Autor: mgr Radosław Owczarzak Transformacja Laplace’a wyprowadzenie wzorów.
Wzór 1: f ( t ) = 1∧ Re s > 0
∞
∞
∞
F ( s) = L{ f ( t)} = ∫ f ( t) − st
− st
1
− st
1
− sw
1
1
1
e dt = ∫1⋅ e dt =
e
=
e
−
= 0
lim
+
=
− s
→+∞ − s
− s
s
s
0
0
0
w
Wzór 2:
( ) at
f t = e ∧ Re s > Re a
∞
∞
∞
∞
t
( a− s)
w
( a− s)
−
−
−
F ( s) = L{ f ( t)} = ∫ f ( t) e
e
st
at
st
t( a s)
1
e dt = ∫ e ⋅ e dt = ∫ e dt =
= lim
−
=
a
− s
→+∞
a
− s
a − s
0
0
0
w
0
1
1
= 0 −
=
a − s
s − a
Wzór 3: f ( t ) = cosω t ∧ Re s > 0
∞
∞
∞
−
F ( s) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t) st
−
−
e
st
e dt = ∫ cos
st
ω t ⋅ e dt =
⋅ − s cosω t +ω sinω t =
2
(
)
(− s)
2
+ω
0
0
0
− sw
e
1
s
s
=
− s cosω w +ω sinω w −
− s + 0 = 0
lim
+
=
2
2 (
) 2 2 (
)
2
2
2
2
→+∞
+ω
+ω
+ω
+ω
w
s
s
s
s
Wzór 4: f ( t ) = sinω t ∧ Re s > 0
∞
∞
∞
−
F ( s) = L{ f ( t)} = ∫ f ( t) st
−
−
e
st
e dt = ∫ sin
st
ω t ⋅ e dt =
− s sinω t −ω cosω t =
2
(
)
(− s)
2
+ ω
0
0
0
− sw
e
1
ω
ω
− s sinω w −ω cosω w −
0 − ω = 0
lim
+
=
2
2 (
)
2
2 (
)
2
2
2
2
→+∞
+ω
+ω
+ω
+ω
w
s
s
s
s
Wzór 5: f ( t ) = sinhω t ∧ Re s > ω
∞
∞
∞ ω
−ω
∞
−
−
−
−
ω−
− ω+
F ( s) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t) t
t
e
e
st
st
st
1
t(
s)
t(
s)
e dt = ∫ sinhω t ⋅ e dt = ∫
⋅ e dt = ∫ e
− e
dt =
2
2
0
0
0
0
∞
t
(ω− s)
− t(ω+ s)
(
w ω − s)
− (
w ω + s)
1 e
e
1
e
e
1
1
=
−
= lim
+
−
+
=
2 ω − s
−(ω + s)
2
→+∞ ω −
ω +
ω −
ω +
w
s
s
s
s
0
1
1
1
1 ω + s + ω − s
1
2ω
ω
= ⋅ 0
−
+
= −
= ⋅
=
2
2
2
2
2
2
2
ω − s ω + s
2
ω − s
2 s − ω
s − ω
str. 1
Autor: mgr Radosław Owczarzak Wzór 6: f ( t ) = coshω t ∧ Re s > ω
∞
∞
∞ ω
−ω
∞
−
−
+
−
ω−
− ω+
F ( s) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t) t
t
e
e
st
st
st
1
t(
s)
t(
s)
e dt = ∫ coshω t ⋅ e dt = ∫
⋅ e dt = ∫ e
+ e
dt =
2
2
0
0
0
0
∞
t
(ω− s)
− t(ω+ s)
w
(ω− s)
− (
w ω + s)
