Ćwiczenia 1
Ćwiczenia 1
Modele przepływów międzygałęziowych. Działania na macierzach.
TABLICA PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH
xij
i Xi
Yi
1 2 3 … n
1 X1
x11
x12
x13
… x1n
Y1
2 X2
x21
x22
x23
… x2n
Y2
M
M
… M
n Xn
xn1
xn2
xn3
… xnn
Yn
x0j
x01
x02
x03
… x0n
Zj
Z1
Z2
Z3
… Zn
Xj
X1
X2
X3
… Xn
Xi -
wartość produktu globalnego i-tej gałęzi; i = 1, 2, …,n
xij -
przepływ z gałęzi i do j, czyli wartość produktu wytworzonego w gałęzi i-tej, a zużytego przez gałąź j-tą;
j = 1, 2, …,n
Yi -
wartość produktu końcowego gałęzi i-tej; x0j -
płace gałęzi j-tej;
Zj
- zysk gałęzi j-tej.
MODEL LEONTIEFA
Relacje pomiędzy nakładami a wynikami produkcji zwane są relacjami input – output.
W modelu Leontiefa zakłada się, że są one stałe w czasie.
Dla j-tej gałęzi oblicza się współczynniki kosztów: x
a
ij
=
i,
,
j = ,...,
1
n
ij
X j
zwane też współczynnikami bezpośredniej materiałochłonności.
a
- oznacza wartość produktu pochodzącego z gałęzi i-tej, a zużywanego w gałęzi j-tej ij
w celu wytworzenia w tej gałęzi produktu o wartości jednostkowej.
1
Ćwiczenia 1
Współczynniki kosztów a tworzą macierz A = [ a zwaną macierzą struktury kosztów.
ij ]
ij
n× n
Elementy tej macierzy są nieujemne, suma elementów tworzących j-tą kolumnę jest równa współczynnikowi materiałochłonności mj.
Model Leontiefa ma postać:
( I − A) X = Y
X
- n-wymiarowy kolumnowy wektor produktu globalnego; Y
- n-wymiarowy kolumnowy wektor produktu końcowego.
Macierz Leontiefa ma postać:
I − A
Model Leontiefa służy do prognozowania lub symulacji wektora produktu końcowego przy ustalonej wartości wektora produktu globalnego.
Macierz
−
I − A jest nieosobliwa, a macierz 1
( I − )
A
ma elementy nieujemne, jeśli suma
elementów każdej kolumny macierz A jest mniejsza od 1.
Znając powyższe własności macierzy można dokonać przekształcenia: ( I − A) X = Y
( I − A −1
) ( I − A) X = ( I − A −1
) Y
X = ( I
A 1
)−
−
Y
Elementy macierzy
1
( I
)−
− A noszą nazwę współczynników pełnej materiałochłonności.
Zadanie 1
Dana jest tablica przepływów międzygałęziowych postaci: i Xi
xij
Yi
1 500 50 195 0 255
2 300 100 0 90 110
3 150 80 45 15 10
x0j
200 30 15
Zj
70 30 30
Xj
500 300 150
2
Ćwiczenia 1
a) Obliczyć współczynniki kosztów.
b) Zapisać macierz struktury kosztów. Zinterpretować elementy drugiej kolumny utworzonej macierzy.
c) Zapisać macierz Leontiefa.
d) Obliczyć wektor produktu końcowego, na podstawie modelu Leontiefa, wykorzystując dany wektor produktu globalnego.
e) Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy Leontiefa.
f) Wykorzystując macierz odwrotną do macierzy Leontiefa oraz wektor produktu końcowego, wyznaczyć wektor produktu globalnego.
