q)].
Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie: Jeś li Ania dostała pią tkę z klasówki, to Beata dostała trójkę i nieprawdą jest, ż e Ania dostała pią tkę i Beata trójkę . Czy Ania dostała piątkę z klasówki?
(Kod: K1_D1_P_K1B)
1. Zdanie prawdziwe – a; zdania fałszywe – b, c.
2. Nie wiadomo czy Marcin zdał, czy nie zdał egzaminu; Piotr nie zdał.
3. w(p) = 1, w(q) = 0, w(r) = 1, w[(p ⇒ q) ∧ r] = 0.
4. Twierdzenie prawdziwe – a, twierdzenia fałszywe – b, c.
5. Kupię pomidory lub nie kupię mandarynek.
6. Zdanie brzmi: Jeś li pan Kowalski kupił kwiaty i męż czyzna wybrał róż e, to róż e są
herbaciane. Zdanie po negacji: Pan Kowalski kupił kwiaty i męż czyzna wybrał róż e i róż e nie są herbaciane.
7. Nie.
Zakres podstawowy
Praca klasowa nr 2 gr. A
(Kod: K1_D1_P_K2A)
Zadanie 1. (3 p.)
Które z poniższych wypowiedzi są zdaniami logicznymi prawdziwymi?
a) x + 1 = 3.
c) Czy masz dobry humor?
b) 1 < 3.
d) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni.
Zadanie 2. (3 p.)
Dane jest twierdzenie: Jeś li liczba naturalna jest podzielna przez 2 i przez 3, to jest podzielna przez 6.
a) Czy podane twierdzenie jest prawdziwe?
b) Sformułuj twierdzenie odwrotne do danego.
c) Oceń wartość logiczną twierdzenia odwrotnego do danego.
Zadanie 3. (3 p.)
Wiadomo, że w(p ⇒ q) = 0. Jaką wartość logiczną ma zdanie: [p ∧ (¬q )] ⇔ q ?
Zadanie 4. (3 p.)
Dane są zdania:
p: 2 jest liczbą wymierną, q: 3 jest większe od 8.
a) Napisz alternatywę powyższych zdań używając symboli matematycznych, a następnie podaj zaprzeczenie utworzonego zdania.
b) Oceń wartość logiczną alternatywy zdań.
Zadanie 5. (4 p.)
Uzupełnij tabelkę i oceń, czy wyrażenie rachunku zdań: (¬p ∧ q) ⇒ (p ⇔ q) jest prawem logicznym.
p
q
¬p
¬p ∧ q
p ⇔ q
(¬p ∧ q) ⇒ (p ⇔ q)
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
Zadanie 6. (4 p.)
Oceń wartość logiczną zdania: Dowolna liczba rzeczywista dodatnia jest nie mniejsza od odwrotnoś ci tej liczby i zapisz je, używając kwantyfikatorów i symboli matematycznych.
Podaj jego negację.
Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie: Nieprawda, ż e jeś li Platon założ ył Akademię , to jeś li Arystoteles był
uczniem Platona, to Arystoteles nie uczę szczał do Akademii.
Czy na podstawie tej informacji można udzielić odpowiedzi na pytanie: Czy Platon założ ył
Akademię ? Jeśli tak, to podaj i uzasadnij tę odpowiedź.
(Kod: K1_D1_P_K2A)
1. Tylko b) jest zdaniem prawdziwym.
2. a) Tak;
b) Jeśli liczba jest podzielna przez 6 to jest podzielna przez 2 i przez 3;
c) Twierdzenie jest prawdziwe.
3. Zdanie jest prawdziwe.
4. a) 2 ∈ W ∨ 3 > 8 ; 2 ∉ W ∧ 3 ≤ 8 ;
b) Zdanie jest fałszywe.
5. Wyrażenie rachunku zdań nie jest tautologią.
1
1
6. a
∀ ∈ R : a ≥
; zdanie po negacji: a
∃ ∈ R : a <
.
+
a
+
a
7. Tak.
Zakres podstawowy
Praca klasowa nr 2 gr. B
(Kod: K1_D1_P_K2B)
Zadanie 1. (3 p.)
Które z poniższych wypowiedzi są zdaniami logicznymi fałszywymi?
a) 4 jest liczbą nieparzystą.
c) x + 1 < 6
b) π ma wartość równą 3,14.
d) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Zadanie 2. (3 p.)
