14 stycznia 2010 r.
Wariant nr √
Zadanie nr 1
W Nibylandii, podzielonej na trzy regiony: Autokorelandię Dodatnią, Autokorelandię Ujemną i Heteroskedastan, w 2008 roku produkcja globalna wyniosła w Autokorelandii Dodatniej 100
mln PLN, w Autokorelandii Ujemnej 200 mln PLN, a w Heteroskedastanie 400 mln PLN. W
obu Autokorelandiach produkt końcowy był równy 30% wartości produkcji globalnej.
Wartość majątku trwałego w poszczególnych regionach wynosiła odpowiednio: 400 mln PLN, 300 mln PLN i 200 mln PLN. Amortyzacja w kaŜdym z regionów wynosiła 5%
wartości majątku trwałego. W Autokorelandii Ujemnej koszty z tytułu wynagrodzeń dla pracowników były równe co do wartości amortyzacji. Płace w Heteroskedastanie były 10 razy niŜsze niŜ w Autokorelandii Dodatniej, a koszty materialne w tym regionie były o 12,5%
wyŜsze od kosztów materiałowych. W Autokorelandii Ujemnej wartość dodana netto była o
18,75% niŜsza od wartości dodanej brutto i region ten zuŜywał w równych wartościach materiały z kaŜdego z trzech regionów. W Autokorelandii Dodatniej nie zuŜywa się w procesie produkcyjnym materiałów z Heteroskedastanu, a materiały z Autokorelandii Ujemnej nie są zuŜywane w Heteroskedastanie. Autokorelandia Dodatnia zuŜywa własne materiały o wartości 2 razy większej niŜ materiałów pochodzących z Autokorelandii Ujemnej.
Współczynnik płacochłonności dla całej gospodarki wynosił 10%. Przyjmij załoŜenie o braku wymiany handlowej między Nibylandią a zagranicą.
(4p) Skonstruuj tabelę przepływów międzygałęziowych dla gospodarki Nibylandii.
(2p) Który region charakteryzuje się najwyŜszą materiałochłonnością?
(4p) Ile wynosiła produkcja końcowa w roku 2009 w poszczególnych regionach, jeŜeli produkcja globalna w roku 2009 w Autokorelandii Dodatniej była o 50% niŜsza niŜ w roku 2008, produkcja globalna w Autokorelandii Ujemnej wzrosła o 50, produkcja globalna w Heteroskedastanie nie zmieniła się, udział zuŜycia własnego w kosztach materiałowych w Autokorelandii Ujemnej zwiększył się do 50%, a pozostałe relacje input-output pozostały bez zmian?
Zadanie nr 2
W Utopii, która jest krajem sąsiednim do Nibylandii i jest podzielona na dwa regiony: Durbinię i Watsonię, charakteryzujące się dodatnią rentownością, skonstruowano tabelę przepływów międzygałęziowych dla roku 2008. PoniŜej przedstawiona jest niepełna
informacja o macierzy struktury kosztów w tej tabeli (pierwszy wiersz i pierwsza kolumna odpowiadają Durbinii, a drugi wiersz i druga kolumna Watsonii):
0,6,
gdzie a jest nieznanym parametrem.
(2p) W jakim przedziale zawiera się wartość parametru a, jeŜeli wiemy dodatkowo, Ŝe współczynnik materiałochłonności w Durbinii jest wyŜszy niŜ w Watsonii?
(3p) W roku 2009 produkt globalny w Durbinii wzrósł o 10 jp., a w Watsonii wzrósł o 5 jp. W
jakim przedziale zawiera się wartość parametru a jeŜeli wiemy dodatkowo, Ŝe w roku 2009
produkt końcowy w Watsonii zwiększył się w porównaniu do roku 2008, a relacje input-output pozostały bez zmian?
(3p) Na rok 2010 rząd planuje zwiększenie produkcji globalnej w Durbinii o 80 jp. i zwiększenie produkcji końcowej w Watsonii o 20. Jak wpłynie to na produkcję globalną Watsonii i produkcję końcową Durbinii? Relacje input-output pozostają bez zmian, a parametr a jest równy 0,1.