1 e
e
1
e
e
1
1
=
+
= lim
−
−
−
=
2 ω − s
−(ω + s)
2
→+∞ ω −
ω +
ω −
ω +
w
s
s
s
s
0
1
1
1
1 ω + s − ω + s
1
2 s
s
=
0
−
−
= − ⋅
=
=
2
2
2
2
2
2
2
ω − s ω + s
2
ω − s
2 s − ω
s − ω
⋅
Wzór 7:
( )
a t
f t = te ∧ Re s > Re a t
( a− s)
∞
∞
∞
u = t
v ' = e
−
⋅ −
−
F ( s) = L{ f ( t)} = ∫ f ( t) st a t
st
t( a s)
t
e dt = ∫ te e dt = ∫ te dt =
( a− s) =
e
=
=
0
0
0
u ' 1 v
a − s
∞
t
( a− s)
∞
w
( a− s)
te
1
∞
t( a− s)
we
1
t( a− s)
∫ e
dt
0
e
=
−
=
− −
=
a
− s
a
− s
−
w→+∞
a
s
( a − s)
*
lim
2
0
0
0
+∞
w( a− s)
we
= [+∞⋅ ]
w
1
1
0 =
=
=
=
=
− (
w a− s)
−
−
+∞
−
−
+∞
w→+∞
w→+∞ e
w→+∞ ( w ( a
s)) w( a s
H
)
0
lim
lim
lim
e
1
( − )
−1
1
1
* = 0 −
e
−1 =
0 −1 =
=
2
lim t a s
2 [
]
( a − s)
w→+∞
( a − s)
(−( a− s))2 ( s− a)2
str. 2
Autor: mgr Radosław Owczarzak n
t
Wzór 8: f ( t ) =
∧ ( n = 0,1,2,
…) ∧ Re s > 0
n!
∞
∞
∞
F ( s) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t) n
−
t
st
− st
1
n
− st
e dt = ∫
e dt =
∫ t e dt =*
n!
n!
0
0
0
n
− st
n 1
u = t
v ' = e
u = t −
v '
− st
= e
n
− st
−
t e
n
n
st
n 1
− − st
− st
− st
∫ t e dt =
=
−
∫ t e dt =
=
−
e
−
e
n 1
u ' = nt
v =
− s
− s
u ' = ( n − ) n 2
1 t
v =
s
s
−
−
n
− st
t e
n
1 − −
n −
n
st
1
1
n−2 − st
= −
+ (
∫
− ) t e −
t
e dt −… =
s
s
s
− s
n
− st
t e
n
n n −1
n n −1 ⋅…⋅ n − k
n 1
− − st
(
) n−2 − st
(
)
(
) n− k − st
= −
− t e −
t
e
−
… −
t
e
−…+
2
3
n− k 1
s
s
s
s
+
n ( n − )
1 ⋅…⋅( n − k )⋅…⋅ 2
n n −1 ⋅…⋅ n − k ⋅…⋅ 2 ⋅1
1 − st
(
)
(
)
0 − st
−
t e
−
t e
=
n
n 1
s
s +
0
n!
i
− st
t e
= −∑ ⋅
n− i 1
=
i
s
+
i n
!
∞
0
i
− st
0
1
n! t e
1
n! w − sw
t e
n!
* =
−∑
⋅
=
− ∑ ⋅
−
⋅1 = **
n− i 1
+
lim
n− i 1
+
n 1
n! = i
s
n →+∞
= i
s
− s +
i n
!
! w
i n
!
0
t
+∞
wt −
−
+∞
w
w
w
sw
t e
= [+∞⋅ ]
w
w 1
!
!
0 =
=
=
=
=
…
=
=
= 0
lim
lim sw
lim
sw
lim n sw
H
H
+∞
+∞
+∞
w→+∞
w→+∞ e
w→+∞
se
w→+∞ s e
1
n!
