ELEMENTY RCL W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO
Łoszajc Maciej – 62438
Wejman Małgorzata – 62501
1. CEL
ĆWICZENIA:
Analiza zachowania się elementów rezystancyjnych, indukcyjnych i pojemnościowych w obwodach prądu zmiennego. Badanie wpływu zmian częstotliwości wymuszenia na elementy reaktancyjne oraz sprawdzenie praw Kirchoffa dla obwodów prądu zmiennego.
Schemat badanego układu:
Opis elementów układu:
Vin – źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego o wartości skutecznej U=5V
R1 – opornik o rezystancji R = 1kOhm L1 – cewka indukcyjna o indukcyjności L = 29,5mH
C1 – kondensator o pojemności C = 100nF
W celu pomiaru spadków napięć na poszczególnych elementach układu, dołączono równolegle (do poszczególnych elementów) woltomierz cyfrowy.
Wyniki pomiarów z podziałem na poszczególne częstotliwości przedstawia poniższa tabelka: f Vin
UR
UL
UC
[kHz]
[V] [V] [V] [V]
2,00
5,00 2,94 1,09 2,13
4,00
5,00 2,96 2,20 1,07
Dodatkowo przy pomocy oscyloskopu analogowego dokonano pomiaru przesunięcia fazowego pomiędzy prądem w obwodzie, a napięciami na cewce i kondensatorze.
Wyniki pomiarów z podziałem na poszczególne częstotliwości przedstawia poniższa tabelka: f
ФL
ФC
[kHz]
[o] [o]
2,00
80µs = 57,6o
90µs = 64,8o
4,00
40µs = 57,6o
30µs = 43,2o
2. ANALIZA TEORETYCZNA UKŁADU [OBLICZENIA]:
Obliczenia napięcia na poszczególnych elementach dla częstotliwości 2 kHz: Zgodnie ze wzorem:
j
Z = R + R + jω L −
obliczamy impedancję wypadkową obwodu przedstawionego na powyższym w
R
L
ω C
rysunku:
−
109
3
109
Z = 1000 + 54 + (2 ⋅ 2000π ) j ⋅
5
,
29 ⋅10 − j ⋅
= 1054 + j
52
,
370
(
−
) =
w
2 ⋅ 2000π ⋅100
,
1 256 ⋅106
1054 + j
52
,
370
(
−
)
18
,
796
= 1054 −
,
425 66 j
Obliczamy prad I płynący w obwodzie: 1
E
| E | e j
| E |
5
1054 +
66
,
425
j
5270 +
30
,
2128
j
5270
I =
=
=
=
⋅
=
=
Z
Z
Z
1054 −
66
,
425
j 1054 +
66
,
425
j
1110916 +
,
181186 44
,
1292102 44
w
w
w
30
,
2128
+
j
−3
−3
= 08
,
4
⋅10 + ,
1 64 ⋅10 j
,
1292102 44
Zgodnie z tym zapisem otrzymujemy: 3
I ( t) = I ( ) 0 = 32
,
2
10−
⋅
Obliczamy spadki napięć na poszczególnych elementach obwodu: 3
−
3
U = I ⋅ R = ( 08
,
4
⋅10 + ,
1 64 ⋅10− j) ⋅1000 = 08
,
4
+ ,
1 64 j
R
−3
U ( )
0 = 32
,
2
⋅10
R
I
,
4 08 ⋅10−3 + 64
,
1
⋅10−3 j
,
4 08 ⋅10 3
− + ,
1 64 ⋅10 3
−
U
= − j
= − j
= −
j
j
= 31
,
1
− ,
3 24 j
C
C
ω
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 2000 ⋅100 ⋅10−9
,
1 256 ⋅10−3
U (0) =
58
,
4
C
U = jI L
ω = j( 08
,
4
⋅10 3− + 64
,
1
⋅10 3− j)2 ⋅ 14
,
3
⋅ 2000 ⋅
5
,
29 ⋅10 3
− = ( 08
,
4
⋅10 3− j − 64
,
1
⋅10 3− ) ⋅
52
,
370
=
L
= 51
,
1
j −
61
,
0
U (0) = 14
,
2
L
Obliczamy kąty fazowe:
1
−3
1
L
ω −
+ R
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 2000 ⋅
5
,
29 ⋅10 +
+ 54
L
−9
ω C
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 2000 ⋅100 ⋅10
tgϕ =
=
=
R
1000
52
,
370
+
18
,
796
+ 54
70
,
1220
=
=
= ,
1 22
1000
1000
o
ϕ = ,
50 68
Obliczanie napięć na poszczególnych elementach dla częstotliwości 4kHz Zgodnie ze wzorem
j
Z = R + R + jω L −
obliczamy impedancję wypadkową obwodu przedstawionego na powyższym w
R
L
ω C
rysunku:
−
109
3
109
Z = 1000 + 54 + (2 ⋅ 4000π ) j ⋅
5
,
29 ⋅10 − j ⋅
= 1054 + j(
04
,
741
−
) =
w
2 ⋅ 4000π ⋅100
512
,
2
⋅106
= 1054 + j(
,
741 04 −
,
398 09) = 1054 +
95
,
342
j
Obliczamu prad I płynący w obwodzie: ϕ
E
| E | e j
| E |
5
1054 +
95
,
342
j
5270 +
,
1714 75 j
I =
=
=
=
⋅
=
=
Z
Z
Z
1054 −
95
,
342