Zadanie nr 3
Znany nam dobrze student postanowił rozkręcić biznes alkoholowy. Zaopatrzył się w 2,4 l spirytusu i 3,6 kg cytryn i postanowił produkować dwa rodzaje nalewki cytrynowej: „mocną”
zawierającą 60% spirytusu, do produkcji której naleŜy zuŜyć 300 g cytryn na 1 l nalewki i
„słabą” zawierającą 30% spirytusu, do produkcji której naleŜy zuŜyć 900 g cytryn na 1 l nalewki. Gotowe nalewki student sprzedaje: „słabą” po 20 zł za ½ l, a „mocną” po 30 zł za ½
l. Dodatkowo ograniczona liczba butelek, jaką posiada student powoduje, Ŝe nie moŜe on wyprodukować więcej niŜ 5 l obu nalewek łącznie.
(2p) Zapisz zadanie PL, którego rozwiązanie pozwoli studentowi wyznaczyć optymalny plan
produkcji kaŜdego rodzaju nalewek, tj. taki, który zapewni mu największy przychód z ich sprzedaŜy (załóŜ, Ŝe studentowi udaje się sprzedać dowolną wyprodukowaną ilość nalewki).
(3p) Wyznacz optymalny plan produkcji. Ile wynosi maksymalny moŜliwy do osiągnięcia przychód?
(2p) W jakich granicach moŜe się zmieniać cena nalewki „mocnej” aby decyzja wyznaczona
w poprzednim punkcie pozostała decyzją optymalną?
(3p) Kolega jest gotów sprzedać studentowi dodatkowo 300 ml spirytusu. Jaka jest maksymalna cena, jaką student byłby skłonny zapłacić za ten spirytus? Przyjmij, Ŝe student nie jest skłonny zapłacić za dodatkowy spirytus więcej niŜ wyniesie dodatkowy przychód, jaki dzięki niemu moŜe on osiągnąć.
Dane jest zadanie PL:
2 3
oraz zestaw warunków ograniczających:
2 3 20
5
2 4
, , 0
PoniŜej przedstawiony jest raport wraŜliwości wygenerowany przez Solver dla rozwiązania optymalnego do tego zadania (niektóre elementy raportu zostały ukryte pod gwiazdkami):
Komórki decyzyjne
Wartość
Przyrost
Współczynnik
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
końcowa
Krańcowy
funkcji celu
wzrost
spadek
x1
4
***
***4
1
x2
12
0
***
22
x3
0
***
***2
1E+30
Warunki ograniczające
Wartość
Cena
Prawa strona
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
końcowa
Dualna
w. o.
wzrost
spadek
I
20
3,00
***
1E+3012
II
-8
***
***1E+30
13
III
***
-4
***
4,3333333334
(2p) Jaka jest maksymalna dopuszczalna wartość funkcji celu?
(2p) Które warunki ograniczające są napięte, a które luźne w rozwiązaniu optymalnym?
(2p) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy współczynnik funkcji celu przy x2
zmieni swą wartość na 0,5?
(2p) Ile wyniesie maksymalna wartość funkcji celu, gdy wyraz wolny w drugim warunku ograniczającym zmieni swą wartość na -5?
(2p) Czy istnieją takie wartości współczynników funkcji celu dla których rozwiązanie (1, 1, 1) jest rozwiązaniem optymalnym przy danych warunkach ograniczających? Dlaczego?
Dany jest następujący model wielorównaniowy o równaniach łącznie współzaleŜnych:
!" !# !$ !% !&' (,
# )" ) (,
$ *" * + *# (,
(3p) Zbadaj identyfikowalność i jednoznaczną identyfikowalność kaŜdego z równań.
(1p) Które równania moŜna szacować za pomocą PMNK?
Zadanie nr 6
PoniŜej dany jest graf przedsięwzięcia wieloczynnościowego. KaŜdy łuk opatrzony jest liczbą odpowiadającą czasowi wykonania danej czynności w dniach.
5
A
B
C
2
4
2
2
4
5
5
5
D
E
F
G
9
1
8
4
10
J
H
I
3
1
(2p) Wymień wszystkie czynności krytyczne w tym grafie.
(2p) Jaki jest najkrótszy moŜliwy czas realizacji przedsięwzięcia?
(2p) Oblicz i zinterpretuj luz zdarzenia B.
(2p) Jak zmieni się czas krytyczny, jeśli czas wykonania czynności DE zostanie wydłuŜony o 3 dni?