Zmienne losowe ciągłe - rozkład normalny Twierdzenie 1. Jeśli X:N(m,σ) to Z= X − m :N(0,1) σ

Twierdzenie 2. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n

 n

n



rozkład X

N 

m

2

,

σ 

i:N(mi,σi) to zmienna losowa Y= ∑ X ma rozkład

∑

.

i

∑

i



i 

i=1

 i=1

i=1



Twierdzenie 2a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n

rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa Y= ∑ X ma rozkład N( nm,σ n)..

i

i=1

n

Wniosek z Tw.1 i Tw. 2a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne, Y= ∑ X i zmienna i

i=1

−

losowa X

Y

nm

i dla i=1,...,n ma rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa Z=

ma rozkład N(0,1).

σ n

Twierdzenie 3. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n

1

 n

n

1

1



rozkład X

N 

m

2

,

σ 

i:N(mi,σi) to zmienna losowa X =

∑ X ma rozkład

∑

.

i

∑

i

n



i

n 1

n



i=1

 i=

i=1



Twierdzenie 3a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n

1



σ 

rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa X = ∑ X ma rozkład N m,

...

i





n i=1



n 

n

1

Wniosek z Tw.1 i Tw. 3a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne, X = ∑ X i zmienna i

n i=1

−

losowa X

X

m

i dla i=1,...,n ma rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa Z=

σ ma rozkład N(0,1).

n

Twierdzenie 4. Jeśli zmienne losowe X1 i X2 są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,2 ma rozkład X

2

2

i:N(mi,σi) to zmienna losowa X1─X2 ma rozkład N ( m − m , σ + σ

1

2

1

2 ).

Twierdzenie 4a. Jeśli zmienne losowe X1 i X2 są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,2 ma rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa X1─X2 ma rozkład N ( , 0 σ 2 ).

Zmienne losowe skokowe - rozkład geometryczny Niech w powtarzanych dowolnie wielką liczbę razy niezależnych doświadczeniach Bernoulliego zmienna X oznacza liczbę doświadczeń do pojawienia się sukcesu.

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa: P{X=x}=pqx-1 dla x=1,2,...

E(X)=1/p

D2(X)=q/p2