Zadanie 2
Dana jest tablica przepływów międzygałęziowych trzygałęziowego układu gospodarczego: Produkt globalny
Przepływy
Produkt
końcowy
200 40 50 36 74
250 50 75 36 89
180 20 45 72 43
a) Wyznaczyć macierz struktury kosztów A oraz podać interpretację wyrazów drugiego wiersza tej macierzy.
b) Wyznaczyć macierz I-A i sprawdzić, która z podanych macierzy jest macierzą do niej odwrotną:
⎡ 15
,
1
69
,
0
⎤
73
,
0
⎡ 53
,
1
62
,
0
72
,
0
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢− ,
0 22
83
,
1
⎥
38
,
0
68
,
0
84
,
1
84
,
0
⎢
⎥
⎢ ,
0 24
65
,
0
81
,
1
⎥
⎣
⎦
⎢ ,
0 46
66
,
0
04
,
2
⎥
⎣
⎦
Zadanie 3
Dane są macierze:
⎡ 3 1 2⎤
⎡ 1 2 3⎤
⎡2 0⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡2 0⎤
A =
1
−
0 3
, B = 4
0 1
, C = 0 1
, D =
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣1 1⎥⎦
⎢ 4 2 1⎥
⎢ 1
−
2 2⎥
⎢1 1⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Wyznaczyć:
a) T
C
b) (2A − B)C
c) 2
D
3
Ćwiczenia 1
Zadanie 4
Wykonać działania:
⎡1⎤
8
1 T
⎡
⎤
2
⎡ 1 0⎤
⎡1 6⎤
⎡1 0⎤
⎢2⎥
1
⎡
2
−
1⎤
⎢ 2
7⎥
−
a)
b)
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
[1 2 3 4]⎢ ⎥
c)
2
1
⎢
⎥
d) 5 2 ⋅ ⎢
⎥
⎣2 1⎦
⎢3⎥
3
2
0 ⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥ ⎢ 6
−
3 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1
−
5⎥
⎣
⎦
⎢3 4⎥
⎣
⎦ ⎢
⎥
⎣4⎦
⎣ 0
0 ⎦
Zadanie 5
Jeżeli to możliwe, obliczyć:
a) A ⋅C + B ⋅C b) T
A + C c)
T
T
T
A B + C ⋅ A d) (A B) T
⋅
,
⎡2
1
−
0⎤
⎡ 1
−
1
0 ⎤
⎡1 3⎤
gdy:
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
A
1
1
5⎥
=
i
⎢
⎥ B = −1 0 −5
⎢
⎥ oraz C = 2 2
⎢
⎥
⎢0 1 3⎥
⎣
⎦
⎢ 0
1
−
2
− ⎥
⎣
⎦
⎢3 1⎥
⎣
⎦
Zadanie 6
Znaleźć wartości wyznaczników:
3 0 1
0
0
0
7
2
1
−
0 3
2sin x 2cos x
a)
b)
c) 2 0 1 d) 1
1
1 e) 0
3
5
1 1
-cos x
sin x
0 1 1
5
1
−
4
7
1
−
6
−
Zadanie 7
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy:
⎡2 1
1
− ⎤
⎡2 7 3⎤
1
⎡
2 1⎤
⎡1 2 3⎤
⎡3 1⎤
a)
b) ⎢5 2
4 ⎥
c) ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
3 9 4 d)
1 4 2 e) 0 1 2
0 2⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢7 3 2 ⎥
⎣
⎦
⎢1 5 3⎥
⎣
⎦
1
⎢
3 2⎥
⎣
⎦
⎢2 1 1⎥
⎣
⎦
Zadanie 8
Dla poniższych danych sprawdzić, czy prawdziwa jest równość
−1
X = A
⋅B :
⎡ 1
− ⎤
⎡ 1
1
1 ⎤
⎡ 0 ⎤
⎢
X
0 ⎥ ,
⎢
A
1 1
1⎥ ,
⎢
B
0 ⎥
=
= −
−
=
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢ 1
1
−
1
− ⎥
⎢−2⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣ ⎦
Zadanie 8
⎡1 1 3⎤
⎡3 2 1⎤
Sprawdzić, czy (
⎢
⎥
A B) T
T
⋅
= B ⋅ A T , jeżeli A =
, B = 2 2 1
⎢
2 1 1⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢3 2 1⎥
⎣
⎦
4