Dane jest twierdzenie: Jeś li liczba naturalna jest podzielna przez 15, to jest podzielna przez 3.
a) Czy podane twierdzenie jest prawdziwe?
b) Sformułuj twierdzenie odwrotne do danego.
c) Oceń wartość logiczną twierdzenia odwrotnego do danego.
Zadanie 3. (3 p.)
Wiadomo, że w(p ∨ q) = 0. Jaką wartość logiczną ma zdanie: (¬p ∧ q ) ⇒ p?
Zadanie 4. (3 p.)
Dane są zdania:
p: 3 jest liczbą niewymierną, q: 4 = –2.
a) Napisz koniunkcję powyższych zdań używając symboli matematycznych, a następnie podaj zaprzeczenie utworzonego zdania.
b) Oceń wartość logiczną koniunkcji zdań.
Zadanie 5. (4 p.)
Uzupełnij tabelkę i oceń, czy wyrażenie rachunku zdań: [(p ⇒ q) ∨ (¬q)] ⇔ p jest prawem logicznym.
p
q
p ⇒ q
¬q
(p ⇒ q) ∨ (¬q)
[(p ⇒ q) ∨ (¬q)] ⇔ p
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
Zadanie 6. (4 p.)
Oceń wartość logiczną zdania: Dla każ dej liczby rzeczywistej x suma liczby x i jej kwadratu jest dodatnia i zapisz je, używając kwantyfikatorów i symboli matematycznych. Podaj jego negację.
Zadanie 7.***
Prawdziwe jest zdanie: Nieprawda, ż e jeś li Platon założ ył Akademię , to jeś li Arystoteles był
uczniem Platona, to Arystoteles nie uczę szczał do Akademii.
Czy na podstawie tej informacji można udzielić odpowiedzi na pytanie: Czy Arystoteles był
uczniem Platona? Jeśli tak, to podaj i uzasadnij tę odpowiedź.
(Kod: K1_D1_P_K2B)
1. Zdania logiczne fałszywe – a, b.
2. a) Twierdzenie jest prawdziwe;
b) Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to jest podzielna przez 15;
c) Twierdzenie jest fałszywe.
3. Zdanie prawdziwe.
4. a) 3 ∈ NW ∧ 4 = 2
− ; 3 ∉ NW ∨ 4 ≠ 2
− ;
b) Zdanie fałszywe.
5. Nie jest prawem logicznym.
6. x
∀ ∈ R : x + x 2 > 0 ; zdanie po negacji x
∃ ∈ R : x 2 + x ≤ 0 .
7. Tak
Zakres rozszerzony
Praca klasowa nr 1 gr. A
(Kod: K1_D1_R_K1A)
Zadanie 1. (5 p.)
Określ, które z poniższych wyrażeń jest zdaniem, a które formą zdaniową. Poniższe wypowiedzi zapisz za pomocą kwantyfikatorów oraz symboli matematycznych. Oceń
wartości logiczne zdań.
a) Odwrotność liczby a jest równa 5 lub a jest liczbą podzielną przez 7.
b) Istnieje liczba rzeczywista p, której wartość bezwzględna jest liczbą niedodatnią.
c) Pierwiastek kwadratowy z kwadratu dowolnej liczby rzeczywistej b jest równy tej liczbie.
Zadanie 2. (5 p.)
a) Podaj prawo negacji implikacji dwóch zdań.
b) Udowodnij prawo negacji implikacji dwóch zdań.
c) Podaj zaprzeczenie zdania: Jeś li bę dę otrzymywał dobre stopnie w liceum to dostanę się na studia lub wyjadę na stypendium za granicę .
Zadanie 3. (2 p.)
Wiadomo, że w(p ∧ q) = 1. Jaką wartość logiczną ma zdanie: [(¬p ⇔ q) ∧ (p ∨ q)] ⇒ q?
Zadanie 4. (5 p.)
Wśród poniższych twierdzeń znajdują się twierdzenia prawdziwe oraz fałszywe.
Wybierz twierdzenia fałszywe. Utwórz twierdzenia odwrotne do nich i oceń ich wartość logiczną.
a) Jeśli liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 12.
b) Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to ten czworokąt jest kwadratem.
c) Jeśli trójkąt jest ostrokątny, to ma wszystkie kąty ostre.
Zadanie 5. (3 p.)
Wyznacz dziedzinę formy zdaniowej: 2x − 3 = 5 ∧ x2 – 8x + 16 = 0. Podaj zbiór wszystkich elementów, które spełniają tę formę zdaniową.
Zadanie 6.***
Napisz negację zdania: Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy ś wieci słoń ce.
