6. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ.
POCHODNA, HOLOMORFICZNOŚ Ć, ZWIAZEK Z FUNKCJAMI
,
HARMONICZNYMI.
1. Wyznaczyć cześć rzeczywista i cześć urojona funkcji f (z) = z+1 .
,
,
,
,
z−1
2. Niech f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), gdzie u(x, y) = x2 − y2 + x, v(x, y) = 2xy + y.
Przedstawić f jako funkcje zmiennej zespolonej.
,
3. Niech
z
f (z) =
.
|z| + 1
Wykazać, że
a) f jest ciag la w
,
C
b) f jest różnowartościowa
c) f (C) = D(0, 1).
4. Zbadać ciag lość funkcji
,
Rez
dla z 6= 0
Rez2
dla z 6= 0
a)
f (z) =
z
b)
f (z) =
z
0
dla z = 0
0
dla z = 0
5. Wykazać, że dla dowolnego w ∈ C \ {0} i dla dowolnego α ∈ R równanie ez = w ma dok ladnie jedno rozwiazanie w pasie {z ∈
,
C : α < Imz ≤ α + 2π}.
6. Wykazać, że dla dowolnych z1, z2 ∈ C
ez1+z2 = ez1ez2.
7. Czy istnieje z ∈ C, dla którego tgz = i ? Jakich wartości nie przyjmuje funkcja tgz ?
8. Wyznaczyć cześć rzeczywista i cześć urojona funkcji : a) sin z
b) cos z.
,
,
,
,
9. Wykazać, że dla dowolnego z = x + iy zachodzi nierówność
| sinh y| ≤ | cos z| ≤ cosh y.
10. Rozwiazać równanie sin z = 100.
,
11. Wyznaczyć wszystkie wartośći wyrażeń a) ii
b) ln(−1).
12. Bezpośrednio z definicji wykazać, że funkcja dana wzorem f (z) = Rez nie ma pochodnej w żadnym punkcie.
13. Sprawdzić, w jakich punktach funkcja f (z) = |z| ma pochodna.
,
14. Sprawdzić czy funkcja dana wzorem p
f (z) =
|Rez| · |Imz|
spe lnia warunki Cauchy-Riemanna w punkcie z = 0. Czy istnieje f 0(0)?
15. Sprawdzić, w jakich punktach funkcja dana wzorem f (z) = zImz spe lnia warunki Cauchy-Riemanna.
16. Zbadać, czy funkcja dana wzorem f (z) = Rez · Imz ma pochodna w punkcie z = 0.
,
17. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (z) = z ¯
z oraz znaleźć jej pochodna w punktach, w
,
których istnieje.
18. Korzystajac z zadania 13 wykazać, że funkcja dana wzorem
,
z
f (z) = 1 + |z|
nie jest holomorficzna w żadnym punkcie.
19. Niech f (z) = ¯
z2.
a) Obliczyć ∂f . W jakich punktach p laszczyzny istnieje f 0(z)?
∂ ¯
z
b) Obliczyć ∂f .
∂z
c) W jakich punktach p laszczyzny f jest funkcja holomorficzna?
,
,
20. Niech f (z) = z3. Wykazać, że nie istnieje punkt z należacy do odcinka laczacego
,
,
,
punkty 1 oraz i taki, że
f (i) − f (1) = f0(c)
i − 1
Z tego zadania wynika, że twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej nie zachodzi dla funkcji f : C → C.
21. Niech f ∈ H(D(0, R)). Udowodnić, że: a) jeśli f 0(z) = 0 dla dowolnego z ∈ D(0, R), to f jest sta la w D(0, R), b) jeśli |f (z)| jest funkcja sta la w D(0, R) to f jest sta la w D(0, R).
,
,
22. Niech f ∈ H(D(0, R)), przy czym f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Udowodnić, że jeśli u2 ≡ v w D(0, R), to f jest sta la w D(0, R).
23. Znaleźć funkcje holomorficzna f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (a nastepnie zapisać ja w postaci
,
,
,
,
zespolonej) wiedzac, że
,
x
u(x, y) =
.
x2 + y2
24. * Wyznaczyć wszystkie funkcje harmoniczne w C \ {0}, które sa sta le na okregach
,
,
{z ∈ C : |z| = r}.
25. Wykazać, że funkcje f (z) = ln |z| oraz g(z) = Argz sa funkcjami harmonicznymi
,
sprzeżonymi w obszarze
,
C \ {x ∈ R : x ≤ 0} .
26. Wyznaczyć funkcje harmoniczna sprzeżona z funkcja u(x, y) = x2 − y2 + xy. Nastepnie
,
,
,
,
,
,
wyznaczyć funkcje holomorficzna f (jako funkcje zmiennej z), której cześcia rzeczywista jest
,
,
,
,
,
,
u(x, y).
27. Wyznaczyć funkcje harmoniczna sprzeżona z funkcja v(x, y) = e−x(y cos y − x sin y).
,
,
,
,
,
Wyznaczyć funkcje holomorficzna f , której cześcia urojona jest v(x, y).
,
,
,
,
,