Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących Algorytm rozwiązania zadnia:
1. Wyznaczenie wartości reakcji w podporach – układ płaski dowolny a więc trzy równania:
∑ = 0
∑ = 0
∑ = 0
lub ∑ = 0
∑ = 0
∑ = 0
Znaki momentów określamy zgodnie z zasadą wskazówek zegara czyli: Obciążenie ciągłe zamieniamy na siłę wypadkową Q=q*L gdzie L= długość odcinka belki, na którym działa obciążenie ciągłe.
2. Podział belki na przedziały (granice przedziałów ustalamy w miejscu przyłożenia siły, momentu lub reakcji a także na początku i na końcu obciążenia ciągłego).
3. Dla każdego przedziału układamy równanie momentów (względem miejsca odcięcia).
Znaki momentów określamy zgodnie z zasadą „wyginania belki” czyli: x
x
Wypadkową z obciążenia ciągłego wyznaczamy z przedziału o długości X (NIE Z CAŁOŚCI): Q=q*x
Mg=-Q*0.5x=-0.5*q*x2
Q
Strona 1
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
grudzień 2011
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących Dla obciążenia ciągłego wyznaczamy współrzędną wierzchołka paraboli xw. Jeżeli xw mieści w granicach przedziału to obliczamy wartość momentu dla wierzchołka paraboli Mg(xw). Jeżeli xw nie mieści się w granicach danego przedziału to łączymy otrzymane punkty na granicach przedziału kawałkiem paraboli.
Uwaga.
Jedynie w miejscu przyłożenia momentu M na wykresie momentów gnących może być skok wartości (na granicy przedziałów wartość momentu gnącego jest różna z lewej strony i z prawej). W każdym innym przypadku wartości z lewej i prawej strony granicy przedziału muszą być jednakowe.
Przykład
Dane:
q=1kN/m
M=1kNm
q
P= 1kN
A
B
M
P
L= 1m
1. Uwolnienie od więzów i obliczenie
reakcji w podporach A i B.
= 0 → = 0
= 0 → + − + = 0
A
B
Q
M
P
Ponieważ RBX = 0 to w dalszych obliczeniach
RBY będzie oznaczane jako RB
= 0 → − ∙ − ∙ − + ∙ 4
= 0
lub
= 0 → − ∙ 5 − ∙ 4 + ∙ 3 −
= 0
Gdzie Q=q*2l
Po rozwiązaniu układu równań
RA = 0
RB = 1
Strona 2
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
grudzień 2011
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących 2. Podział belki na przedziały
Przedział 1, 2 i 3 będą liczone od lewej strony, a przedział 4 od prawej strony.
q
M
1
2
3 4
P
3. Równanie momentów dla pierwszego
przedziału:
q
= ∙ /
Mg1(0)=0
P
M
Mg1(l)=Pl=1
4. Równanie momentów dla drugiego
przedziału:
= ∙ ( + )+ ∙ −
2 /
qdzie Q2=qx2, a więc
Q
P
2
M
= ∙ ( + )+ ∙ − 2 /
1.5
Mg2(0)=1
1
Mg2(l) =1
0
l
Wierzchołek paraboli:
( ) ′ = + − ∙ = 0
= = 1
Wierzchołek paraboli znajduje się we
współrzędnej x2=1 i ma wartość:
Mg2(1) =1,5
Strona 3
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
grudzień 2011
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mechanika – Rysowanie wykresów momentów gnących i sił tnących 5. Równanie momentów dla trzeciego przedziału:
= ∙ ( + 3 )+ ∙ ( + 2 ) − ∙ ( + ) /
gdzie Q =q*2l
P
Q
M
= ∙ ( + 3 )+ ∙ ( + 2 ) − ∙ 2 ∙ ( + ) /
Mg3(0)=1
Mg3(l) =0
6. Równanie momentów dla czwartego
przedziału (od prawej strony):
= ∙ /
Mg4(0)=0
Mg4(l) =1
P
M
7. Rysowanie wykresu sił tnących
(pochodne momentów gnących dla
odpowiednich przedziałów):
= ( ) ′ = = 1
= ( ) ′ = + − ∙ /
(0) = 1 ; (2 ) = −1
= ( ) ′ = + − ∙ 2 = −1
= −( ) ′ = − = −1
(w czwartym przedziale zmieniamy znak
na przeciwny ponieważ liczymy go od
prawej do lewej)
Strona 4
Opracował mgr inż. Łukasz Doliński
grudzień 2011
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com