(Kod: K1_D1_R_K1A)
1
1. a)
= 5 ∨ 7 | a ;
a
b) p
∃ ∈ r :| p |≤ 0 ( zdanie prawdziwe);
c) b
∀ ∈ R : b2 = b (zdanie fałszywe).
2. a) [¬(p ⇒ q)] ⇔ [p ∧ (¬q)];
c) Bę dę otrzymywał dobre stopnie w liceum i nie dostanę się na studia i nie wyjadę na stypendium za granicę.
3. Zdanie jest prawdziwe.
4. Twierdzenia fałszywe – a, b;
a) Jeśli liczba jest podzielna przez 12, to jest parzysta (twierdzenie prawdziwe).
b) Jeśli czworokąt jest kwadratem, to jego przekątne przecinają się pod kątem prostym (twierdzenie prawdziwe).
1
5. D = 〈 1
, +∞) ; x ∈ {4}.
2
6. Trawa jest zielona i nie ś wieci słoń ce lub ś wieci słoń ce i trawa nie jest zielona.
Zakres rozszerzony
Praca klasowa nr 1 gr. B
(Kod: K1_D1_R_K1B)
Zadanie 1. (5 p.)
Określ, które z poniższych wyrażeń jest zdaniem, a które formą zdaniową. Poniższe wypowiedzi zapisz za pomocą kwantyfikatorów oraz symboli matematycznych. Oceń
wartości logiczne zdań.
a) Liczba przeciwna do liczby a jest równa 5 lub a jest liczbą podzielną przez 3.
b) Istnieje liczba rzeczywista r, której kwadrat jest liczbą niedodatnią.
c) Pierwiastek kwadratowy z kwadratu dowolnej liczby rzeczywistej y jest równy wartości bezwzględnej tej liczby.
Zadanie 2. (5 p.)
a) Podaj prawo alternatywy dwóch zdań.
b) Udowodnij prawo alternatywy dwóch zdań.
c) Podaj zaprzeczenie zdania: Jem duż o cukierków lub jeś li jest gorą co, to nie gardzę lodami.
Zadanie 3. (2 p.)
Wiadomo, że w(p ⇒ q) = 0. Jaką wartość logiczną ma zdanie: [(¬p ⇔ q) ∧ (p ∨ q)] ⇒ q?
Zadanie 4. (5 p.)
Wśród poniższych twierdzeń znajdują się twierdzenia prawdziwe oraz fałszywe.
Wybierz twierdzenia fałszywe. Utwórz twierdzenia odwrotne do nich i oceń ich wartość logiczną.
a) Jeśli liczba jest nieparzysta, to jest podzielna przez 3.
c) Jeśli przekątne czworokąta przecinają się pod kątem prostym, to ten czworokąt jest deltoidem.
c) Jeśli trójkąt jest rozwartokątny, to ma jeden kąt rozwarty.
Zadanie 5. (3 p.)
Wyznacz dziedzinę formy zdaniowej:
x
3 − 5 = 2 ∧ x2 – 9 = 0. Podaj zbiór wszystkich
elementów, które spełniają tę formę zdaniową.
Zadanie 6.***
Napisz negację zdania: Jest smutno wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz.
(Kod: K1_D1_R_K1B)
1. a) – a = 5 ∨ 3|a;
b) r
∃ ∈ R : r 2 ≤ 0 (zdanie prawdziwe);
c) y
∀ ∈ R : y2
|
= y | (zdanie prawdziwe).
2. a) [¬(p ∨ q)] ⇔ [(¬p) ∧ (¬q)];
c) Nie jem duż o cukierków i jest gorą co i gardzę lodami.
3. Zdanie jest fałszywe.
4. Twierdzenia fałszywe – a, b.
Twierdzenia odwrotne:
a) Jeśli liczba jest podzielna przez 3, to jest nieparzysta (twierdzenie fałszywe).
b) Jeśli czworokąt jest deltoidem, to jego przekątne przecinają się pod kątem prostym (twierdzenie prawdziwe).
2
5. D = 1 ,+∞) , x ∈ {3}
3
6. Jest smutno i nie pada deszcz lub pada deszcz i nie jest smutno.
Zakres rozszerzony
Praca klasowa nr 2 gr. A
(Kod: K1_D1_R_K2A)
Zadanie 1. (5 p.)
Oceń wartości logiczne zdań (podaj również wartości logiczne zdań składowych):
a) 122 + 72 = 19 ∨ 410 + 410 + 410 + 410 = 440.
b) Istnieje liczba pierwsza mniejsza od liczby 2.