1
** =
0 +=
1
+
1
n!
n
n
s
s +
str. 3
⋅
Wzór 9:
( ) n at
f t = t e ∧ Re s > a
∞
∞
∞
−
⋅ −
−
F ( s) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t) st n
a t
st
n t( a s)
e dt = ∫ t e e dt = ∫ t e dt = *
0
0
0
n
t
( a− s)
u
t
v '
e
=
=
n t( a− s)
−
t e
n
n t( a s)
−
−
t
∫ t e
dt =
( a− s)
n 1 t( a s)
=
−
∫ t e
dt =
−
e
n 1
'
a
=
=
− s
a − s
u
nt
v
a − s
n 1
−
t
( a− s)
u
t
v '
e
=
=
n t( a− s)
t e
n
−
−
n −
n
t a s
1
−
−
t
=
( a− s)
1
(
)
n 2 t( a s)
=
−
t
e
−
∫ t e
dt +
…
=
−
e
u '
= ( n − )
1 n
a
=
− s
t
v
( a − s)2
2
a − s
a − s
n t( a− s)
t e
n
n n −1
n n −1 ⋅…⋅ n − k
n 1
− t( a− s)
(
) n−2 t( a− s) (
)
(
) n− k − st
=
−
+
−
…
+
+…+
a − s
(
− +
a − s) t e
t
e
t
e
2
( a − s)3
( a − s) n k 1
n ( n − )
1 ⋅…⋅( n − k )⋅…⋅ 2
n n −1 ⋅…⋅ n − k ⋅…⋅ 2 ⋅1
1 − st
(
)
(
)
0 − st
+
−
=
(
+
a − s)
t e
t e
n
( a − s) n 1
0
−
= ∑(− )
i
st
i 1
+ n!
t e
1
=
i
− +
−
i n
! ( a s) n i 1
∞
0
−
−
= ∑(− )
i
st
0
w
sw
i 1
+ n! t e
i+ n!
t e
n!
*
1
=
∑ −1
−
= **
n− i 1+
lim ( ) 1
=
i s
→+∞ =
i
− +
+
−
−
i n
!
w
i n
!
n i
n
a
s
a
s
0
(
) 1 (
) 1
t
+∞
wt −
−
+∞
w
w
w
sw
t e
= [+∞⋅ ]
w
w 1
!
!
0 =
=
=
=
=
…
=
=
= 0
lim
lim sw
lim
sw
lim n sw
H
H
+∞
+∞
+∞
w→+∞
w→+∞ e
w→+∞
se
w→+∞ s e
n!
n!
n!
** = 0 −
=
=
(
+
+
+
a − s) n 1
(−( a − s)) n 1 ( s − a) n 1
str. 4
Autor: mgr Radosław Owczarzak t
Wzór 10: f ( t ) =
sin ω t ∧ Re s > 0
2ω
∞
∞
( ) = { ( )} = ∫ ( ) − st
1
=
∫ sin
− st
F s
L f t
f t e dt
t
ω t ⋅ e dt =
2ω
0
0
∞
1
− st
−
(
st
te
e
s sin ω t ω cosω t )
( 2 2
s
ω sinω t 2 s ω cosω t
=
−
−
−
−
−
− −
=
2
2
2
2
)
( )
2ω (− s) +ω
( − s) 2
+ω ) ( )
0
1
− sw
− sw
we
e
s sin ω w ω cosω w
s ω sinω w 2 sω cos lim
ω w
=
−
−
−
−
+
+
2
2 (
)
( 2
2
2
)
2ω →+∞
+ω
w
s
( 2 2
s + ω )
1
−
1
2
− sω
1
2 s
ω
s
−
(
+ ω ⋅
=
−
=
⋅
=
s + ω ) 0 2 s 1
0
2 [
]
2ω
( s + ω )2
2ω
( s +ω )2 ( s +ω )2
2
2
2
2
2
2
2
2
⋅
Wzór 11:
( ) at
f t = e cosω t ∧ Re s > a
∞
∞
∞
−
⋅
−
− ⋅