j 1054 +
95
,
342
j
1110916 +
,
117614 70
w
w
w
5270
,
1714 75
=
+
j
−3
−3
= ,
4 29 ⋅10 + ,
1 40 ⋅10 j
1228530,70 1228530,70
Zgodnie z tym zapisem otrzymujemy:
−3
I ( t) = I ( ) 0 = 98
,
1
10
*
Obliczamy spadki napięć na poszczególnych elementach obwodu: 3
−
−3
U = I ⋅ R = ( , 4 29 ⋅10 + ,
1 40 ⋅10 j) *1000 = ,
4 29 + ,
1 40 j
R
−3
U ( )
0 = 98
,
1
⋅10
R
2
,
4 29 ⋅10 3
− + ,
1 40 ⋅10 3
− j
,
4 29 ⋅10 3
− + ,
1 40 ⋅10 3
−
U
= − j
= − j
= −
j
j
= ,
1 71− 56
,
0
j
C
ω C
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 4000 ⋅100 ⋅10−9
512
,
2
⋅10−3
U ( )
0 = ,
0 79
C
U = jIω L = j( , 4 29 ⋅10 3
− + ,
1 40 ⋅10 3
− j)2 ⋅ 14
,
3
⋅ 4000 ⋅
5
,
29 ⋅10 3
− = ( ,
4 29 ⋅10 3
− j − ,
1 40 ⋅10 3
− ) ⋅
04
,
741
=
L
= 18
,
3
j − ,
1 04
U (0) =
50
,
4
L
Obliczamy kąty fazowe:
1
−3
1
ω L −
+ R
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 4000 ⋅
5
,
29 ⋅10 +
+ 54
L
−9
C
ω
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 4000 ⋅100 ⋅10
tgϕ =
=
=
R
1000
01
,
741
+
,
398 09 + 54
10
,
1193
=
=
= 19
,
1
1000
1000
o
ϕ =
03
,
50
Szukamy takiej wartości rezystancji RL aby przesunięcie fazowe na cewce wynosiło 45o. Zakładając schemat zastępczy szeregowy cewki otrzymujemy:
ω
1
L −
+ R
o
ω C
L
tg 45 =
R
0
1
R ⋅ tg 45 = ω L −
+ R
ω C
L
1
R = R ⋅ tg
o
45 − ω L +
L
ω C
Dla częstotliwości równej 2kHz otrzymujemy:
−3
1
R = 1000 ⋅1 − 2 ⋅ 14
,
3
⋅ 2000 ⋅
5
,
29 ⋅10 +
= 1000 −
52
,
370
+
18
,
796
=
66
,
525
L
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 2000 ⋅100 ⋅10−9
Podobnie dla częstotliwości 4kHz:
−3
1
R = 1000 ⋅1 − 2 ⋅ 14
,
3
⋅ 4000 ⋅
5
,
29 ⋅10 +
= 1000 −
,
741 04 +
,
398 09 = 657,05
L
2 ⋅ 14
,
3
⋅ 4000 ⋅100 ⋅10−9
Są to szukane wartości rezystancji.
3. WYKRESY WSKAZOWE DLA BADANEGO UKŁADU:
Obliczamy:
ω=2πf
1
ω =
0
LC
Wykres zależy od: ω < ω0 lub ω> ω0
UL
UR
φ
UC
U
4. PRAWO KIRCHOFFA:
Jak możemy zauważyć, prawo oczkowe Kirchoffa dla przedstawionego obwodu, wyrażone wzorem UC + UL + UR=E nie zachodzi. Sprzeczność z prawem Kirchoffa wynika z bliskości częstotliwości rezonansowej, zarówno dla 2kHz jak i 4kHz.
Można obliczyć, iż częstotliwość rezonansowa przedstawionego obwodu wynosi: 3
1
f
3
=
=
= 93
,
2
⋅10 Hz . Układ RLC zwany jest również, ze względu na swoją charakterystykę, 2π LC
−9
2 ⋅ 14
,
3
⋅
95
,
2
⋅10
układem rezonansowym. Widoczną nagłą zmianę napięcia wiązać możemy z rezonansem a wspomniana częstotliwość jest w tym wypadku częstotliwością rezonansową układu RLC. W naszym przypadku mamy do czynienia z tak zwanym rezonansem szeregowym.
5. WNIOSKI:
Obwód RLC w szeregowym połączeniu elementów, przy napięciu sinusoidalnie zmiennym działa jako układ rezonansowy (w naszym przypadku częstotliwością przy której występuje rezonans szeregowy jest 2.93kHz).
Zauważyć możemy widoczną różnicę między danymi pomierzonymi, a obliczonymi na podstawie wzorów. Na niezgodność obliczeń ma wpływ bliskość częstotliwości rezonansowej, jak i niepewność pomiarowa związana z błędem pomiarów za pomocą mierników.
Charakter układu ma również wpływ na pomiary przy częstotliwościach 2kHz i 4kHz, które jak udowodniliśmy powyżej, nie spełniają równania oczkowego Kirchoffa, co wynika zarówno z wpływu czynników zewnętrznych jak i zachowaniem układu dla badanych wartości częstotliwości.
Na błąd związany z pomiarem kąta fazowego φ miały wpływ niedokładności urządzeń pomiarowych, czynniki zewnętrzne (takie jak np. rezystancja przewodów).
4