Układy arytmetyczne
Sumatory
Technika Cyfrowa 1  Wykład 10
Prawie wszystkie obliczenia matematyczne dają się sprowadzić do działań arytmetycznych,
te zaś dają się sprowadzić do dodawania.
Podstawowy podział:
a) szeregowe (był przykład syntezy abstrakcyjnej automatu) - układy sekwencyjne;
dr in\
. SÅ‚awomir Sambor
b) równoległe - układy kombinacyjne.
[e-mail]
Sumatory  podział ze względu na rodzaj sumowanych liczb
ITA, budynek C-5 pokój 708,
" Sumatory dwójkowe (binarne)
Tel. [phone]
http://zstux.ita.pwr.wroc.pl/slawek/
" Sumatory dziesiętne (BCD)
" Sumowanie liczb bez znaku lub ze znakiem
" Sumatory liczb całkowitych i ułamkowych
" Sumatory liczb zmiennoprzecinkowych
1
Elementy sumatora równoległego  półsumator oraz sumator pełny:
Budowa półsumatora i sumatora
A B C S
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
Ai Bi Ci-1 Ci Si
S =A •" B C= A Å" B
Ai Bi
00 01 11 10
Ci-1
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 1 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
Ai Bi
00 01 11 10
1 0 1 1 0 Ci-1
1 1 0 1 0
Si = Ai •" Bi •" Ci-1 0 0 0 1 0
Ci = Ai Å" Bi + Ai Å" Ci + Bi Å" Ci 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1
Realizacja z półsumatorów Sumatory
Sumator jednobitowy z przeniesieniami
Wykonanie z półsumatorów proste ale powolne
Praktycznie realizuje się bezpośrednim układem
kombinacyjnym
Sumator wielobitowy przez
połączenie równoległe z szeregowym przeniesieniem
połączenie równoległe z przeniesieniem równoległym
Podstawy Techniki Cyfrowej i
Mikroprocesorowej 1
Kompletny kaskadowy 4-bitowy sumator równoległy:
Sumator równoległy z przeniesieniem
równoległym
Generacja przeniesienia w sumatorach kaskadowych
" Szybkość propagacji przeniesienia w kaskadzie decyduje o szybkości pracy całego sumatora.
" Na rysunku powy\
ej, przy czysto szeregowej propagacji przeniesienia pomiędzy poszczególnymi
stopniami, całkowity czas sumowania jest wprost proporcjonalny do długości sumowanych stów.
" Aby zwiększyć maksymalną częstotliwość pracy sumatora konstruuje się specjalne szybkie
układy generacji przeniesień, w których szeregowa propagacja jest eliminowana.
" Ka\
dy bit - tzw. stopień sumatora - znajduje się w jednym z trzech stanów:
a) generacji przeniesienia zerowego (Ci = 0),
b) generacji przeniesienia jedynkowego (Ci =1),
c) propagacji przeniesienia (Ci = Ci-1).
