Twierdzenie o całkowaniu przez części
2 2
f (x)g(x)dx = f (x)g(x)- f (x)g (x)dx
x " I
f , g " D(I) �! ,
+" +"
o ile istnieją całki po prawej i po lewej stronie równości.
Dowód
2 2
( f (x)g(x))2 = f (x)g(x)+ f (x)g (x)
całkując dwie strony równości mamy:
2 2
f (x)g(x) = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx
+" +"
2 2
f (x)g(x)dx = f (x)g(x)- f (x)g (x)dx
+" +"
Przykład
1
2
g(x)= ln x g (x)=
x
1
xdx = x ln x - x + C
x
+"ln xdx = f 2 (x)= 1 f (x)= x = x �" ln x - +"
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej)
f : I R
�ł
�ł
" f (x)dx�ł
+"
2
�! f (x)dx = f (h(t))�" h (t)dt
żł t " J
dla
x=h(t)
+" +"
h : J I
�ł
�ł
h " D(J )
�ł
Dowód
Niech
F(x):= f (x)
.
+"
Wtedy
2
F = f
ńł
�ł
�ł d d
2 2 2
(F(x) )= (F(h(t)))= F (h(t))�" h (t)= f (h(t))�" h (t)
x=h(t)
�łdt
ół dt
2
F(x) = f (h(t))�" h (t)dt
Stąd
x=h(t)
+"
1
Jeśli dodatkowo funkcja h jest bijekcją, to:
2
F(x) = f (h(t))�" h (t)dt
+" t=h-1(x)
Otrzymujemy
Wniosek (Wniosek o całkowaniu przez podstawienie)
Jeśli spełnione są założenia twierdzenia o zamianie zmiennych w całce nieoznaczonej oraz
h : J I
dodatkowo funkcja jest bijekcją to:
2
f (x)dx = f (h(t))�" h (t)dt
x " I
,
+" +" t=h-1(x)
Przykłady
a>0
x
= t
a
dx 1 dx 1 1 dt
= = x = at = �" adt = =
+" +" +" +"
2
x
a
a2 - x2 a 1- t2 1- t2
1- ( )
a
dx = adt
x
= arcsin t + C = arcsin + C
a
x = at
dx adt 1 adt 1 1 x
= = = = arctgt = arctg + C
+" +" 2 +"1+ 2
a2 + x2 dx = adt a2 + a2t a2 t a a a
Całkowanie przez włączanie pod różniczkę
t = f (x)
2
f (x)dx = dt
= = ln t + C = ln f (x) + C
+" +"
2
f (x) dt = f (x)dx t
t = 3x2 + 7
3
tdt
2
2
1 1 1 1
x 3x2 + 7dx = t2 = 3x2 + 7 =
3 3 3 9
+" +"t = +"t dt = t3 �" = �"(3x2 + 7) + C
3
2tdt = 6xdx
opracował Paweł Sztur
2