Zadanie 2. (3 p.)
Sprawdź, czy podane wyrażenie rachunku zdań [¬(¬p ∨ ¬q)] ⇔ (p ∧ q) jest tautologią.
Zadanie 3. (4 p.)
Zapisz za pomocą kwantyfikatorów i symboli matematycznych następujące zdania. Oceń ich wartości logiczne.
a) Istnieje taka liczba rzeczywista p, której sześcian jest większy od jej podwojonego kwadratu.
b) Dowolna liczba rzeczywista x jest równa swojej odwrotności.
Zadanie 4. (5 p.)
Napisz zaprzeczenia poniższych zdań:
a) Kochanowski napisał „Treny” lub Mickiewicz jest autorem „Dziadów” .
b) Jeś li koło jest figurą ograniczoną , to równoległobok jest trapezem.
c) x
∀ ∈ R :[x 2 − 2 > 0 ∧ x ≤ ]
1 .
Zadanie 5. (3 p.)
x 2 − 2x
Określ dziedzinę formy zdaniowej:
= 0 . Podaj zbiór wszystkich elementów
x 2 − 4x + 4
spełniających tę formę zdaniową.
Zadanie 6.***
Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają formę zdaniową F(x, y): y > 3 ⇒ 2y – 3x < 6.
Odpowiedzi
(Kod: K1_D1_R_K2A)
1. a) Zdanie fałszywe,
b) zdanie fałszywe.
2. Wyrażenie jest tautologią.
3. a)
3
2
p
∃ ∈ R : p > 2p ;
1
b) x
∀ ∈ R : x =
; a – zdanie prawdziwe; b – zdanie fałszywe.
x
4. a) Kochanowski nie napisał „Trenów” i Mickiewicz nie jest autorem „Dziadów”.
b) Koło jest figurą ograniczoną i równoległobok nie jest trapezem.
c) x
∃ ∈ R :[x 2 − 2 ≤ 0 ∨ x > ]
1 .
5. D = R – {2}, x ∈{0}.
6.
Zakres rozszerzony
Praca klasowa nr 2 gr. B
(Kod: K1_D1_R_K2B)
Zadanie 1. (5 p.)
Oceń wartości logiczne zdań (podaj również wartości logiczne zdań składowych):
a) 252 − 52 = 20 ∧ 57 + 57 + 57 + 57 + 57 = 58.
b) Istnieje liczba złożona, która ma tylko dwa dzielniki naturalne.
Zadanie 2. (3 p.)
Sprawdź, czy podane wyrażenie rachunku zdań: [(p ∨ ¬q) ⇒ p] ⇔ (¬p ∧ q) jest tautologią.
Zadanie 3. (4 p.)
Zapisz za pomocą kwantyfikatorów i symboli matematycznych następujące zdania. Oceń ich wartość logiczną.
a) Istnieje taka liczba rzeczywista a, że jej kwadrat jest mniejszy od potrojonej tej liczby.
b) Dowolna liczba rzeczywista k jest równa liczbie przeciwnej do jej sześcianu.
Zadanie 4. (5 p.)
Napisz zaprzeczenia poniższych zdań:
a) Kwadrat jest figurą osiowosymetryczną i prosta jest figurą ś rodkowosymetryczną.
b) Jeś li wieloryb jest ssakiem, to płotka jest rybą.
c) x
∃ ∈ R :[x3 > x ∨ x ≥ ]
1 .
Zadanie 5. (3 p.)
x 2 + 5x
Określ dziedzinę formy zdaniowej:
= 0. Podaj zbiór wszystkich elementów
x 2 +10x + 25
spełniających tę formę.
Zadanie 6.***
Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają formę zdaniową F(x, y): x < –2 ⇒ y – 3x > 6.
Odpowiedzi
(Kod: K1_D1_R_K2B)
1. a) Zdanie fałszywe;
b) zdanie fałszywe.
2. Wyrażenie nie jest tautologią.
3. a) a
∃ ∈ R : a 2 < a
3 (zdanie prawdziwe);
b)
3
k
∀ ∈ R : k = k (zdanie fałszywe).
4. a) Kwadrat nie jest figurą osiowosymetryczną lub prosta nie jest figurą
ś rodkowosymetryczną.
b) Wieloryb jest ssakiem i płotka nie jest rybą.
c) x
∀ ∈ R :[x3 ≤ x ∧ x < ]
1 .
5. D = R – {–5}; x ∈{0}.
6.