Sumator 74x83  symbol i budowa Sumator 74x283  symbol i budowa
Odejmowanie i dodawanie ze znakiem Sumowanie liczb ze znakiem
A1
A2
Wykorzystanie sumatorów  normalnych
A3
VCC
U2
A4
Wcześniejsza konwersja liczby na kod U2 10 5
A1 VCC
8
A2 S1
3
A3
1 9
(uzupełnienia do 2) A4 S1 S2
4 U1B 6
B1 S2
6 11 2
B1 S3 S3
5 7 15
B2 B2 S4
4
Bit przeniesienia zawiera znak B3 S4
74AC86MTC 16 14
B3 B4 C4
10 U1C
C4
8 13
B4 CO
9
Konwersja przez bramki XOR
12
GND
74AC86MTC
13 U1D SN74LS83AD
11
12
GND
74AC86MTC Znak=0: S=A+B
1 U1A
3
Znak=1: S=A-B
2
74AC86MTC
Znak
Podstawy Techniki Cyfrowej i
Mikroprocesorowej 2
Wykrywanie konieczności korekty  tablica
Sumatory dziesiętne BCD
Karnaugh
Wykorzystanie tylko 10 z 16 mo\
liwych stanów
S2S1 00 01 11 10
Maksymalna wartość liczby wejściowej to 10012 S4S3
Wynik w zakresie 0 do 19 00 0 0 0 0
Dodawanie liczby  6 do wyniku 01 0 0 0 0
Korekta dla stanów niedozwolonych układem
11 1 1 1 1
kombinacyjnym i dodatkowym sumatorem
10 0 0 1 1
f(S4, S3, S2 , S1) =S4 S3 + S4 S2
Komparatory  realizacja na bramkach
Sumator BCD - realizacja
XNOR i bramki AND
A1
A2
VCC
A3
VCC
U1 U2
A4
10 5 10 5
A1 VCC A1 VCC
8 8
A2 A2 S1
3 3
A3 A3
1 9 1 9
A4 S1 A4 S1 S2
6 6
B1 S2 S2
11 2 11 2
B1 S3 B1 S3 S3
7 15 7 15
B2 B2 S4 B2 S4
4 4
B3 B3 S4
16 14 16 14
B3 B4 C4 U3A B4 C4
1
D
13 3 U4A 13
B4 CO CO
2 1
12 3 12
C GND 74AC08MTC GND
2
U3B
SN74LS83AD 4 SN74LS83AD
6 74AC32MTC
5
GND GND
74AC08MTC
U4B
4
6
5
74AC32MTC
Komparatory  realizacja na bramkach
Komparator 74x85
XOR i bramki NOR
Podstawy Techniki Cyfrowej i
Mikroprocesorowej 3
A
ączenie komparatorów - równolegle
A
ączenie komparatorów - szeregowo
Multiplikatory Układ ALU 74x382
Multiplikatory równoległe  liczby mno\
one sÄ…
równocześnie na wszystkich bitach
Zaleta  szybkość
Wada  komplikacja
Multiplikatory szeregowe  jedna z liczb jest
podawana równolegle, druga szeregowo
Układ sekwencyjny
DÅ‚u\
szy czas realizacji rozkazu
Multiplikatory Multiplikatory - przykład
Najprostsza realizacja poprzez pamięć stałą (tabliczka
Prosty układ mno\
Ä…cy w postaci kombinacyjnej
mno\
enia)
Mno\
enie liczb binarnych
Wymagania:
Liczby 8 bitowe M=28 x 8(bitów) = 256x8 = 2048 bitów P, Q  4 bitowe liczby wejściowe
Liczby 16 bitowe M=216 x 16 (bitów) = 65536x8 = 1048576
P = " pi 2i Q = " qi 2i
bitów
Liczby 32 bitowe M=???
F = P·Q = "i"j pi qj 2i+j
Wada  stosunkowo wolny czas propagacji  dla typowej
pamięci ROM 100 ns
Podstawy Techniki Cyfrowej i
Mikroprocesorowej 4
Multiplikatory - przykład Multiplikatory - przykład
Otrzymujemy 16 iloczynów piqj (iloczyny binarne 
czyli bramka AND)
Konieczne jest 12 sumatorów jednobitowych
Ogólnie multiplikator mno\
Ä…cy liczby m i n bitowe
potrzebuje:
(m-1)n  sumatorów
m·n  bramek AND
Multiplikatory  realizacje tablicowo
Multiplikatory - przykład
sumacyjne
Mieszany  rozkładanie liczby na mniejsze i mno\
enie tablicowe
oraz sumowanie sum częściowych
Przykład
P = P1 ° P2 = P1 2r + P2
Q = Q1 ° Q2 = Q1 2s + Q2
F = PQ = (P1 2r + P2)(Q1 2s + Q2)
Multiplikatory  realizacja (przykład) Multiplikatory  MC14554
S = (X x Y) + K + M
S = S3S2S1S0,
X = X1X0,
Y = Y1Y0,
K = K1K0,
M = M1M0
X = 2(1), Y = 3(11)
K = 1(01), M = 2(10)
S = (2 x 3) + 1 + 2 = 9
S = (10 x 11) + 01 + 10 = 1001
Podstawy Techniki Cyfrowej i
Mikroprocesorowej 5
Multiplikatory  MC14554
Podstawy Techniki Cyfrowej i
Mikroprocesorowej 6