F ( s) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t) st a t
st
( a s)
e dt = ∫ e ⋅cos
t
ω t ⋅ e dt =∫ e
cosω tdt =
0
0
0
(
∞
a − s) t⋅
a− s ⋅ w
e
e
=
a − s cosω t + ω sin ω t =
a − s cosω ⋅ w + ω sin ω ⋅ w +
2
(
)
)
(
)
lim
2
2
2 (
)
)
( a − s) + ω
w→+∞ ( a − s) +ω
0
1
a − s
s − a
a
s
0
0
−
− +
=
−
=
2
(
) )
(
)
( a − s) +ω
(−( a − s))2 2
+ ω ( s − a)2
2
2
+ω
⋅
Wzór 12:
( ) at
f t = e sin ω t ∧ Re s > a
∞
∞
∞
−
⋅
−
−
F ( s) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t) st a t
st
( a s)
e dt = ∫ e ⋅sin
t
ω t ⋅ e dt = ∫ e
sin ω tdt =
0
0
0
(
∞
a− s) t⋅
a− s ⋅ w
e
e
=
a − s sin ω t − ω cosω t =
a − s sin ω ⋅ w − ω cosω ⋅ w +
2
(
)
)
(
)
lim
2
2
2 (
)
)
( a − s) +ω
w→+∞ ( a − s) + ω
0
1
ω
−
ω
−
0 − ω
= 0
−
=
2
(
)
( a − s) +ω
(− ( a − s))2
2
+ω
( s − a)2
2
2
+ω
str. 5
⋅
Wzór 13:
( ) at
f t = e ⋅ cosh ω t
∞
∞
∞
ω
−ω
+
F ( s) = L{ f ( t)} = ∫ f ( t) t
t
−
⋅
−
⋅
e
e
st
a t
e dt = ∫ e cosh
st
a t
− st
ω t ⋅ e dt = ∫ e
⋅ e dt =
2
0
0
0
ω
ω
∞
∞
+ − ⋅
− − ⋅
1
a
s t
a
s t
(
a+ω − s) t⋅
( a ω
− − s)
= ∫(
t
⋅
+
)
(
)
(
)
1
e
e
e
e
dt =
+
=
2
2 a
+ ω − s
a − ω − s
0
0
( a+ω− s)⋅ w
( a−ω− s)⋅
1
e
1
1
w
e
1
= lim
−
+ lim
−
=
2 →+∞ + ω −
+ω −
→+∞ − ω −
−ω −
w
a
s
a
s
2 w
a
s
a
s
1
1
1
1
−( a −ω − s) − ( a +ω − s)
=
0 −
+
0 −
=
=
2
a + ω − s
2
a − ω − s
2 ( a + ω − s)( a − ω − s) 2 s − 2 a
s − a
=
=
2 (−( s − a) + ω)(−( s − a) −ω) ( s − a)2
2
−ω
⋅
Wzór 14:
( ) at
f t = e sinh ω t
∞
∞
∞
ω
−ω
−
F ( s) = L{ f ( t)} = ∫ f ( t) t
t
−
⋅
−
⋅
e
e
st
a t
e dt = ∫ e sinh
st
a t
− st
ω t ⋅ e dt = ∫ e
⋅ e dt =
2
0
0
0
ω
ω
∞
∞
+ −
− −
1
a
s
a
s
(
a+ω − s)
( a ω
− − s)
= ∫(
−
)
(
)
(
)
1
e
e
e
e
dt =
−
=
2
2 a
+ ω − s
a − ω − s
0
0
( a+ω− s)⋅ w
( a−ω− s)⋅
1
e
1
1
w
e
1
= lim
−
− lim
−
=
2 →+∞ + ω −
+ω −
→+∞ − ω −
−ω −
w
a
s
a
s
2 w
a
s
a
s
1
1
1
1
−( a −ω − s) + ( a +ω − s)
=
0 −
−
0 −
=
=
2
a + ω − s
2
a − ω − s
2 ( a + ω − s)( a − ω − s) 2ω
ω
=
=
2 (−( s − a) + ω)(−( s − a) −ω) ( s − a)2
2
−ω
str. 6